Тема 05 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Системы с параметром

Задачи с параметром. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Параметр $a$ — это «ручка настройки»: при каждом её положении получается своё уравнение. Задача — понять, при каких положениях у уравнения нужное число корней. Удобнее всего представлять это как движение прямой $y = a$ по картинке.

Число решений уравнения $f (x) = a$ равно числу точек пересечения графика $y = f (x)$ с горизонтальной прямой $y = a$ .

∣ x^{2} - 4 x + 3∣ = a

: при

a = 6

— 2 корня, при

0 < a < 1

— 4, при

a = 1

— 3, при

a > 1

— 2

Квадратное уравнение с параметром

Требование	Условия ( $a x^{2} + b x + c = 0$ , $f (x)$ — левая часть)
старший коэффициент может быть $0$	этот случай разобрать отдельно — уравнение линейное
два различных корня	$D > 0$
корни разных знаков	$\frac{c}{a} < 0$ (по Виету $x_{1} x_{2} < 0$ )
оба корня больше $t$	$D > 0$ , $a \cdot f (t) > 0$ , вершина $x_{в} = - \frac{b}{2 a} > t$
сумма квадратов корней	$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

При скольких целых $a \in [- 10; 10]$ оба корня $x^{2} - 2 a x + 3 a + 8 = 0$ различны и положительны?

$\frac{D}{4} = a^{2} - 3 a - 8 > 0$ : $a < \frac{3 - 41 www.reknow.ru}{2} \approx - 1, 7$ или $a > \frac{3 + 41 www.reknow.ru}{2} \approx 4, 7$ .
По Виету: сумма $2 a > 0$ , произведение $3 a + 8 > 0$ — значит $a > 0$ .
Итого $a > 4, 7$ : целые $5, \dots, 10$ — их $6$ .

При каком $a$ сумма квадратов корней $x^{2} - a x - 8 - a = 0$ наименьшая?

$x_{1} + x_{2} = a$ , $x_{1} x_{2} = - 8 - a$ ; $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = a^{2} + 2 a + 16$ .
Минимум параболы в вершине $a = - 1$ (при этом $D = a^{2} + 4 a + 32 > 0$ — корни есть).

Модули и графики

Функция	Как выглядит график
$∣ x^{2} - 2 p x + s ∣$	часть параболы ниже оси $O x$ отражается вверх
$x^{2} - 2 p ∣ x ∣ + s$	чётная функция: строим при $x \geq 0$ и отражаем; замена $t = ∣ x ∣ \geq 0$
$www.reknow.ru ∣ x - p ∣ - q www.reknow.ru$	«W»: нули в $p \pm q$ , «горб» высоты $q$ в точке $p$

$x^{2} - 4∣ x ∣ + 11 = 7$ .

$t = ∣ x ∣$ : $t^{2} - 4 t + 4 = 0$ , $t = 2$ .
$∣ x ∣ = 2$ , $x = \pm 2$ — два решения.

Системы с параметром

Уравнение	Фигура
$x^{2} + y^{2} = R$	окружность с центром $(0; 0)$ радиуса $R www.reknow.ru$
$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}$	окружность с центром $(x_{0}; y_{0})$ радиуса $r$
$∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a$	квадрат: до вершины $a$ , до стороны $\frac{a}{2 www.reknow.ru}$
$x y = a, x + y = b$	$x, y$ — корни $t^{2} - b t + a = 0$

$x^{2} + y^{2} = 73$ и $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 3$ : квадрат целиком внутри окружности радиуса $73 www.reknow.ru > 3$ — решений $0$ .
$x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 9)^{2} + y^{2} = a^{2}$ : единственное решение — касание окружностей, расстояние между центрами $9 = 5 + a$ или $9 = ∣ a - 5∣$ . Наименьшее положительное $a = 4$ .

Показательные уравнения и неравенства

Замена $t = b^{x}$ даёт только $t > 0$ , и каждому $t > 0$ соответствует ровно один $x$ . Два корня $x$ $⟺$ два различных положительных $t$ : $D > 0$ , $t_{1} + t_{2} > 0$ , $t_{1} t_{2} > 0$ . Замена $t = lo g_{b} x$ — любое $t$ .

$∣ 2^{x} - 25∣ = a$ : $y = 2^{x} - 25$ при $x \to - \infty$ стремится к $- 25$ , поэтому $∣ 2^{x} - 25∣$ слева стремится к $25$ . Два корня при $0 < a < 25$ — $24$ целых значения.
$4^{x} - a \cdot 2^{x} + 14 = 0$ : $t^{2} - a t + 14 = 0$ , произведение корней $14 > 0$ , значит нужен $D = a^{2} - 56 \geq 0$ и $a > 0$ , то есть $a \geq 8$ . На $[- 10; 10]$ корней нет при $a = - 10, \dots, 7$ — $18$ значений.

$a x^{2} + b x + c > 0$ при всех $x$ $⟺$ $a > 0$ и $D < 0$ (или $a = b = 0$ , $c > 0$ ).

$x^{2} - 4 a x + 15 > 0$ при всех $x$ : $\frac{D}{4} = 4 a^{2} - 15 < 0$ , $∣ a ∣ < 1, 94$ — целые $- 1, 0, 1$ : $3$ значения.
$∣ x - a ∣ + ∣ x - 7∣ \leq 3$ : сумма расстояний от $x$ до $a$ и до $7$ не меньше $∣ a - 7∣$ ; решение есть при $∣ a - 7∣ \leq 3$ , $a \in [4; 10]$ — $7$ целых.

Не забывайте случай, когда коэффициент при $x^{2}$ зависит от параметра и обращается в ноль, — тогда уравнение уже не квадратное.

Ещё три приёма

Прямая и окружность. Расстояние от точки $(x_{0}; y_{0})$ до прямой $A x + B y + C = 0$ : $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2} www.reknow.ru}$ . Прямая касается окружности радиуса $r$ (одно решение системы), если $d = r$ ; при $d < r$ — две точки, при $d > r$ — ни одной.

$x^{2} + y^{2} = a$ , $x - y = 5$ — единственное решение.

Расстояние от $O$ до прямой $x - y - 5 = 0$ : $d = \frac{5}{2 www.reknow.ru}$ .
Касание: $a www.reknow.ru = \frac{5}{2 www.reknow.ru}$ , $a = \frac{25}{2} = 12, 5$ .

Неравенство $(x - a) (x - b) \leq 0$ — это отрезок между числами $a$ и $b$ (какое из них меньше, неважно). В отрезке $[m; m + k]$ ровно $k + 1$ целых чисел, поэтому «ровно 7 целых решений» при целых концах значит: концы отстоят друг от друга на $6$ .

Наименьшее значение параболы на отрезке $[p; q]$ при ветвях вверх зависит от того, где вершина $x_{в}$ : внутри отрезка — в вершине; левее $p$ — в точке $p$ ; правее $q$ — в точке $q$ . Если вершина зависит от параметра, разбирают эти три случая.

Серия: 0

Системы с параметром

Простыми словами

Квадратное уравнение с параметром

Модули и графики

Системы с параметром

Показательные уравнения и неравенства

Ещё три приёма

Примеры заданий