Решите неравенство: cos x < √2/2 Варианты: π/4 + 2πn < x < 7π/4 + 2πn, n ∈ ℤ; 7π/4 + 2πn < x < 9π/4 + 2πn, n ∈ ℤ; π/4 + πn < x < 7π/4 + πn, n ∈ ℤ; π/4 + 2πn < x < 3π/4 + 2πn, n ∈ ℤ.

π/4 + 2πn < x < 7π/4 + 2πn, n ∈ ℤ

Тема 04 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 5 из 5

Тригонометрические неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Синус и косинус повторяются каждые $2 π$ , поэтому у тригонометрического уравнения обычно бесконечно много корней — целая серия $x = x_{0} + T n$ . Решение состоит из двух частей: свести уравнение к простейшему ( $sin t = a$ , $cos t = a$ , $tg t = a$ ) и отобрать корни, попавшие в нужный отрезок.

Уравнение	Серии, $n \in Z$
$sin x = a$ , $∣ a ∣ \leq 1$	$x = arcsin a + 2 πn$ и $x = π - arcsin a + 2 πn$
$cos x = a$ , $∣ a ∣ \leq 1$	$x = \pm arccos a + 2 πn$
$tg x = a$	$x = arctg a + πn$
$sin x = 0$ / $cos x = 0$	$x = πn$ / $x = \frac{π}{2} + πn$

Сводящиеся к квадратным

Всё выражаем через одну функцию: $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ , $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1$ . Затем $t = sin x$ или $t = cos x$ , причём $∣ t ∣ \leq 1$ .

$cos 2 x - 5 cos x + 3 = 0$ . Наибольший отрицательный корень в градусах.

$2 cos^{2} x - 1 - 5 cos x + 3 = 0$ , $t = cos x$ : $2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ , $t = \frac{1}{2}$ или $t = 2$ (не подходит: $∣ t ∣ \leq 1$ ).
$x = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ . Наибольший отрицательный — $- 6 0^{\circ}$ .

$sin^{2} x - 2 sin x = 0$ . Сколько корней на $[\frac{3 π}{2}; \frac{7 π}{2}]$ ?

$sin x (sin x - 2) = 0$ ; $sin x = 2$ невозможно, остаётся $sin x = 0$ , $x = πn$ .
$\frac{3}{2} \leq n \leq \frac{7}{2}$ : $n = 2, 3$ — два корня ( $2 π$ и $3 π$ ).

Для серии $x = x_{0} + T n$ решаем двойное неравенство $a \leq x_{0} + T n \leq b$ относительно целого $n$ . Совпавшие корни разных серий считают один раз. Ответ «в градусах»: $\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}$ , $\frac{5 π}{6} = 15 0^{\circ}$ .

Однородные уравнения

$a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x = 0$ делим на $cos^{2} x$ (проверив, что $cos x = 0$ не даёт корней) и получаем квадратное уравнение относительно $tg x$ . Если справа число $d \neq = 0$ , заменяем $d = d (sin^{2} x + cos^{2} x)$ .

$3 sin^{2} x - 2 sin x cos x + 2 cos^{2} x = 2$ . Сколько корней на $[π; \frac{9 π}{2}]$ ?

$2 = 2 sin^{2} x + 2 cos^{2} x$ , переносим: $sin^{2} x - 2 sin x cos x = 0$ , $sin x (sin x - 2 cos x) = 0$ .
$sin x = 0$ : $x = πn$ — на отрезке $π, 2 π, 3 π, 4 π$ (4 корня).
$tg x = 2$ : $x = arctg 2 + πn$ , $arctg 2 \approx 1, 11$ ; на отрезке $n = 1, 2, 3, 4$ (4 корня).
Всего $8$ .

Пример $2 sin^{2} x - 2 sin x cos x - 2 cos^{2} x = - 1$ так же даёт $3 tg^{2} x - 2 tg x - 1 = 0$ , $tg x = 1$ или $- \frac{1}{3}$ .

Нельзя делить на $sin x$ или $cos x$ , если они могут быть равны нулю, — потеряете корни. В примере выше $sin x$ вынесли за скобку, а не сократили.

