Системы уравнений и неравенств — Алгебра и начала анализа, 11 класс

Способы сложения и подстановки, графическая интерпретация решений. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Два числа в сумме дают $10$ , а их разность равна $- 2$ . Каждое условие по отдельности допускает бесконечно много пар, но вместе им подходит только одна. Найти её — значит решить систему.

Решение системы — пара $(x; y)$ , которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы.

Способ сложения

Складываем или вычитаем уравнения так, чтобы одна переменная исчезла.

{x + y = 10 x - y = - 2

Складываем: $2 x = 8$ , $x = 4$ .
Подставляем в первое: $4 + y = 10$ , $y = 6$ .
Проверка во втором: $4 - 6 = - 2$ ✓. Ответ: $x = 4$ .

{x + y = 4 x - y = - 6

Вычитаем из первого второе: $(x + y) - (x - y) = 4 - (- 6)$ , то есть $2 y = 10$ , $y = 5$ .
$x = 4 - 5 = - 1$ . Ответ: $y = 5$ .

Для систем вида $x + y = S$ , $x - y = R$ сразу: $x = \frac{S + R}{2}$ , $y = \frac{S - R}{2}$ .

Способ подстановки

Выражаем одну переменную из одного уравнения и подставляем в другое. Подходит и для нелинейных систем.

{y = x + 1 x^{2} + y = 7

Подставляем: $x^{2} + x + 1 = 7$ , $x^{2} + x - 6 = 0$ , $x = 2$ или $x = - 3$ .
$y = 3$ или $y = - 2$ . Ответ: $(2; 3)$ , $(- 3; - 2)$ .

Найденную пару обязательно подставляют в оба уравнения: иначе ошибка в одном преобразовании останется незамеченной.

Графический смысл

Решение системы — точка пересечения прямых

Пересекаютсяодно решение

Параллельнырешений нет (выходит неверное равенство, например

0 = 5

)

Совпадаютрешений бесконечно много (

0 = 0

)

Системы неравенств

Решают каждое неравенство отдельно и берут общую часть (пересечение) промежутков.

{2 x - 1 > 3 x + 4 \leq 10

Первое: $2 x > 4$ , $x > 2$ . Второе: $x \leq 6$ .
Общая часть на числовой прямой: $2 < x \leq 6$ , то есть $(2; 6]$ .

Система — это «и» (пересечение), а совокупность (квадратная скобка) — «или» (объединение). Не путайте фигурную и квадратную скобки.

Посмотреть и посчитать

Модели

Система двух уравнений

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Решите систему: x + y = 10, x − y = −2. В ответ запишите x.

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. Складываем уравнения: 2x = 8, x = 4.

Решите систему: x + y = 4, x − y = −6. В ответ запишите y.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. Вычитаем: 2y = 10, y = 5.

Решите систему: x + y = 8, x = 8. Найдите y.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. 8 − 8 = 0.

Решите систему: 3x + y = 29, y = 8. Найдите x.

Показать ответ

Ответ: 7
Решение. 3x = 21, x = 7.

Сколько решений имеет система: y = 4x + 1, y = 4x + 3?

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Прямые параллельны: угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны.

Сколько решений имеет система: y = 2x, y = 3x?

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Прямые с разными угловыми коэффициентами пересекаются в одной точке.

Решите систему: x² + y² = 50, y = 0. Сколько решений она имеет?

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. x² = 50: два корня ±1.

Найдите произведение xy, если x + y = 2 и x − y = 12.

Показать ответ

Ответ: -35
Решение. x = 7, y = −5; произведение −35.