Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнения sin(x)=a, cos(x)=a, tan(x)=a и их общие решения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Синусоида — бесконечная «волна». Горизонтальная прямая $y = \frac{1}{2}$ пересекает её бесконечно много раз. Поэтому у уравнения $sin x = \frac{1}{2}$ бесконечно много корней, и их записывают одной формулой с параметром $n \in Z$ (любое целое число).

sin x = \frac{1}{2}

: корни

\frac{π}{6} + 2 πn

\frac{5 π}{6} + 2 πn

Синус и косинус принимают значения только от $- 1$ до $1$ . Поэтому:

при $∣ a ∣ \leq 1$ уравнения $sin x = a$ и $cos x = a$ имеют бесконечно много корней; при $∣ a ∣ > 1$ — ни одного. Уравнение $tg x = a$ имеет бесконечно много корней при любом $a$ .

Аркфункции — «один корень»

$arcsin a$ угол из

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

, синус которого равен

a

(

∣ a ∣ \leq 1

)

$arccos a$ угол из

[0; π]

, косинус которого равен

a

(

∣ a ∣ \leq 1

)

$arctg a$ угол из

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

, тангенс которого равен

a

$a$	$- 1$	$- \frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$	$1$
$arcsin a$	$- \frac{π}{2}$	$- \frac{π}{4}$	$- \frac{π}{6}$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$arccos a$	$π$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{6}$	$0$

Арктангенс: $arctg \frac{1}{3 www.reknow.ru} = \frac{π}{6}$ , $arctg 1 = \frac{π}{4}$ , $arctg 3 www.reknow.ru = \frac{π}{3}$ , $arctg 0 = 0$ .

arcsin (- a) = - arcsin a, arccos (- a) = π - arccos a, arctg (- a) = - arctg a

Формулы общего решения

sin x = a : x = (- 1)^{n} arcsin a + πn, n \in Z

при

∣ a ∣ \leq 1

cos x = a : x = \pm arccos a + 2 πn, n \in Z

при

∣ a ∣ \leq 1

tg x = a : x = arctg a + πn, n \in Z

при любом

a

$sin x = 0 \Rightarrow x = πn$ ; $sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + 2 πn$ ; $sin x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{π}{2} + 2 πn$ .

$cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + πn$ ; $cos x = 1 \Rightarrow x = 2 πn$ ; $cos x = - 1 \Rightarrow x = π + 2 πn$ .

$sin x = - \frac{2 www.reknow.ru}{2}$ : $arcsin (- \frac{2 www.reknow.ru}{2}) = - \frac{π}{4}$ , $x = (- 1)^{n} (- \frac{π}{4}) + πn$ .
$cos x = - \frac{1}{2}$ : $arccos (- \frac{1}{2}) = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ , $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 πn$ .
$tg x = 3 www.reknow.ru$ : $x = \frac{π}{3} + πn$ .

Уравнение с коэффициентом

Если перед функцией стоит число, сначала делим на него обе части — получаем простейшее уравнение.

$3 sin x = - 3 \Rightarrow sin x = - 1$ , один из корней $arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}$ .
$4 cos x = - 4 \Rightarrow cos x = - 1$ , $arccos (- 1) = π$ .
$2 cos x = 1 \Rightarrow cos x = \frac{1}{2}$ , $arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$ .
$2 sin x = 3 \Rightarrow sin x = 1, 5 > 1$ — корней нет.

У синуса период в формуле — $πn$ (вместе с $(- 1)^{n}$ ), у косинуса — $2 πn$ , у тангенса — $πn$ . Путать нельзя. И не забывайте: $arccos$ отрицательного числа — тупой угол, а не отрицательный.

Значения аркфункций берите по единичной окружности: $arcsin$ ищем в правой половине (I и IV четверти), $arccos$ — в верхней (I и II четверти).

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Сколько корней имеет уравнение на всей числовой прямой?

sin(x) = √2/2

ровно один
бесконечно много
ровно два
ни одного

Показать ответ

Ответ: бесконечно много
Решение. Функция sin периодична, при |a|≤1 корней бесконечно много.

Укажите общее решение уравнения:

sin(x) = 12

x = 2πn, n∈ℤ
решений нет
x = π2 + πn, n∈ℤ
x = (−1)ⁿ·(π6) + πn, n∈ℤ

Показать ответ

Ответ: x = (−1)ⁿ·(π6) + πn, n∈ℤ
Решение. Общее решение: x = (−1)ⁿ·(π6) + πn, n∈ℤ.

Укажите один из корней уравнения (значение arccos(a)):

cos(x) = 0

π2
π - (π2)
-(π2)
π2 - (π2)

Показать ответ

Ответ: π2
Решение. arccos(0) = π2.

Укажите общее решение уравнения:

cos(x) = -12

x = 2πn, n∈ℤ
решений нет
x = πn, n∈ℤ
x = ±(2π/3) + 2πn, n∈ℤ

Показать ответ

Ответ: x = ±(2π/3) + 2πn, n∈ℤ
Решение. Общее решение: x = ±(2π/3) + 2πn, n∈ℤ.

Укажите общее решение уравнения:

tan(x) = √3

решений нет
x = -(π3) + πn, n∈ℤ
x = π3 + 2πn, n∈ℤ
x = π3 + πn, n∈ℤ

Показать ответ

Ответ: x = π3 + πn, n∈ℤ
Решение. Общее решение: x = π3 + πn, n∈ℤ.

Сколько корней имеет уравнение на всей числовой прямой?

tan(x) = 1/√3

ровно один
бесконечно много
ровно два
ни одного

Показать ответ

Ответ: бесконечно много
Решение. Функция tan периодична (период π), корней бесконечно много.

Сначала выразите sin(x), затем найдите один из корней (значение arcsin от результата):

3·sin(x) = -3

π + (-π/2)
-π/2
-(-π/2)
π - (-π/2)

Показать ответ

Ответ: -π/2
Решение. sin(x) = -3 : 3 = -1; arcsin(-1) = -π/2.

Сначала выразите cos(x), затем найдите один из корней (значение arccos от результата):

4·cos(x) = -4

π
π - (π)
-(π)
π + (π)

Показать ответ

Ответ: π
Решение. cos(x) = -4 : 4 = -1; arccos(-1) = π.