Тригонометрические функции числового аргумента

Радианная мера угла, координатные четверти, знаки sin/cos/tan, чётность тригонометрических функций. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Представим стрелку длиной 1, которая вращается вокруг центра против часовой стрелки. Её кончик бегает по единичной окружности. Повернули стрелку на угол $α$ — кончик оказался в точке с координатами $(cos α; sin α)$ . Так синус и косинус определяются для любого угла, даже $49 5^{\circ}$ или $- 21 0^{\circ}$ .

Точка $P_{α}$ единичной окружности, полученная поворотом точки $(1; 0)$ на угол $α$ :

cos α = x, sin α = y, tg α = \frac{sin α}{cos α} (cos α \neq = 0) .

Положительный угол — поворот против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. В заданиях тангенс может обозначаться $tan$ .

Радианная мера

Радиан — центральный угол, опирающийся на дугу длиной в радиус. Полный оборот — это $2 π$ радиан, значит:

18 0^{\circ} = π рад, x^{\circ} = \frac{x \cdot π}{180} рад, α рад = \frac{α \cdot 18 0 ^{\circ}}{π}

перевод градусов в радианы и обратно

Переведите $21 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ в радианы.

$21 0^{\circ} = \frac{210 π}{180} = \frac{7 π}{6}$ (сократили на $30$ ).
$6 0^{\circ} = \frac{60 π}{180} = \frac{π}{3}$ .

Градусы	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$	$27 0^{\circ}$	$36 0^{\circ}$
Радианы	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$

Достаточно помнить $π = 18 0^{\circ}$ : тогда $\frac{π}{6} = 18 0^{\circ} : 6 = 3 0^{\circ}$ , $\frac{5 π}{4} = 5 \cdot 4 5^{\circ} = 22 5^{\circ}$ .

Четверти и знаки

Знак

cos

— знак абсциссы

x

, знак

sin

— знак ординаты

y

Четверть	Углы	$sin$	$cos$	$tg$
I	$0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$ $(0; \frac{π}{2})$	+	+	+
II	$9 0^{\circ}$ – $18 0^{\circ}$ $(\frac{π}{2}; π)$	+	−	−
III	$18 0^{\circ}$ – $27 0^{\circ}$ $(π; \frac{3 π}{2})$	−	−	+
IV	$27 0^{\circ}$ – $36 0^{\circ}$ $(\frac{3 π}{2}; 2 π)$	−	+	−

В какой четверти угол $49 5^{\circ}$ ? Какой знак у $cos 15 0^{\circ}$ ?

Убираем полные обороты: $49 5^{\circ} - 36 0^{\circ} = 13 5^{\circ}$ — это II четверть.
$15 0^{\circ}$ — II четверть, там $x < 0$ , поэтому $cos 15 0^{\circ} < 0$ (отрицательный).

Тангенс положителен там, где $sin$ и $cos$ одного знака: в I и III четвертях. Отрицательные углы: $- 10 0^{\circ}$ — это то же, что $26 0^{\circ}$ (III четверть), прибавляем $36 0^{\circ}$ .

Чётность и нечётность

Точки $P_{α}$ и $P_{- α}$ симметричны относительно оси $O x$ : абсцисса одинакова, ордината меняет знак.

cos (- α) = cos α (чётная), sin (- α) = - sin α, tg (- α) = - tg α (нечётные) .

$cos (- 21 0^{\circ}) = cos 21 0^{\circ}$ — минус просто исчезает.
$tg (- 25 5^{\circ}) = - tg 25 5^{\circ}$ — минус выносится вперёд.
$sin (- \frac{π}{6}) = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ .

Чётен только косинус. Частая ошибка — написать $sin (- x) = sin x$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Калькуляторы

Тригонометрия

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Переведите угол в радианную меру (в долях π):

210°

7π/6
1·2π
19π/12
5π/4

Показать ответ

Ответ: 7π/6
Решение. 210° = 210·π180 = 7π/6.

В какой координатной четверти находится угол?

495°

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. 495° mod 360° = 135°, попадает в 2-ю четверть.

Определите знак cos(150°):

отрицательный
положительный

Показать ответ

Ответ: отрицательный
Решение. 150° — 2-я четверть, cos там отрицательный.

Определите знак tan(45°):

отрицательный
положительный

Показать ответ

Ответ: положительный
Решение. 45° — 1-я четверть, tan там положительный.

Определите знак sin(330°):

отрицательный
положительный

Показать ответ

Ответ: отрицательный
Решение. 330° — 4-я четверть, sin там отрицательный.

Упростите: cos(−210°) =

cos(210°)
−cos(210°)
−sin(210°)

Показать ответ

Ответ: cos(210°)
Решение. cos — чётная функция: cos(−x) = cos(x).

Упростите: tan(−255°) =

−cos(255°)
cos(255°)
tan(255°)
−tan(255°)

Показать ответ

Ответ: −tan(255°)
Решение. tan — нечётная функция: tan(−x) = −tan(x).

Упростите: sin(−210°) =

cos(210°)
−cos(210°)
sin(210°)
−sin(210°)

Показать ответ

Ответ: −sin(210°)
Решение. sin — нечётная функция: sin(−x) = −sin(x).