Калькулятор объёма конуса

Формула объёма конуса

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓ · πr² · h. Треть здесь не случайна: конус и цилиндр с одинаковым основанием и одинаковой высотой относятся как 1 к 3 — три таких конуса ровно заполняют цилиндр, и это можно проверить, переливая воду.

Разбор примера

Радиус 3 см, высота 4 см. Площадь основания: π · 9 ≈ 28,27 см². Объём: 28,27 · 4 : 3 ≈ 37,70 см³, точно — 12π см³. Образующая находится по теореме Пифагора: l = √(3² + 4²) = 5 см. Боковая поверхность: πrl = π · 3 · 5 = 15π ≈ 47,12 см², полная добавляет основание: 15π + 9π = 24π ≈ 75,40 см².

Высота, радиус и образующая

Эти три величины образуют прямоугольный треугольник: радиус и высота — катеты, образующая — гипотенуза. Поэтому l² = r² + h², и любую из них можно найти по двум другим. Путаница высоты с образующей — самая частая ошибка в задачах на конус: если в условии дана «боковая сторона» или «длина от вершины до края основания», это образующая.

Развёртка боковой поверхности

Если разрезать конус по образующей и развернуть, получится круговой сектор радиуса l, длина дуги которого равна длине окружности основания 2πr. Отсюда и формула боковой поверхности πrl, и угол развёртки: α = 360° · r : l.

Где встречается

Конус — это воронка, вафельный рожок, куча песка и колпак. В задачах ЕГЭ он чаще всего приходит в паре с цилиндром или шаром: нужно сравнить объёмы или найти объём тела, вписанного в другое.