$a sin x + b cos x = 0$ ( $a \neq = 0$ ): $cos x = 0$ корнем не является (тогда и $sin x = 0$ , а так не бывает), делим на $cos x$ : $tg x = - \frac{b}{a}$ . Например, $3 sin x + 3 cos x = 0$ : $tg x = - 1$ , $x = - 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ , наибольший отрицательный корень $- 4 5^{\circ}$ .

Разложение на множители и ОДЗ

$A \cdot B = 0 ⟺ A = 0$ или $B = 0$ — при условии, что оба множителя определены. У $tg x$ ОДЗ $cos x \neq = 0$ , у $ctg x$ — $sin x \neq = 0$ .

$ctg x \cdot (cos x - 1) = 0$ на $[\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}]$ .

$ctg x = 0$ : $x = \frac{π}{2} + πn$ .
$cos x = 1$ : $x = 2 πn$ — но там $sin x = 0$ , $ctg x$ не существует. Отбрасываем.
На отрезке: $\frac{3 π}{2}$ и $\frac{5 π}{2}$ — два корня.

А в $sin x cos x - sin x = 0$ ОДЗ — все $x$ : $sin x (cos x - 1) = 0$ , серия $cos x = 1$ входит в серию $sin x = 0$ . На $[\frac{3 π}{2}; 5 π]$ корни $2 π, 3 π, 4 π, 5 π$ — четыре.

$sin 2 x = 2 cos x$ . Сумма корней на $[\frac{π}{2}; 3 π]$ в градусах.

$2 sin x cos x - 2 cos x = 0$ , $2 cos x (sin x - 1) = 0$ .
$cos x = 0$ : $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ ; серия $sin x = 1$ ( $9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ ) в неё уже входит.
На отрезке $9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}, 45 0^{\circ}$ ; сумма $810$ .

Так же $sin 4 x = sin 2 x$ : $2 sin 2 x cos 2 x - sin 2 x = 0$ , $sin 2 x (2 cos 2 x - 1) = 0$ ; а $cos 2 x - cos x = 0$ — через $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ : $2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$ , $cos x = 1$ или $- \frac{1}{2}$ .

Кратный аргумент

$tg (k x + φ) = a$ : решаем для $u = k x + φ$ , затем $x = \frac{u - φ}{k}$ . Период серии делится на $k$ !

$tg (\frac{x}{2} + \frac{π}{2}) = - 3 www.reknow.ru$ . Наибольший отрицательный корень в градусах.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{2} = - \frac{π}{3} + πn$ , $\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{6} + πn$ , $x = - \frac{5 π}{3} + 2 πn$ .
$n = 0$ : $- 30 0^{\circ}$ ; $n = 1$ : $6 0^{\circ} > 0$ . Ответ: $- 300$ .

$tg (3 x + \frac{π}{2}) = - 1$ на $[- 2 π; \frac{π}{2}]$ .

$3 x + \frac{π}{2} = - \frac{π}{4} + πn$ , $x = - \frac{π}{4} + \frac{πn}{3}$ .
$- 2 π \leq - \frac{π}{4} + \frac{πn}{3} \leq \frac{π}{2}$ $\Rightarrow$ $- 5, 25 \leq n \leq 2, 25$ , $n = - 5, \dots, 2$ — $8$ корней.

Неравенства на окружности

Косинус — абсцисса точки:

cos t < - \frac{1}{2}

на дуге левее прямой

x = - \frac{1}{2}

$sin x > a$	$arcsin a + 2 πn < x < π - arcsin a + 2 πn$
$cos x > a$	$- arccos a + 2 πn < x < arccos a + 2 πn$
$tg x > a$	$arctg a + πn < x < \frac{π}{2} + πn$

$cos 2 x < - \frac{1}{2}$ на $[0; 3 π]$ : суммарная длина промежутков в градусах.

$\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn$ , то есть $\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn$ — промежутки по $6 0^{\circ}$ .
На $[0; 3 π]$ их три ( $n = 0, 1, 2$ ): $3 \cdot 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .

$tg x < - 3 www.reknow.ru$ на $[0; 2 π]$ .

$- \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{3} + πn$ : на отрезке $(\frac{π}{2}; \frac{2 π}{3})$ и $(\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{3})$ .
Длина $3 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .

Неравенство всегда решайте по рисунку окружности: синус — ордината (выше/ниже горизонтали), косинус — абсцисса (правее/левее вертикали). Обходите дугу против часовой стрелки — так левый конец промежутка будет меньше правого.

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Серия: 0