Тригонометрические тождества и формулы приведения

Основное тригонометрическое тождество, формулы приведения, связь tan с sin и cos. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Синус и косинус одного угла связаны между собой, как катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой $1$ . Зная одно из чисел и четверть угла, можно найти все остальные — без транспортира и калькулятора.

По теореме Пифагора

sin^{2} α + cos^{2} α = 1^{2}

Основные тождества

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

основное тригонометрическое тождество — верно для любого

α

tg α = \frac{sin α}{cos α}, ctg α = \frac{cos α}{sin α}, tg α \cdot ctg α = 1

тангенс и котангенс (в заданиях

tg

может обозначаться

tan

)

Следствия: $1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ , $1 + ctg^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}$ .

$sin α = \frac{9}{41}$ , угол $α$ во II четверти. Найдите $cos α$ .

$cos^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681}$ .
$∣ cos α ∣ = \frac{40}{41}$ .
Во II четверти косинус отрицателен: $cos α = - \frac{40}{41}$ .

$sin α = - \frac{3}{5}$ , $cos α = \frac{4}{5}$ . Найдите $tg α$ .

$tg α = \frac{- 3/5}{4/5} = - \frac{3}{4}$ — знаменатели $5$ сокращаются.

Из $cos^{2} α = \frac{1600}{1681}$ получаются два значения $\pm \frac{40}{41}$ . Знак выбирают только по четверти: I — $cos > 0$ ; II, III — $cos < 0$ ; IV — $cos > 0$ .

Формулы приведения

Они сводят функцию угла вида $\frac{π}{2} \pm x$ , $π \pm x$ , $\frac{3 π}{2} \pm x$ , $2 π \pm x$ к функции угла $x$ . Запоминать таблицу не нужно — хватит правила из двух шагов.

Знак. Считаем $x$ маленьким острым углом и смотрим, в какой четверти лежит исходный угол. Ставим знак исходной функции в этой четверти.
Функция. Если в аргументе $\frac{π}{2}$ или $\frac{3 π}{2}$ (вертикальная ось) — функция меняется на «кофункцию»: $sin \leftrightarrow cos$ , $tg \leftrightarrow ctg$ . Если $π$ или $2 π$ (горизонтальная ось) — функция не меняется.

Выражение	Четверть	Результат
$sin (\frac{π}{2} - x)$	I, $sin > 0$	$cos x$
$cos (\frac{π}{2} + x)$	II, $cos < 0$	$- sin x$
$sin (π - x)$	II, $sin > 0$	$sin x$
$cos (π - x)$	II, $cos < 0$	$- cos x$
$sin (π + x)$	III, $sin < 0$	$- sin x$
$tg (π + x)$	III, $tg > 0$	$tg x$
$cos (\frac{3 π}{2} - x)$	III, $cos < 0$	$- sin x$
$cos (2 π - x)$	IV, $cos > 0$	$cos x$

«Правило лошади»: при $\frac{π}{2}$ и $\frac{3 π}{2}$ смотрим на вертикальную ось — киваем головой «да», функция меняется; при $π$ и $2 π$ смотрим вдоль горизонтальной оси — мотаем головой «нет», функция остаётся.

Знак определяют по исходной функции, а не по той, что получилась. $cos (\frac{π}{2} + x)$ : угол во II четверти, косинус там отрицателен, поэтому ответ $- sin x$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите cos(α):

sin(α) = 941, угол α — в 2-й четверти

-4041
4041
-941

Показать ответ

Ответ: -4041
Решение. cos²α = 1 − (941)² = (4041)², с учётом знака в 2-й четверти: cos α = -4041.

sin(π − x) =

−cos(x)
sin(x)
−sin(x)

Показать ответ

Ответ: sin(x)
Решение. sin(π − x) = sin(x).

Воспользуйтесь формулой приведения: cos(π − x) =

−cos(x)
sin(x)
−sin(x)

Показать ответ

Ответ: −cos(x)
Решение. cos(π − x) = −cos(x).

Упростите выражение: cos(2π − x) =

−cos(x)
−sin(x)
sin(x)
cos(x)

Показать ответ

Ответ: cos(x)
Решение. cos(2π − x) = cos(x).

cos(π + x) =

−cos(x)
−sin(x)
sin(x)
cos(x)

Показать ответ

Ответ: −cos(x)
Решение. cos(π + x) = −cos(x).

Приведите к функции угла x: cos(π + x) =

−cos(x)
sin(x)
−sin(x)

Показать ответ

Ответ: −cos(x)
Решение. cos(π + x) = −cos(x).

Упростите выражение: sin(π2 − x) =

cos(x)
tan(x)
sin(x)
−cos(x)

Показать ответ

Ответ: cos(x)
Решение. sin(π2 − x) = cos(x).

Найдите tan(α), ответ впишите как несократимую дробь через «/» (знак «-» впереди, если отрицательный):

sin(α) = 2853, cos(α) = 4553

Показать ответ

Ответ: 2845
Решение. tan(α) = (2853) : (4553) = 2845.