Тема 02 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Точки экстремума

Исследование функции и число корней. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Производная — это «спидометр» функции: показывает, растёт она или падает. Где производная положительна — график идёт вверх, где отрицательна — вниз. Там, где подъём сменяется спуском, — вершина (максимум), где спуск сменяется подъёмом — впадина (минимум).

$f^{'} (x) > 0$ на промежутке — $f$ возрастает; $f^{'} (x) < 0$ — убывает.

Критические точки — внутренние точки области определения, где $f^{'} (x) = 0$ или $f^{'}$ не существует. Экстремум бывает только в них, и только если $f^{'}$ меняет знак.

Знак $f^{'}$ при переходе через $x_{0}$	Что в $x_{0}$
$+ \to -$	точка максимума
$- \to +$	точка минимума
не меняется	экстремума нет

Экстремумы и монотонность

Найдите точку минимума $y = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 3$ .

$y^{'} = 6 x^{2} + 12 x - 18 = 6 (x + 3) (x - 1)$ .
Знаки $y^{'}$ : $+$ на $(- \infty; - 3)$ , $-$ на $(- 3; 1)$ , $+$ на $(1; + \infty)$ .
В $x = 1$ знак меняется с $-$ на $+$ — минимум. Ответ: $1$ (а $- 3$ — точка максимума).

Множитель $e^{x} > 0$ на знак не влияет: $((x^{2} + p x + q) e^{x})^{'} = (x^{2} + (p + 2) x + p + q) e^{x}$ — знак определяет квадратный трёхчлен.

Кубическая $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ возрастает на всей прямой, если $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b \geq 0$ всегда, то есть дискриминант $f^{'}$ $D \leq 0$ .

При скольких целых $a$ функция $y = x^{3} - a x^{2} + 54 x + 11$ возрастает на всей прямой?

$y^{'} = 3 x^{2} - 2 a x + 54$ , нужно $\frac{D}{4} = a^{2} - 162 \leq 0$ .
$∣ a ∣ \leq 162 www.reknow.ru \approx 12, 7$ , целые $a$ от $- 12$ до $12$ — их $25$ .

Наибольшее и наименьшее на отрезке

Найти $f^{'} (x)$ и критические точки, лежащие внутри отрезка $[a; b]$ .
Посчитать $f$ в этих точках и на концах $a$ , $b$ .
Выбрать наибольшее/наименьшее из полученных чисел.

Если внутри отрезка единственная критическая точка и это минимум (максимум), то в ней и есть наименьшее (наибольшее) значение.

$y = (x - 1) e^{x} + 4$ на $[- 2; 1]$ : $y^{'} = x e^{x}$ , ноль $x = 0$ — минимум. $y (0) = - 1 + 4 = 3$ .
$y = x^{2} + 12 x + 45 www.reknow.ru$ на $[- 11; - 5]$ : корень — возрастающая функция, поэтому минимум там же, где у $x^{2} + 12 x + 45$ : в вершине $x = - 6$ . $y (- 6) = 9 www.reknow.ru = 3$ .

Спрашивают «наименьшее значение» — пишут $y$ , «точку минимума» — пишут $x$ . Не перепутайте!

Задачи на оптимизацию

Величину, которую надо сделать наибольшей, записывают как функцию одной переменной, находят область допустимых значений и её максимум через производную.

Число $51$ разбить на два положительных слагаемых так, чтобы произведение квадрата первого на второе было наибольшим.

Первое $x$ , второе $51 - x$ , $0 < x < 51$ . $f (x) = x^{2} (51 - x) = 51 x^{2} - x^{3}$ .
$f^{'} (x) = 102 x - 3 x^{2} = 3 x (34 - x) = 0$ , $x = 34$ ; знак меняется с $+$ на $-$ — максимум.
Первое слагаемое $34$ ; произведение $3 4^{2} \cdot 17 = 19652$ .

Для $x^{2} (S - x)$ максимум всегда при $x = \frac{2 S}{3}$ : для $S = 39$ — $x = 26$ , произведение $2 6^{2} \cdot 13 = 8788$ .

Число корней уравнения $f (x) = a$

Корни — это точки пересечения графика $y = f (x)$ с горизонтальной прямой $y = a$ . Строим эскиз по экстремумам и двигаем прямую.

f (x) = x^{3} - 3 x

: при

a = 1

— 3 корня, при

a = 2

— 2 корня, при

a > 2

— 1 корень

Для кубической функции с максимумом $M$ и минимумом $m$ : $m < a < M$ — 3 корня; $a = m$ или $a = M$ — 2 корня; $a < m$ или $a > M$ — 1 корень.

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2} - 6$ . Сколько корней у $f (x) = - 6$ и у $f (x) = - 27$ ?

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 36 x = 4 x (x - 3) (x + 3)$ : минимумы в $\pm 3$ , $f (\pm 3) = - 87$ ; максимум в $0$ , $f (0) = - 6$ .
$a = - 6$ — прямая касается графика в вершине $x = 0$ и пересекает две ветви: 3 корня.
$- 87 < - 27 < - 6$ — прямая пересекает обе «ямы» по два раза: 4 корня.

Серия: 0