Интерактивные тренажёры

Производная и касательная 11 класс

Сложная функция, касательная с параметром, физический смысл. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Найдите значение производной функции в точке x₀ = −4:

y = −5ln(−x + 4) + 3x

Показать ответ

Ответ: 3,625
Решение. 1) (ln u)′ = u′/u, поэтому y′ = 5−x + 4 + 3.
2) При x = −4: −x + 4 = 8.
3) y′ = 58 + 3 = 3,625.

К графику функции проведена касательная в точке x₀ = −5. Найдите ординату точки этой касательной с абсциссой 2.

f(x) = −12x + 3 + 3

Показать ответ

Ответ: 30
Решение. 1) f′(x) = 12(x + 3)²; при x₀ = −5: f′(x₀) = 3, f(x₀) = 9.
2) Касательная: y = 9 + 3(x + 5).
3) При x = 2: y = 9 + 3·7 = 30.

При каком значении a прямая y = 2x + a касается графика функции y = x² − 8x − 2?

Показать ответ

Ответ: -27
Решение. 1) Касание: f′(x₀) = 2, то есть 2x₀ − 8 = 2, x₀ = 5.
2) f(x₀) = −17.
3) Точка касания лежит на прямой: −17 = 2·5 + a, a = −27.

Точка движется по прямой по закону (x — в метрах, t — в секундах). В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 86 мс?

x(t) = t³ − 5t² + 9t − 2

Показать ответ

Ответ: 7
Решение. 1) v(t) = x′(t) = 3t² − 10t + 9.
2) Уравнение v(t) = 86: 3t² − 10t − 77 = 0.
3) Корни: t = 7 и t = −113; отрицательный не подходит (t ≥ 0).
Ответ: 7.

Касательная к графику функции y = −3x² − 4x − 5 образует с положительным направлением оси Ox угол 135°. Найдите ординату точки касания.

Показать ответ

Ответ: -3,75
Решение. 1) Угол 135° с положительным направлением оси Ox ⇒ k = tg 135° = −1.
2) f′(x) = −6x − 4 = −1 ⇒ x₀ = −0,5.
3) f(x₀) = −3,75.