Навык · Алгебра, 10 класс

Показательное неравенство: когда знак меняется

Сравниваем степени с одинаковым основанием и следим за основанием.

Правило за 30 секундПриведите обе части к одному основанию: a^f(x) > a^g(x). Если a > 1, знак сохраняется: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, знак меняется на противоположный: f(x) < g(x).

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Сравнивать степени с одинаковым основанием — всё равно что сравнивать показатели. Но есть подвох: если основание меньше 1, то чем больше показатель, тем меньше степень ( $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8} < (\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2}$ ). Поэтому всё решает основание.

$a > 1$ — знак сохраняется

a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) > g (x)

. Функция

a^{x}

возрастает.

$0 < a < 1$ — знак меняется

a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) < g (x)

. Функция

a^{x}

убывает.

Практика ›закрепить задачами по теме

Почему так: графики

(\frac{1}{2})^{x} > 4

там, где розовый график выше пунктира

y = 4

, — при

x < - 2

. А

2^{x} > 4

— при

x > 2

Практика ›закрепить задачами по теме

Алгоритм и примеры

Привести обе части к одному основанию: $4 = 2^{2}$ , $\frac{1}{8} = 2^{- 3}$ , $0, 01 = 1 0^{- 2}$ .
Посмотреть на основание: больше 1 или меньше.
Записать неравенство для показателей с тем же или противоположным знаком.

$7^{x} > 7^{1}$

Основание $7 > 1$ — знак сохраняется: $x > 1$ .

$1 0^{x} < 1 0^{- 3}$

$10 > 1$ : $x < - 3$ .

$(\frac{1}{3})^{x} \leq 9$

$9 = (\frac{1}{3})^{- 2}$ .
Основание $\frac{1}{3} < 1$ — знак меняется: $x \geq - 2$ .

Ошибка: $(\frac{1}{2})^{x} > 4$ решают как $x > - 2$ . Основание $\frac{1}{2}$ меньше 1, знак меняется: $(\frac{1}{2})^{x} > (\frac{1}{2})^{- 2} \Rightarrow x < - 2$ .

Сомневаетесь — подставьте число. При $x = - 3$ : $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8 > 4$ ✓, значит решения лежат левее $- 2$ .

Навык — часть темы «Показательные уравнения и неравенства». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 10 класс ›

Серия: 0

Показательное неравенство: когда знак меняется

Простыми словами

Почему так: графики

Алгоритм и примеры

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю