Тема 1 · Геометрия

Векторы

Сложение, вычитание, умножение на число, коллинеарность. 100 заданий на отработку.

0
Решено
0
Правильно
0%
Точность

Простыми словами

Чтобы объяснить, куда идти, мало сказать «200 метров» — нужно ещё «на север». Вектор — это и расстояние, и направление сразу: стрелка из начала в конец. Два перемещения подряд складываются в одно — это и есть сумма векторов.

Вектор — направленный отрезок с началом и концом . Длина (модуль) — длина отрезка , она не бывает отрицательной.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых: сонаправленные или противоположно направленные . Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны.

Сложение и вычитание

правило треугольника: второй вектор откладываем от конца первого

Для цепочки работает правило многоугольника: — «конец одного = начало следующего», сумма идёт от первого начала к последнему концу. Например, , .

ABCD ba www.reknow.ru
, : (зелёная), (розовая)
Правило параллелограммаУ векторов с общим началом сумма — диагональ параллелограмма из того же начала.
Разность — вектор от конца к концу (общее начало).
  1. : конец первого — начало второго, сумма .
  2. : общее начало , разность — от конца к концу : .

и — противоположные векторы: . Буквы в названии читаются строго «из начала в конец».

Умножение на число и длина суммы

при вектор сонаправлен с , при — противоположно направлен

Если , векторы коллинеарны (это признак коллинеарности).

a2a−1,5a aba + b www.reknow.ru
Слева: умножение на число. Справа: , длина суммы — гипотенуза
Расположение
сонаправлены
противоположно направлены
перпендикулярны
  1. : ; : .
  2. , и : . , и : .
  3. , и : ; и : .

Для перпендикулярных векторов : это две диагонали прямоугольника, а они равны.

Свойства сложения и нулевой вектор

Нулевой вектор — точка, у которой начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, направление не определено; считают, что он коллинеарен любому вектору.

СвойствоЗапись
от перестановки слагаемых сумма не меняется; в параллелограмме
сумма противоположных векторов,
разность

Два вектора одинаковой длины не обязательно равны — нужно ещё одинаковое направление. И длина суммы не всегда равна сумме длин: только у сонаправленных векторов.

Посмотреть и посчитать

Модели
Сложение векторов
Серия: 0

Что дальше

Координаты вектора. Координатный метод9 кл., геометрия Скалярное произведение векторов9 кл., геометрия Векторы в пространстве11 кл., геометрия
Где это пригодится: ЕГЭ — 1 заданиеЗадания экзамена 11 класса, которые опираются на этот материал — нажмите, чтобы раскрыть список
ЕГЭ, профиль, задание 2ВекторыОткрыть →
Учителю

Готовые работы по теме

Собраны заранее — одним нажатием: распечатать с ключом, раздать ученикам ссылкой или QR-кодом, поменять настройки. Номер набора постоянный: по этой ссылке всегда та же работа.

Самостоятельная

10 заданий · 2 варианта · с ключом

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Контрольная

15 заданий · онлайн, 40 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Диагностика перед темой

8 заданий · 15 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

теория этой темы, 8 заданий по подтемам и ключ — файлом DOCX, который можно править под себя.

Учителю о теме

Что проверяется

  • Сложение перпендикулярных векторов
  • Коллинеарные векторы
  • Умножение вектора на число
  • Правило многоугольника
  • Векторы в параллелограмме
  • Определения и формулировки теорем

Типичные ошибки

  • По правилу треугольника откладывают второй вектор от начала первого, а не от его конца.
  • Длину суммы перпендикулярных векторов считают как сумму длин, без теоремы Пифагора.
  • Считают коллинеарные векторы обязательно сонаправленными.
  • Умножая вектор на отрицательное число, сохраняют его направление.

Учебники курса

  • Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. «Геометрия. 7–9 классы»
  • А. В. Погорелов «Геометрия. 7–9 классы»

Самостоятельная по теме с ответами — два варианта и ключ на одной странице →

Содержание

На бумаге — не больше 25: дальше лист перестаёт быть работой на урок. Онлайн — до 40.

Не нравится задание в собранном листе — нажмите «заменить» под ним: вместо него встанет другое из той же подтемы.

Варианты

Разные задания при одинаковом наборе тем и одинаковом числе заданий.

Прохождение онлайн

Имя ученика никуда не отправляется: он вводит только номер по списку, а таблицу «номер → фамилия» видите только вы.

Оценка
Печать

Собранный лист можно скачать файлом Word — кнопка «Скачать DOCX» над листом: задания, место под решение и ключ, всё редактируется.

Печатается над каждым вариантом. Хранится только в этом браузере, в ссылку не попадает.

По одному и тому же номеру собирается та же работа — ссылку можно сохранить и вернуться к ней позже.

Классы, выданные работы и результаты учеников по кодам — в журнале учителя: без регистрации, хранится только на этом компьютере.