Калькулятор объёма шара
Введите радиус — калькулятор посчитает объём по формуле V = ⁴⁄₃πr³ и заодно найдёт площадь сферы.
Заполните, если хотите проверить себя: калькулятор сравнит и подскажет, на каком шаге разошлось.
Здесь часто ошибаются
- ✗Возводят радиус в квадрат. В объёме стоит куб радиуса: V = ⁴⁄₃πr³. Квадрат — в площади сферы: S = 4πr².
- ✗Подставляют диаметр. Шар диаметром 10 см имеет радиус 5 см; с диаметром объём выйдет в восемь раз больше.
- ✗Теряют коэффициент ⁴⁄₃. Без него получается объём цилиндра с радиусом и высотой r, а не шара.
Последние расчёты
Хранятся только в этом браузере. Нажмите, чтобы вернуться к расчёту.
Хотите научиться решать сами?
Формулы объёмов держатся друг за друга: у конуса треть цилиндра, у пирамиды треть призмы. В тренажёрах это видно на задачах.
⚪Шар и сфера, 10 классОбъём шара, площадь сферы, сеченияРешать →⚪Шар и сфера, 11 классОбъём шара, площадь сферы, вписанные и описанные телаРешать →Площади поверхностей, 11 классПоверхности тел вращения и многогранниковРешать →Теория и модели по теме
Формула объёма шара
Объём шара равен V = ⁴⁄₃ · πr³, а площадь его поверхности — сферы — равна S = 4πr². Радиус входит в объём в третьей степени, а в площадь во второй, поэтому при увеличении радиуса вдвое объём растёт в восемь раз, а поверхность — только вчетверо.
Разбор примера
Радиус 5 см. Куб радиуса: 125. Объём: 4 · π · 125 : 3 ≈ 523,60 см³, точно — 500π : 3 см³. Площадь сферы: 4 · π · 25 = 100π ≈ 314,16 см². Заметьте совпадение, которое любят в задачах: объём шара радиуса r равен трети произведения площади сферы на радиус, V = ⅓ · S · r.
Шар и цилиндр Архимеда
Архимед доказал, что шар занимает две трети объёма описанного вокруг него цилиндра — цилиндра с радиусом r и высотой 2r. Проверить легко: объём такого цилиндра равен πr² · 2r = 2πr³, а две трети от него и есть ⁴⁄₃πr³. Это соотношение Архимед считал главным своим результатом и просил изобразить шар с цилиндром на своём надгробии.
Почему шар выгоден природе
При одинаковом объёме у шара наименьшая площадь поверхности из всех тел. Поэтому капля воды в невесомости сферическая, а мыльный пузырь стремится к шару: так меньше всего поверхностной энергии. По этой же причине шарообразные хранилища теряют меньше тепла, чем любые другие той же ёмкости.
Обратная задача
По объёму радиус находится так: r = ∛(3V : (4π)). Для объёма 1 литр (1000 см³) радиус равен примерно 6,2 см — то есть литр воды укладывается в шар диаметром около 12,4 см.
Частые вопросы
Как найти объём шара по диаметру?
Разделите диаметр пополам и подставьте радиус: V = ⁴⁄₃πr³. Или сразу: V = πd³ : 6. Для диаметра 10 см объём равен π · 1000 : 6 ≈ 523,6 см³.
Чем отличается шар от сферы?
Сфера — это только поверхность, у неё считают площадь 4πr². Шар — это сфера вместе со всем, что внутри, у него считают объём ⁴⁄₃πr³.
Во сколько раз объём шара больше, если радиус вырос втрое?
В 27 раз: радиус входит в куб. Площадь сферы при этом вырастет в 9 раз.
Как найти радиус шара по объёму?
r = ∛(3V : (4π)). Для объёма 36π см³ радиус равен 3 см: 3 · 36π : (4π) = 27, а кубический корень из 27 равен 3.
Решение с сайта reknow.ru · https://reknow.ru/calc/calc_obem_shara.htm