Интерактивные тренажёры

Исследование функции и число корней 11 класс

Экстремумы, наибольшее и наименьшее на отрезке, оптимизация, f(x) = a. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий
01 Точки экстремума100 заданий › 02 Промежутки монотонности100 заданий › 03 Наибольшее и наименьшее значение на отрезке100 заданий › 04 Задачи на оптимизацию100 заданий › 05 Число корней уравнения f(x) = a100 заданий ›
Учителю

Готовые работы по теме

Собраны заранее — одним нажатием: распечатать с ключом, раздать ученикам ссылкой или QR-кодом, поменять настройки. Номер набора постоянный: по этой ссылке всегда та же работа.

Самостоятельная

10 заданий · 2 варианта · с ключом

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Контрольная

15 заданий · онлайн, 40 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Диагностика перед темой

8 заданий · 15 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

теория этой темы, 8 заданий по подтемам и ключ — файлом DOCX, который можно править под себя.

Учителю о теме

Что проверяется

  • Точки экстремума
  • Промежутки монотонности
  • Наибольшее и наименьшее значение на отрезке
  • Задачи на оптимизацию
  • Число корней уравнения f(x) = a

Содержание

На бумаге — не больше 25: дальше лист перестаёт быть работой на урок. Онлайн — до 40.

Не нравится задание в собранном листе — нажмите «заменить» под ним: вместо него встанет другое из той же подтемы.

Варианты

Разные задания при одинаковом наборе тем и одинаковом числе заданий.

Прохождение онлайн

Имя ученика никуда не отправляется: он вводит только номер по списку, а таблицу «номер → фамилия» видите только вы.

Оценка
Печать

Собранный лист можно скачать файлом Word — кнопка «Скачать DOCX» над листом: задания, место под решение и ключ, всё редактируется.

Печатается над каждым вариантом. Хранится только в этом браузере, в ссылку не попадает.

По одному и тому же номеру собирается та же работа — ссылку можно сохранить и вернуться к ней позже.

Классы, выданные работы и результаты учеников по кодам — в журнале учителя: без регистрации, хранится только на этом компьютере.

Выберите тему, чтобы начать.

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Найдите точку минимума функции.
y = 2x³ + 6x² − 18x − 3
Показать ответ
Ответ: 1
Решение. 1) f′(x) = 6x² + 12x − 18 = 6(x + 3)(x − 1).
2) Нули: −3 и 1; знаки f′ на промежутках: +, −, +.
3) Максимум в x = −3, минимум в x = 1.
Ответ: 1.
При скольких целых значениях a функция возрастает на всей числовой прямой?
y = x³ − ax² + 54x + 11
Показать ответ
Ответ: 25
Решение. 1) y′ = 3x² − 2ax + 54 ≥ 0 при всех x ⇔ D ≤ 0.
2) D4 = a² − 3·54 = a² − 162 ≤ 0 ⇔ |a| ≤ √162.
3) Целых a с a² ≤ 162: от −12 до 12, всего 25.
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−2; 1].
y = (x − 1)·ex + 4
Показать ответ
Ответ: 3
Решение. 1) y′ = ex + (x − 1)ex = xex.
2) y′ = 0 при x = 0; знаки −, + — это минимум, и он на отрезке.
3) y(0) = (−1)·e⁰ + 4 = 3.
Число 51 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение квадрата первого слагаемого на второе было наибольшим. Найдите первое слагаемое.
Показать ответ
Ответ: 34
Решение. 1) Первое слагаемое x, второе 51 − x, 0 < x < 51; f(x) = x²(51 − x).
2) f′(x) = 102x − 3x² = 3x(34 − x) = 0 ⇒ x = 34 (знаки +, − — максимум).
3) x = 34, второе слагаемое 17, произведение 34²·17 = 19652.
Ответ: 34.
Сколько корней имеет уравнение f(x) = −6?
f(x) = x⁴ − 18x² − 6
Показать ответ
Ответ: 3
Решение. 1) f′(x) = 4x³ − 36x = 4x(x − 3)(x + 3).
2) Минимумы в ±3: f = −87; максимум в 0: f = −6. График — «W».
3) Прямая y = −6 пересекает график в 3 точках.
Ответ: 3.