Интерактивные тренажёры

Тригонометрические уравнения и неравенства 10 класс

Отбор корней на отрезке, однородные уравнения, разложение на множители, кратный аргумент, неравенства. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий

Теория, модели и калькуляторы

Теория
Читать теорию темы
Модели
Синус и косинус
01 Уравнения, сводящиеся к квадратным100 заданий › 02 Однородные уравнения100 заданий › 03 Разложение на множители и ОДЗ100 заданий › 04 Уравнения с кратным аргументом100 заданий › 05 Тригонометрические неравенства100 заданий ›
Учителю

Готовые работы по теме

Собраны заранее — одним нажатием: распечатать с ключом, раздать ученикам ссылкой или QR-кодом, поменять настройки. Номер набора постоянный: по этой ссылке всегда та же работа.

Самостоятельная

10 заданий · 2 варианта · с ключом

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Контрольная

15 заданий · онлайн, 40 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Диагностика перед темой

8 заданий · 15 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

теория этой темы, 8 заданий по подтемам и ключ — файлом DOCX, который можно править под себя.

Учителю о теме

Что проверяется

  • Уравнения, сводящиеся к квадратным
  • Однородные уравнения
  • Разложение на множители и ОДЗ
  • Уравнения с кратным аргументом
  • Тригонометрические неравенства

Содержание

На бумаге — не больше 25: дальше лист перестаёт быть работой на урок. Онлайн — до 40.

Не нравится задание в собранном листе — нажмите «заменить» под ним: вместо него встанет другое из той же подтемы.

Варианты

Разные задания при одинаковом наборе тем и одинаковом числе заданий.

Прохождение онлайн

Имя ученика никуда не отправляется: он вводит только номер по списку, а таблицу «номер → фамилия» видите только вы.

Оценка
Печать

Собранный лист можно скачать файлом Word — кнопка «Скачать DOCX» над листом: задания, место под решение и ключ, всё редактируется.

Печатается над каждым вариантом. Хранится только в этом браузере, в ссылку не попадает.

По одному и тому же номеру собирается та же работа — ссылку можно сохранить и вернуться к ней позже.

Классы, выданные работы и результаты учеников по кодам — в журнале учителя: без регистрации, хранится только на этом компьютере.

Выберите тему, чтобы начать.

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения. Ответ дайте в градусах.
cos 2x − 5cos x + 3 = 0
Показать ответ
Ответ: -60
Решение. 1) Заменим cos 2x = 2cos²x − 1: 2cos²x − 5cos x + 2 = 0.
Замена t = cos x, |t| ≤ 1: 2t² − 5t + 2 = 0 ⇒ t = 12 или t = 2; t = 2 не подходит (|t| > 1).
2) cos x = 12: x = π3 + 2πn; x = −π3 + 2πn, n ∈ ℤ.
3) Отрицательные корни по сериям: наибольший −π3 = −60°.
Ответ: −60.
Сколько корней уравнения принадлежит отрезку [−3π2; π2]?
2sin²x − 2sin x·cos x − 2cos²x = −1
Показать ответ
Ответ: 4
Решение. 1) Запишем −1 = −1(sin²x + cos²x) и перенесём влево: 3sin²x − 2sin x·cos x − cos²x = 0. cos x = 0 не является решением (тогда 3sin²x = 0, но sin²x = 1), делим на cos²x: 3tg²x − 2tg x − 1 = 0 ⇒ tg x = 1 или tg x = −13.
2) x = π4 + πn; x = −arctg 13 + πn, n ∈ ℤ.
3) В каждой серии на промежутке длины π ровно один корень; на [−3π2; π2]: −3π4, π4, −arctg 13 − π, −arctg 13 — всего 4.
Ответ: 4.
Сколько корней уравнения принадлежит отрезку [3π2; 5π2]?
ctg x·(cos x − 1) = 0
Показать ответ
Ответ: 2
Решение. 1) ОДЗ: sin x ≠ 0. ctg x = 0: x = π2 + πn; cos x = 1: x = 2πn. Но при cos x = 1 sin x = 0 — ctg x не определён, эта серия не годится.
2) Совпадающие корни разных серий считаем один раз.
3) На отрезке [3π2; 5π2]: 3π2, 5π2 — всего 2.
Ответ: 2.
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения. Ответ дайте в градусах.
tg(x2 + π2) = −√3
Показать ответ
Ответ: -300
Решение. 1) Пусть u = x2 + π2; tg u = −√3: u = −π3 + πn, n ∈ ℤ.
2) x = 2(u − π2): x = −5π3 + 2πn, n ∈ ℤ.
3) Отрицательные корни по сериям: наибольший −5π3 = −300°.
Ответ: −300.
Найдите суммарную длину промежутков, из которых состоит множество решений неравенства на отрезке [0; 2π]. Ответ дайте в градусах.
tg x < −√3
Показать ответ
Ответ: 60
Решение. 1) По единичной окружности (или графику) отмечаем, где выполняется неравенство.
2) На отрезке [0; 2π] решения: (π2; 2π3) ∪ (3π2; 5π3).
3) Длины промежутков в градусах: 30 + 30 = 60.