Правильные многоугольники — Геометрия, 9 класс

Углы, вписанная и описанная окружности, периметр. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Дорожный знак «STOP» — правильный восьмиугольник, гайка — правильный шестиугольник: все стороны и все углы у них одинаковые. Такую фигуру можно разрезать из центра на $n$ одинаковых равнобедренных треугольников — отсюда и все формулы.

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Около него всегда можно описать окружность и в него всегда можно вписать окружность; их центры совпадают.

Углы

Правильный пятиугольник: центральный угол

β = \frac{36 0 ^{\circ}}{5} = 7 2^{\circ}

R

— до вершины,

r

— до середины стороны

Σ = 18 0^{\circ} (n - 2), α = \frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}, β = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

n

— число сторон,

Σ

— сумма внутренних углов (любого выпуклого

n

-угольника),

α

— внутренний угол,

β

— центральный угол правильного

n

-угольника

Внешний угол правильного $n$ -угольника равен $18 0^{\circ} - α = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ — как центральный; сумма внешних углов всегда $36 0^{\circ}$ .

$n$	3	4	5	6	8	10	12
внутренний	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$10 8^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$14 4^{\circ}$	$15 0^{\circ}$
центральный	$12 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$7 2^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$3 6^{\circ}$	$3 0^{\circ}$

Внутренний угол $16 2^{\circ}$ . Сколько сторон?

Внешний угол $18 0^{\circ} - 16 2^{\circ} = 1 8^{\circ}$ .
$n = \frac{36 0 ^{\circ}}{1 8 ^{\circ}} = 20$ .

Сумма углов 19-угольника: $18 0^{\circ} \cdot 17 = 306 0^{\circ}$ . Центральный угол $4 0^{\circ}$ : $n = \frac{360}{40} = 9$ .

Число сторон проще всего искать через внешний (или центральный) угол: $n = \frac{36 0 ^{\circ}}{внешний угол}$ .

Радиусы, периметр, площадь

R = \frac{a}{2 sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}, r = \frac{a}{2 tg \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}

a

— сторона,

R

— радиус описанной,

r

— вписанной окружности

$n$	$R$ через $a$	$r$ через $a$
3	$\frac{a 3 www.reknow.ru}{3}$	$\frac{a 3 www.reknow.ru}{6}$
4	$\frac{a 2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{a}{2}$
6	$a$	$\frac{a 3 www.reknow.ru}{2}$

P = n \cdot a, S = \frac{1}{2} P \cdot r

Шестиугольник, $a = 13$ : $r = \frac{13 3 www.reknow.ru}{2} \approx 11, 26$ . Треугольник, $a = 28$ : $R = \frac{28 3 www.reknow.ru}{3} \approx 16, 17$ . Квадрат, $a = 15$ : $R = \frac{15 2 www.reknow.ru}{2} \approx 10, 61$ . 18-угольник, $a = 20$ : $P = 360$ .

У треугольника $R = 2 r$ , у шестиугольника $R = a$ . Не перепутайте: $R$ — до вершины, $r$ — до середины стороны (апофема).

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников — поэтому его сторона равна радиусу описанной окружности.

Симметрия и проверка утверждений

У правильного $n$ -угольника ровно $n$ осей симметрии; центр симметрии есть только при чётном $n$ .
Правильный треугольник — это равносторонний треугольник; правильный четырёхугольник — квадрат.
Ромб, не являющийся квадратом, — не правильный многоугольник: стороны равны, а углы нет.
Внутренний угол правильного многоугольника всегда меньше $18 0^{\circ}$ (многоугольник выпуклый), а с ростом $n$ приближается к $18 0^{\circ}$ .

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Это определение правильного многоугольника.

около любого правильного многоугольника можно описать окружность

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. И описанная, и вписанная окружности существуют, причём их центры совпадают.

центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника совпадают

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Общий центр называется центром правильного многоугольника.

сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°·(n − 2)

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Многоугольник разбивается диагоналями из одной вершины на n − 2 треугольника.

внутренний угол правильного n-угольника равен 180°·n − 2n

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Сумму углов делят на число равных углов.

центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Полный угол при центре делится на n равных частей.

сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при каждой вершине) равна 360°

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Этот факт не зависит от числа сторон.

сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников.