Синус, косинус, тангенс угла — Геометрия, 9 класс

Определения, табличные значения, основное тригонометрическое тождество. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Чем круче горка, тем выше поднимаешься на каждый метр пути. Синус, косинус и тангенс — числа, которые описывают «крутизну» угла: они зависят только от угла, а не от размера треугольника. Поэтому, зная угол и одну сторону, можно найти остальные.

Катеты называют относительно угла

α

A C

— напротив него,

BC

— рядом

sin α = \frac{A C}{A B} cos α = \frac{BC}{A B} tg α = \frac{A C}{BC}

синус — противолежащий катет / гипотенуза; косинус — прилежащий / гипотенуза; тангенс — противолежащий / прилежащий

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $BC = 5$ , $A B = 13$ ; $α = ∠ B$ .

Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$ : $cos B = \frac{5}{13} \approx 0, 38$ .
При $A C = 4$ , $BC = 3$ , $A B = 5$ : $tg B = \frac{A C}{BC} = \frac{4}{3} \approx 1, 33$ .

«Противолежащий» и «прилежащий» зависят от того, о каком угле речь. Для угла $A$ катеты меняются ролями.

Таблица значений

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$	$1$
$cos α$	$1$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tg α$	$0$	$\frac{3 www.reknow.ru}{3}$	$1$	$3 www.reknow.ru$	—

Синусы $0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ : $\frac{0 www.reknow.ru}{2}, \frac{1 www.reknow.ru}{2}, \frac{2 www.reknow.ru}{2}, \frac{3 www.reknow.ru}{2}, \frac{4 www.reknow.ru}{2}$ . Косинусы — та же строка в обратном порядке.

Обратный вопрос «для какого угла $sin α = 0, 5$ ?» решается по той же таблице: $α = 3 0^{\circ}$ .

$∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , найти прилежащий катет $BC$ : $BC = A B \cdot cos 6 0^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ .
$∠ B = 3 0^{\circ}$ , $A C = 13$ (катет напротив $B$ ), найти $A B$ : $A B = \frac{A C}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 26$ .

Катет, лежащий напротив угла $3 0^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.

Основное тригонометрическое тождество

sin^{2} α + cos^{2} α = 1 tg α = \frac{sin α}{cos α}

это теорема Пифагора, делённая на квадрат гипотенузы

Для острого угла все значения положительны, поэтому $cos α = 1 - sin^{2} α www.reknow.ru$ .

$α$ — острый, $sin α = 0, 8$ . Найти $tg α$ .

$cos^{2} α = 1 - 0, 64 = 0, 36$ , $cos α = 0, 6$ .
$tg α = \frac{0 , 8}{0 , 6} = \frac{4}{3} \approx 1, 33$ .
При $sin α = 0, 75$ : $cos α = 0, 4375 www.reknow.ru \approx 0, 661$ , $tg α \approx 1, 13$ .

$sin^{2} α$ — это $(sin α)^{2}$ , а не $sin (α^{2})$ .

Углы от 0° до 180°

Для любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ строят луч из центра единичной полуокружности: $cos α$ — абсцисса точки на ней, $sin α$ — ордината.

sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}

, а

cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

формулы приведения: тупой угол сводится к острому

18 0^{\circ} - α

$sin 12 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} = \frac{3 www.reknow.ru}{2}$ — сводится к острому углу $6 0^{\circ}$ . $cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3 www.reknow.ru}{2}$ .

Тупой уголсинус

> 0

, косинус

< 0

, тангенс

< 0

$9 0^{\circ}$

sin = 1

cos = 0

, тангенс не существует

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Калькуляторы

Тригонометрия

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Угол α — острый. Найдите tg α. Ответ округлите до сотых.

sin α = 0,8

Показать ответ

Ответ: 1,33
Решение. cos α = √(1 − 0,8²) = √0,36; tg α = sin α / cos α = 1,33.

Угол α — острый. Найдите cos α. Ответ округлите до сотых.

sin α = 0,2

Показать ответ

Ответ: 0,98
Решение. cos²α = 1 − 0,2² = 0,96; cos α = √0,96 ≈ 0,98.

Угол α — острый. Найдите cos α.

sin α = 0,8

Показать ответ

Ответ: 0,6
Решение. cos²α = 1 − sin²α = 1 − 0,8² = 0,36; cos α = √0,36 = 0,6 (угол острый, косинус положителен).

основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Это следствие теоремы Пифагора для единичной окружности.

синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. sin α = противолежащий катет / гипотенуза.

косинус острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к гипотенузе

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. cos α = прилежащий катет / гипотенуза.

тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. tg α = противолежащий катет / прилежащий катет = sin α / cos α.

синус острого угла может быть больше единицы

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Катет всегда меньше гипотенузы, поэтому 0 < sin α < 1.