Показательные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства с равными основаниями степени, простейшие показательные уравнения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

В уравнении $3^{x} = 81$ неизвестна не основа, а показатель степени. Заметим, что $81 = 3^{4}$ , — и сразу $x = 4$ . Если основания одинаковы, равны и показатели.

a^{p} = a^{k} ⟺ p = k, a > 0, a \neq = 1

a

— основание степени,

p

k

— показатели

Показательная функция каждое своё значение принимает ровно один раз, поэтому из

a^{p} = a^{k}

следует

p = k

Уравнения

Записать обе части как степени одного основания.
Приравнять показатели и решить получившееся уравнение.

$3^{3 x + 5} = 3^{2}$

Основания равны: $3 x + 5 = 2$ .
$3 x = - 3$ , $x = - 1$ .

$3^{x} = 59049$

$59049 = 3^{10}$ (делим на 3 десять раз или считаем $3^{5} = 243$ , $24 3^{2} = 59049$ ).
$x = 10$ .

$8^{x} = 32768$

$8^{5} = 32768$ , значит $x = 5$ . Можно и через двойку: $2^{3 x} = 2^{15}$ , $3 x = 15$ .

$n$	2	3	4	5	6	10
$2^{n}$	4	8	16	32	64	1024
$3^{n}$	9	27	81	243	729	59049
$5^{n}$	25	125	625	3125	15625

Уравнение $2^{x} = - 4$ (или $2^{x} = 0$ ) корней не имеет: степень положительного числа всегда положительна.

Неравенства

$a > 1$ — знак сохраняетсяФункция

a^{x}

возрастает:

a^{p} > a^{k} ⟺ p > k

$0 < a < 1$ — знак меняетсяФункция

a^{x}

убывает:

a^{p} > a^{k} ⟺ p < k

$7^{x} > 7^{1}$

$7 > 1$ — знак сохраняется: $x > 1$ .

$1 0^{x} < 1 0^{- 3}$

$10 > 1$ : $x < - 3$ .

Основание «больше единицы» — график идёт вверх, знак «как был». Основание-дробь вроде $\frac{1}{2}$ или $0, 3$ — график идёт вниз, знак «переворачиваем».

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Логарифмы

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Решите уравнение, в ответ впишите x:

3^(3x + 5) = 3^(2)

Показать ответ

Ответ: -1
Решение. 3x + 5 = 2 ⇒ x = -1.

Решите неравенство (основание больше 1, функция возрастает):

7^x > 7^(1)

x < 1
x > 1
x = 1
x ≠ 1

Показать ответ

Ответ: x > 1
Решение. 7^x > 7^1 ⇒ x > 1.

Решите уравнение:

3^x = 59049

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. 59049 = 3^10, значит x = 10.