Тригонометрические уравнения

Серии корней простейших уравнений и отбор корней на отрезке. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Синус повторяет свои значения каждые $36 0^{\circ}$ . Поэтому если $sin 9 0^{\circ} = 1$ , то и $sin 45 0^{\circ} = 1$ , и $sin 81 0^{\circ} = 1$ … Корней бесконечно много, и их записывают серией: $x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ , где $n$ — любое целое число.

sin x = 0

— две точки на оси

O x

: серия

x = 18 0^{\circ} n

;

sin x = 1

— одна верхняя точка:

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Простейшие уравнения

Уравнение	Серия корней ( $n \in Z$ )
$sin x = 0$	$x = 18 0^{\circ} n$
$sin x = 1$	$x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$sin x = - 1$	$x = - 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$cos x = 0$	$x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$
$cos x = 1$	$x = 36 0^{\circ} n$
$cos x = - 1$	$x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$tg x = a$	$x = arctg a + 18 0^{\circ} n$

Общие формулы (в радианах $18 0^{\circ} = π$ ): $sin x = a \Rightarrow x = (- 1)^{n} arcsin a + πn$ ; $cos x = a \Rightarrow x = \pm arccos a + 2 πn$ (при $∣ a ∣ \leq 1$ ).

Уравнения $sin x = 2$ или $cos x = - 3$ решений не имеют: значения синуса и косинуса не выходят за пределы отрезка $[- 1; 1]$ .

Когда $a$ — не 0 и не ±1

Для $sin x = a$ на окружности две точки с ординатой $a$ : угол $α$ из таблицы и $18 0^{\circ} - α$ . Для $cos x = a$ — две точки с абсциссой $a$ : $\pm α$ . Для $tg x = a$ — серия с шагом $18 0^{\circ}$ .

Уравнение	Серии корней ( $n \in Z$ )
$sin x = \frac{1}{2}$	$x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ , $x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$sin x = - \frac{1}{2}$	$x = - 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ , $x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$cos x = \frac{1}{2}$	$x = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$tg x = 1$	$x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n$
$tg x = - 1$	$x = - 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ (то есть $13 5^{\circ}$ , $31 5^{\circ}$ , …)

$sin x = - 0, 5$ , корни на $[- 36 0^{\circ}; 36 0^{\circ}]$ .

Серия $- 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ : $n = 0$ даёт $- 3 0^{\circ}$ , $n = 1$ — $33 0^{\circ}$ .
Серия $21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ : $n = - 1$ даёт $- 15 0^{\circ}$ , $n = 0$ — $21 0^{\circ}$ .
Корни: $- 15 0^{\circ}, - 3 0^{\circ}, 21 0^{\circ}, 33 0^{\circ}$ ; наименьший $- 15 0^{\circ}$ , их четыре.

Отбор корней на отрезке

Записать серию корней.
Подставить её в двойное неравенство «отрезок».
Найти все целые $n$ и посчитать корни.

$sin x = 1$ ; наименьший корень на $[36 0^{\circ}; 72 0^{\circ}]$ .

Серия: $x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ .
$360 \leq 90 + 360 n \leq 720$ $\Rightarrow$ $270 \leq 360 n \leq 630$ $\Rightarrow$ $0, 75 \leq n \leq 1, 75$ .
Целое $n = 1$ : $x = 45 0^{\circ}$ .

$sin x = 0$ ; наименьший корень на $[0^{\circ}; 36 0^{\circ}]$ .

$x = 18 0^{\circ} n$ ; на отрезке $n = 0, 1, 2$ : корни $0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ , $36 0^{\circ}$ .
Наименьший — $0^{\circ}$ (концы отрезка входят!).

Подстановка в двойное неравенство надёжнее, чем «прикидка по окружности»: ни один корень не потеряется. Проверяйте, входят ли концы отрезка — квадратные скобки означают «да».

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Решите уравнение sin x = 0 и найдите наименьший корень на отрезке [0°; 360°]. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Корни: 0°, 180°, 360°; наименьший 0°.

Решите уравнение sin x = −1 и найдите наименьший корень на отрезке [0°; 360°]. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Ответ: 270
Решение. Корни: 270°; наименьший 270°.

Решите уравнение sin x = −0,5 и найдите наименьший корень на отрезке [−360°; 360°]. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Ответ: -150
Решение. Корни: −150°, −30°, 210°, 330°; наименьший −150°.

Решите уравнение cos x = 0 и найдите наименьший корень на отрезке [0°; 360°]. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Ответ: 90
Решение. Корни: 90°, 270°; наименьший 90°.

Решите уравнение cos x = −1 и найдите наименьший корень на отрезке [0°; 360°]. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Ответ: 180
Решение. Корни: 180°; наименьший 180°.

Решите уравнение cos x = 0,5 и найдите наименьший корень на отрезке [−360°; 0°]. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Ответ: -300
Решение. Корни: −300°, −60°; наименьший −300°.

Решите уравнение tg x = 0 и найдите наименьший корень на отрезке [−360°; 0°]. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Ответ: -360
Решение. Корни: −360°, −180°, 0°; наименьший −360°.

Решите уравнение tg x = 1 и найдите наименьший корень на отрезке [360°; 1080°]. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Ответ: 405
Решение. Корни: 405°, 585°, 765°, 945°; наименьший 405°.

Простыми словами

Простейшие уравнения

Когда a — не 0 и не ±1

Отбор корней на отрезке

Примеры заданий

Когда $a$ — не 0 и не ±1