Тема 03 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Вычисление интегралов

Первообразная и интеграл. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Производная по пути находит скорость. Первообразная решает обратную задачу: по скорости восстанавливает путь. А интеграл — это «сумма бесконечно тонких полосок»: площадь под графиком, пройденный путь, накопленная величина.

$F$ — первообразная функции $f$ на промежутке, если $F^{'} (x) = f (x)$ для всех $x$ из него. Все первообразные имеют вид $F (x) + C$ , где $C$ — произвольная постоянная.

Таблица и правила

$f (x)$	$F (x)$	$f (x)$	$F (x)$
$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$
$\frac{1}{x ^{2}}$	$- \frac{1}{x}$	$e^{k x}$	$\frac{e ^{k x}}{k}$
$\frac{1}{x www.reknow.ru}$	$2 x www.reknow.ru$	$sin k x$	$- \frac{c o s k x}{k}$
$x www.reknow.ru$	$\frac{2}{3} x x www.reknow.ru$	$cos k x$	$\frac{s i n k x}{k}$
$(k x + b)^{n}$		$\frac{( k x + b ) ^{n + 1}}{k ( n + 1 )}$

Первообразная суммы — сумма первообразных, постоянный множитель выносится. Если аргумент $k x + b$ , ответ делится на $k$ .

$f (x) = 9 x^{2} + 8 x + 4$ . Найдите первообразную, график которой проходит через $(2; 2)$ , и вычислите $F (- 1)$ .

$F (x) = 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + C$ .
Условие $F (2) = 2$ : $24 + 16 + 8 + C = 2$ , отсюда $C = - 46$ .
$F (- 1) = - 3 + 4 - 4 - 46 = - 49$ .

Для $\frac{1}{x ^{2}}$ и $\frac{1}{x}$ первообразная ищется на одном промежутке ( $x < 0$ или $x > 0$ ), и константу $C$ находят из условия, заданного именно на нём.

Интеграл и формула Ньютона — Лейбница

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

F

— любая первообразная

f

;

a

b

— пределы интегрирования

$\int_{4}^{36} 12 x www.reknow.ru d x = 12 \cdot \frac{2}{3} x x www.reknow.ru www.reknow.ru_{4}^{36} = 8 (216 - 8) = 1664$ .
$\int_{- 2}^{0} (- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 4) d x = (- x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 4 x) www.reknow.ru_{- 2}^{0} = 0 - (- 16 + 32 + 4 - 8) = - 12$ .

Интеграл от модуля разбивают точкой, где подмодульное выражение меняет знак, и на каждом куске раскрывают модуль.

Площади фигур

S = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

Фигура	Площадь
под графиком $f \geq 0$ на $[a; b]$ (криволинейная трапеция)	$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$
между графиками, $f \geq g$ на $[a; b]$	$S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ — «верхний минус нижний»
парабола $y = a x^{2} + \dots$ и прямая, пересекаются в $x_{1}, x_{2}$	$S = \frac{∣ a ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$
парабола и касательные в точках $x_{1}, x_{2}$	$S = \frac{∣ a ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{12}$

$y = 2 cos 5 x$ на $[- \frac{π}{10}; \frac{π}{10}]$ : $S = \frac{2}{5} sin 5 x www.reknow.ru_{- π /10}^{π /10} = \frac{2}{5} (1 + 1) = 0, 8$ .
$y = 3 x^{2}$ и $y = 48$ : $x = \pm 4$ , $S = \frac{3 \cdot 8 ^{3}}{6} = 256$ .
$y = 4 x^{3}$ и $y = 4 x$ пересекаются в $- 1, 0, 1$ ; по симметрии $S = 2 \int_{0}^{1} (4 x - 4 x^{3}) d x = 2 (2 - 1) = 2$ .
Парабола $y = x^{2} + x + 2$ , касательные в $x = 1$ и $x = 4$ : $S = \frac{1 \cdot 3 ^{3}}{12} = 2, 25$ .

Если график ниже оси $O x$ , интеграл отрицателен, а площадь — нет: берут модуль или «верхний минус нижний».

Путь, параметр, функция-интеграл

Перемещение за время от $t_{1}$ до $t_{2}$ : $\int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$ ; путь: $\int_{t_{1}}^{t_{2}} ∣ v (t) ∣ d t$ ( $v$ — скорость).
Функция $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ имеет производную $F^{'} (x) = f (x)$ , поэтому её экстремумы — в точках смены знака $f$ .

$\int_{0}^{a} (6 x - 4) d x = 3 a^{2} - 4 a = 15$ $\Rightarrow$ $3 a^{2} - 4 a - 15 = 0$ , $a = 3$ (положительный корень).
$y = x^{2}$ и $y = a x$ пересекаются в $0$ и $a$ : $S = \frac{a ^{3}}{6} = \frac{343}{6}$ , $a = 7$ .

Серия: 0