Шар и сфера — Геометрия, 10 класс

Объём шара, площадь сферы, сечение шара плоскостью, большой круг. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Мяч и его оболочка — разные вещи. Оболочка (резина) — это сфера, поверхность. Всё, что внутри вместе с оболочкой, — шар, тело. У сферы считают площадь (сколько резины), у шара — объём (сколько воздуха).

Сфера — множество всех точек пространства, удалённых от данной точки $O$ (центра) на одно и то же расстояние $R$ (радиус).

Шар — тело, ограниченное сферой: все точки, удалённые от центра не больше чем на $R$ .

Отрезок через центр с концами на сфере — диаметр, $D = 2 R$ .

Объём шара и площадь сферы

V = \frac{4}{3} π R^{3}

объём шара

S = 4 π R^{2}

площадь сферы

Здесь $R$ — радиус, $π \approx 3, 14$ . Объём — в кубических единицах, площадь — в квадратных.

$R = 87$ : $V = \frac{4}{3} π \cdot 8 7^{3} = \frac{4}{3} \cdot 658503 π = 878004 π$ , вписываем $k = 878004$ .
$R = 7$ : $S = 4 π \cdot 49 = 196 π$ , $k = 196$ .

Удобно делить на 3 до возведения: $\frac{4}{3} R^{3} = 4 \cdot \frac{R}{3} \cdot R^{2}$ , если $R$ делится на 3 ( $87 = 3 \cdot 29$ ).

Если просят « $k$ в виде $kπ$ », число $π$ не подставляют — пишут только коэффициент.

Сечение шара плоскостью

Любое сечение шара плоскостью — круг. Его центр — основание перпендикуляра из центра шара на плоскость. Сечение сферы — окружность.

Прямоугольный треугольник: катеты

d

r

, гипотенуза

R

r^{2} = R^{2} - d^{2}

радиус сечения

где $R$ — радиус шара, $d$ — расстояние от центра до плоскости, $r$ — радиус сечения.

$R = 9$ , $d = 4$ : $r = 81 - 16 www.reknow.ru = 65 www.reknow.ru \approx 8, 06$ .
Площадь сечения при $R = 24$ , $d = 20$ : $S = π r^{2} = π (576 - 400) = 176 π$ .
$R = 34$ , $r = 30$ , найти $d$ : $d = 1156 - 900 www.reknow.ru = 256 www.reknow.ru = 16$ .
Длина линии пересечения сферы ( $R = 55$ , $d = 33$ ): $r = 3025 - 1089 www.reknow.ru = 44$ , $C = 2 π r = 88 π$ .

Площадь сечения — $π r^{2}$ , а длина линии пересечения — $2 π r$ . Не путайте: в первом случае можно сразу брать $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ , корень не нужен.

Большой круг

Если плоскость проходит через центр ( $d = 0$ ), сечение — большой круг, его радиус равен радиусу шара. Это самое большое сечение.

Площадь большого круга

S = π R^{2}

. При

R = 8

64 π

Обратная задача

π R^{2} = 196 π \Rightarrow R^{2} = 196, R = 14

Площадь сферы ровно в 4 раза больше площади большого круга: $4 π R^{2} = 4 \cdot π R^{2}$ .

Пусть $d$ — расстояние от центра до плоскости. $d < R$ — пересечение по окружности (сечение шара — круг); $d = R$ — одна общая точка, плоскость касательная, она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; $d > R$ — общих точек нет. Сечения, равноудалённые от центра, равны. Сфера получается вращением полуокружности вокруг её диаметра (шар — вращением полукруга).

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём шара

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Радиус шара равен R, плоскость сечения удалена от центра на расстояние d. Найдите радиус окружности сечения:

R = 9, d = 4

Показать ответ

Ответ: 8.06
Решение. r = √(9² − 4²) = √65 = 8.06.

Сфера — это множество точек пространства, равноудалённых от данной точки (центра)

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Определение сферы (поверхности шара).

Шар — это тело, ограниченное сферой

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Определение шара как тела.

Любое сечение шара плоскостью — круг

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Плоское сечение шара всегда является кругом (или точкой в предельном случае касания).

Сечение шара, проходящее через центр, называется большим кругом

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Определение большого круга шара.

Радиус шара равен 34, радиус сечения — 30. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Показать ответ

Ответ: 16
Решение. d = √(34² − 30²) = √256 = 16.

Радиус сферы равен 55, плоскость удалена от центра на 33. Найдите длину линии пересечения сферы и плоскости в виде k·π (впишите k).

Показать ответ

Ответ: 88
Решение. r = √(55² − 33²) = 44; C = 2π·44 = 88π.

Площадь большого круга шара равна 196π. Найдите радиус шара.

Показать ответ

Ответ: 14
Решение. R² = 196, R = 14.