Преобразование графиков функций — Алгебра и начала анализа, 11 класс

Сдвиги вдоль осей, растяжение и отражение графика. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Не нужно строить каждый график заново. Достаточно знать «базовый» график (например, параболу $y = x^{2}$ ) и уметь его двигать, растягивать и отражать, как картинку в графическом редакторе.

Вершина

(0; 0)

переехала в

(3; 1)

: на

3

вправо и на

1

вверх

Сдвиги

Формула ( $a > 0$ )	Что происходит с графиком $y = f (x)$
$y = f (x) + a$	сдвиг на $a$ вверх
$y = f (x) - a$	сдвиг на $a$ вниз
$y = f (x - a)$	сдвиг на $a$ вправо
$y = f (x + a)$	сдвиг на $a$ влево

$y = x^{2}$ сдвинули на $8$ вверх: $y = x^{2} + 8$ , вершина $(0; 8)$ — ордината вершины $8$ .
$y = x^{2}$ сдвинули на $6$ вправо: $y = (x - 6)^{2}$ , вершина $(6; 0)$ — абсцисса вершины $6$ .
$y = (x + 2)^{2} - 5$ : вершина $(- 2; - 5)$ — на $2$ влево и на $5$ вниз.

Действия с самой функцией (снаружи) меняют график «как написано»: $+ a$ — вверх. Действия с аргументом (внутри скобки) — наоборот: $x - 6$ — вправо, $x + 2$ — влево. Проверка: вершина там, где скобка равна нулю, — $x - 6 = 0$ при $x = 6$ .

Растяжение и отражение

Формула	Что происходит
$y = k \cdot f (x)$ , $k > 1$	растяжение от оси $O x$ в $k$ раз (график «круче»)
$y = k \cdot f (x)$ , $0 < k < 1$	сжатие к оси $O x$ (график «положе»)
$y = - f (x)$	отражение относительно оси $O x$
$y = f (- x)$	отражение относительно оси $O y$
$y = ∣ f (x) ∣$	часть графика ниже $O x$ отражается вверх
$y = f (k x)$ , $k > 1$	сжатие к оси $O y$ в $k$ раз

Постройте $y = - 2 (x - 1)^{2} + 3$ из $y = x^{2}$ .

Растягиваем в $2$ раза: $y = 2 x^{2}$ .
Отражаем относительно $O x$ : $y = - 2 x^{2}$ — ветви вниз.
Сдвигаем на $1$ вправо и на $3$ вверх: вершина $(1; 3)$ .

Порядок важен: сначала растяжение и отражение, потом сдвиг вверх-вниз. $- x^{2} + 3$ и $- (x^{2} + 3)$ — разные графики.

Посмотреть и посчитать

Модели

График с модулем Квадратичная функция

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Функция y = f(x) задана графиком. Как изменится график функции y = f(x) + 8?

сдвинется на 8 вправо
сдвинется на 8 влево
сдвинется на 8 вверх
сдвинется на 8 вниз

Показать ответ

Ответ: сдвинется на 8 вверх
Решение. Прибавление числа к функции сдвигает график по вертикали.

Как изменится график функции y = f(x − 1) по сравнению с графиком y = f(x)?

сдвинется на 1 вниз
сдвинется на 1 вверх
сдвинется на 1 влево
сдвинется на 1 вправо

Показать ответ

Ответ: сдвинется на 1 вправо
Решение. Вычитание внутри аргумента сдвигает график вправо.

График функции y = 2x² — уже или шире графика y = x²? Введите 1, если уже, и 0, если шире.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Коэффициент 2 сжимает график.

Найдите ординату точки пересечения графика y = x² + 3 с осью Oy.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. При x = 0 получаем y = 3.

График функции y = −x² — куда направлены его ветви? Введите 1, если вверх, и 0, если вниз.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Знак минус переворачивает параболу.

На сколько единиц нужно сдвинуть график y = x² вниз, чтобы его вершина попала в точку (0; −8)?

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Сдвиг на 8 вниз даёт y = x² − 8.

Функция y = |x| — сколько у неё точек излома?

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Одна точка излома — начало координат.

Найдите значение функции y = |x − 1| при x = 0.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. |0 − 1| = 1.