Навык · Алгебра, 10 класс

Основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1

Как по синусу найти косинус (и наоборот) и не ошибиться со знаком.

Правило за 30 секундДля любого угла sin²α + cos²α = 1. Отсюда cos α = ±√(1 − sin²α): знак выбирают по четверти, в которой лежит угол. Вместе с tg α = sin α / cos α это позволяет найти все функции угла по одной.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Точка угла $α$ на единичной окружности имеет координаты $(cos α; sin α)$ , а расстояние до центра равно 1. По теореме Пифагора квадраты катетов в сумме дают квадрат гипотенузы — это и есть главное тождество тригонометрии.

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

верно для любого угла

α

Прямоугольный треугольник с гипотенузой 1: катеты —

∣ cos α ∣

∣ sin α ∣

Практика ›закрепить задачами по теме

Как найти косинус по синусу

cos α = \pm 1 - sin^{2} α, sin α = \pm 1 - cos^{2} α

знак выбирают по четверти, в которой лежит угол

Четверть	I	II	III	IV
$sin α$	+	+	−	−
$cos α$	+	−	−	+

Вместе с $tg α = \frac{s i n α}{c o s α}$ и $ctg α = \frac{c o s α}{s i n α}$ это позволяет найти все функции угла по одной.

$sin α = \frac{9}{41}$ , $α$ во II четверти. Найдите $cos α$ .

$cos^{2} α = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681}$ , $∣ cos α ∣ = \frac{40}{41}$ .
Во II четверти косинус отрицателен: $cos α = - \frac{40}{41}$ .

$sin α = - \frac{13}{85}$ , $α$ в III четверти.

$cos^{2} α = \frac{8 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{8 5 ^{2}} = \frac{7225 - 169}{7225} = \frac{7056}{7225}$ , $∣ cos α ∣ = \frac{84}{85}$ .
III четверть — минус: $cos α = - \frac{84}{85}$ .

$1 - (\frac{a}{c})^{2} = \frac{c ^{2} - a ^{2}}{c ^{2}} = \frac{( c - a ) ( c + a )}{c ^{2}}$ : $4 1^{2} - 9^{2} = 32 \cdot 50 = 1600$ . Полезно помнить «пифагоровы тройки»: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41, 13-84-85.

Практика ›закрепить задачами по теме

Типичная ошибка

$sin α = 0, 6$ и $α$ во второй четверти, пишут $cos α = 0, 8$ . Неверно: во второй четверти косинус отрицателен, $cos α = - 0, 8$ . Корень всегда даёт неотрицательное число — знак ставим сами.

Навык — часть темы «Тригонометрические тождества и формулы приведения». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 10 класс ›

Серия: 0

Основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1

Простыми словами

Как найти косинус по синусу

Типичная ошибка

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю