Правильные многогранники

Простыми словами

Игральные кости бывают не только кубическими: у настольных игр есть кости с 4, 8, 12 и 20 гранями. Все они — правильные многогранники: все грани — одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Таких тел ровно пять.

Пять правильных многогранников

В — вершины, Р — рёбра, Г — грани. Название говорит о числе граней: «тетра» — 4, «гекса» — 6, «окта» — 8, «додека» — 12, «икоса» — 20.

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше $360^{\circ }$ — поэтому правильных многогранников только пять. По формуле Эйлера находят недостающее: $\text{Г}=2-\text{В}+\text{Р}$, $\text{В}=2+\text{Р}-\text{Г}$, $\text{Р}=\text{В}+\text{Г}-2$.

Рёбра и площадь поверхности

Сумма длин всех рёбер $=\text{Р}\cdot a$, где $a$ — ребро. Додекаэдр: сумма 300 — ребро $300:30=10$; ребро 17 — сумма $17\cdot 30=510$.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$, поэтому:

Икосаэдр — 20 правильных треугольников: $S=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=5\sqrt{3}{a}^2$; при $a=4$ получаем $80\sqrt{3}$, $k=80$.

Высота и объём

Высота правильного тетраэдра падает в центр основания; расстояние от центра до вершины основания $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, поэтому $h^2=a^2-R^2$:

Противоположные вершины октаэдра — вершины двух пирамид; расстояние между ними равно диагонали квадрата со стороной $a$: $d^2=2a^2$ (при $a=6$ получаем $72$).