Интерактивные тренажёры

Первообразная и интеграл 11 класс

Первообразная с условием, интегралы, площади фигур, путь. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий
01 Первообразная с условием100 заданий › 02 Вычисление интегралов100 заданий › 03 Площадь между графиками100 заданий › 04 Площадь криволинейной трапеции100 заданий › 05 Интеграл в задачах: путь и параметр100 заданий ›
Учителю

Готовые работы по теме

Собраны заранее — одним нажатием: распечатать с ключом, раздать ученикам ссылкой или QR-кодом, поменять настройки. Номер набора постоянный: по этой ссылке всегда та же работа.

Самостоятельная

10 заданий · 2 варианта · с ключом

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Контрольная

15 заданий · онлайн, 40 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Диагностика перед темой

8 заданий · 15 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

теория этой темы, 8 заданий по подтемам и ключ — файлом DOCX, который можно править под себя.

Учителю о теме

Что проверяется

  • Первообразная с условием
  • Вычисление интегралов
  • Площадь между графиками
  • Площадь криволинейной трапеции
  • Интеграл в задачах: путь и параметр

Содержание

На бумаге — не больше 25: дальше лист перестаёт быть работой на урок. Онлайн — до 40.

Не нравится задание в собранном листе — нажмите «заменить» под ним: вместо него встанет другое из той же подтемы.

Варианты

Разные задания при одинаковом наборе тем и одинаковом числе заданий.

Прохождение онлайн

Имя ученика никуда не отправляется: он вводит только номер по списку, а таблицу «номер → фамилия» видите только вы.

Оценка
Печать

Собранный лист можно скачать файлом Word — кнопка «Скачать DOCX» над листом: задания, место под решение и ключ, всё редактируется.

Печатается над каждым вариантом. Хранится только в этом браузере, в ссылку не попадает.

По одному и тому же номеру собирается та же работа — ссылку можно сохранить и вернуться к ней позже.

Классы, выданные работы и результаты учеников по кодам — в журнале учителя: без регистрации, хранится только на этом компьютере.

Выберите тему, чтобы начать.

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Для функции f(x) найдите первообразную F, график которой проходит через точку (2; 2). Найдите F(−1).
f(x) = 9x² + 8x + 4
Показать ответ
Ответ: -49
Решение. 1) Общий вид первообразной: F(x) = 3x³ + 4x² + 4x + C.
2) F(2) = 48 + C = 2 ⇒ C = −46.
3) F(−1) = −3 − 46 = −49.
Вычислите интеграл:
∫−20 (−4x³ − 12x² + 2x + 4) dx
Показать ответ
Ответ: -12
Решение. 1) Первообразная: F(x) = −x⁴ − 4x³ + x² + 4x.
2) F(0) = 0, F(−2) = 12.
3) ∫ = F(0) − F(−2) = −12.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² + x + 2 и касательными к ней в точках с абсциссами 1 и 4.
Показать ответ
Ответ: 2,25
Решение. 1) Касательные: y = 3x + 1 и y = 9x − 14; они пересекаются при x = 2,5.
2) На каждом из отрезков разность «парабола − касательная» равна (x − xₖ)², интеграл даёт |a|·h³3 с h = 1,5.
3) S = 2·1·h³3 = |a|(x₂ − x₁)³/12 = 1·2712 = 2,25.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2cos 5x на отрезке [−π10; π10] и осью Ox.
Показать ответ
Ответ: 0,8
Решение. 1) На этом отрезке функция неотрицательна: S = ∫ 2cos 5x dx.
2) Первообразная 25·sin 5x.
3) S = 25·(1 − (−1)) = 0,8.
При каком положительном a площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² и прямой y = ax, равна 3436?
Показать ответ
Ответ: 7
Решение. 1) Пересечения: x² = ax ⇒ x = 0 и x = a.
2) S = ∫ (ax − x²) dx от 0 до a = a³6.
3) a³ = 6·3436 = 343, a = 7.