Тема 01 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Физический смысл производной

Производная и касательная. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Если сильно увеличить кусочек гладкого графика, он станет почти прямым. Эта прямая — касательная, а её наклон — производная $f^{'} (x_{0})$ : насколько быстро растёт функция в этой точке. Для движения это просто мгновенная скорость.

f^{'} (1) = 2 = tg α

— угловой коэффициент касательной

Правила дифференцирования

Правило	Формула
произведение	$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
частное	$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
сложная функция	$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$
линейный аргумент	$((k x + b)^{n})^{'} = nk (k x + b)^{n - 1}$ , $(e^{k x + b})^{'} = k e^{k x + b}$
	$(ln (k x + b))^{'} = \frac{k}{k x + b}$ , $(k x + b www.reknow.ru)^{'} = \frac{k}{2 k x + b www.reknow.ru}$

$y = - 5 ln (- x + 4) + 3 x$ , найдите $y^{'} (- 4)$ .

Внутренняя функция $- x + 4$ , её производная $- 1$ : $y^{'} = - 5 \cdot \frac{- 1}{- x + 4} + 3 = \frac{5}{4 - x} + 3$ .
$y^{'} (- 4) = \frac{5}{8} + 3 = 3, 625$ .

Главная ошибка — забыть умножить на производную внутренней функции: $(ln (6 x + 22))^{'} = \frac{6}{6 x + 22}$ , а не $\frac{1}{6 x + 22}$ .

Уравнение касательной

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

x_{0}

— абсцисса точки касания,

k = f^{'} (x_{0}) = tg α

— угловой коэффициент,

α

— угол с положительным направлением

O x

Условие	Что записать
касательная параллельна $y = k x + m$	$f^{'} (x_{0}) = k$
прямая $y = k x + m$ касается графика	$f^{'} (x_{0}) = k$ и $f (x_{0}) = k x_{0} + m$
прямая и парабола	касание $⟺$ у уравнения $f (x) = k x + m$ дискриминант $D = 0$
угол $4 5^{\circ}$ / $13 5^{\circ}$	$k = 1$ / $k = - 1$

$f (x) = - \frac{12}{x + 3} + 3$ , $x_{0} = - 5$ : $f (- 5) = 9$ , $f^{'} (x) = \frac{12}{( x + 3 ) ^{2}}$ , $f^{'} (- 5) = 3$ . Касательная $y = 9 + 3 (x + 5)$ ; при $x = 2$ : $y = 30$ .
$f (x) = x^{2} - 4 x - 6$ , касательная параллельна $y = 4 x - 7$ : $2 x_{0} - 4 = 4$ , $x_{0} = 4$ , $f (4) = - 6$ ; $y = - 6 + 4 (x - 4) = 4 x - 22$ , $b = - 22$ .
$y = - 3 x^{2} - 4 x - 5$ , угол $13 5^{\circ}$ : $- 6 x_{0} - 4 = - 1$ , $x_{0} = - 0, 5$ , ордината $f (- 0, 5) = - 3, 75$ .

Касательная с параметром

$y = 2 x + a$ касается $y = x^{2} - 8 x - 2$ : $2 x_{0} - 8 = 2$ , $x_{0} = 5$ , $f (5) = - 17 = 2 \cdot 5 + a$ , $a = - 27$ .
$y = a x - 21$ касается $y = x^{2} - 7 x - 5$ : $x^{2} - (7 + a) x + 16 = 0$ должно иметь $D = 0$ : $(7 + a)^{2} = 64$ , $a = 1$ или $a = - 15$ . Наименьшее $- 15$ .

Подробнее: полезные факты

Касательные к параболе в точках $x_{1}$ и $x_{2}$ пересекаются при $x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Касательная к кубической параболе $a x^{3} + b x^{2} + \dots$ в точке $x_{0}$ пересекает её ещё в точке $x_{1} = - \frac{b}{a} - 2 x_{0}$ .

Касательная из внешней точки $(x_{1}; y_{1})$ : абсциссу касания $t$ находят из $y_{1} = f (t) + f^{'} (t) (x_{1} - t)$ .