Интерактивные тренажёры

Задачи с параметром 11 класс

Расположение корней, графический метод, системы, неравенства. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

При скольких целых значениях a из отрезка [−10; 10] оба корня уравнения различны и больше 0?

x² − 2ax + 3a + 8 = 0

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. 1) Два различных корня: D4 = a² − 3a − 8 > 0.
2) Оба больше 0: вершина a > 0 и f(0) = 3a + 8 > 0.
3) Проверяя целые a из [−10; 10], получаем: 5, 6, 7, 8, 9, 10 — 6.

Сколько решений имеет уравнение?

|x² − 4x + 3| = 6

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. 1) x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1: парабола с вершиной (2; −1); часть ниже оси отражается вверх, получается «горб» высотой 1.
2) Прямая y = 6: пересекает в 2 точках.
3) Решений: 2.

Сколько решений имеет система?

{ x² + y² = 73; |x| + |y| = 3 }

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. 1) |x| + |y| = 3 — квадрат с вершинами (±3; 0), (0; ±3). Квадрат расстояния от центра до вершины 9, до стороны 4,5.
2) Окружность радиуса² 73: не пересекает квадрат.
3) Решений: 0.

При скольких целых значениях a уравнение имеет два корня?

|2^x − 25| = a

Показать ответ

Ответ: 24
Решение. 1) Два корня, если оба числа 25 + a и 25 − a положительны и различны.
2) 0 < a < 25.
3) Целых a: 24.

При скольких целых значениях a из отрезка [−10; 10] неравенство имеет хотя бы одно решение?

|x − a| + |x − 7| ≤ 3

Показать ответ

Ответ: 7
Решение. 1) Наименьшее значение |x − a| + |x − 7| равно |a − 7| (расстояние между a и 7).
2) Решения есть ⇔ |a − 7| ≤ 3: 4 ≤ a ≤ 10.
3) Целых a из [−10; 10]: 7.