Площади поверхностей — Геометрия, 11 класс

Боковая и полная поверхность многогранников и тел вращения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Площадь поверхности — это сколько бумаги нужно, чтобы оклеить тело со всех сторон. Удобнее всего представить, что тело разрезали и разложили на столе: получится развёртка, и её площадь — сумма площадей знакомых плоских фигур.

Боковая поверхность — все грани (части поверхности), кроме оснований. Полная поверхность = боковая + основания.

Многогранники

Развёртка куба:

S = 6 a^{2}

Тело	Боковая	Полная
Куб, ребро $a$	$4 a^{2}$	$6 a^{2}$
Прямоугольный параллелепипед $a, b, c$	$2 (a + b) c$	$2 (ab + b c + a c)$
Прямая призма	$P_{осн} \cdot h$	$P_{осн} \cdot h + 2 S_{осн}$
Правильная пирамида ( $m$ — апофема)	$\frac{1}{2} P_{осн} \cdot m$	$\frac{1}{2} P_{осн} \cdot m + S_{осн}$

Кубическую коробку с ребром 8 оклеивают бумагой.

$S = 6 \cdot 8^{2} = 6 \cdot 64 = 384$ .

Поверхность куба 54. Найдите ребро.

$6 a^{2} = 54$ , $a^{2} = 9$ .
$a = 3$ .

Тела вращения

Тело	Боковая	Полная
Цилиндр ( $r$ , $h$ )	$2 π r h$	$2 π r h + 2 π r^{2}$ (два круга)
Конус ( $r$ , образующая $l$ )	$π r l$	$π r l + π r^{2}$ (один круг)
Сфера ( $R$ )	—	$4 π R^{2}$ (оснований нет)

Цилиндр: $r = 3$ , $h = 5$ . Полная поверхность, делённая на $π$ : $2 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 9 = 30 + 18 = 48$ .

Прочитайте, какую поверхность просят: боковую или полную. У цилиндра два основания, у конуса — одно. В конусе — образующая $l$ , а не высота $h$ .

Если все размеры тела увеличить в $k$ раз, площадь поверхности вырастет в $k^{2}$ раз.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём цилиндра Объём конуса Объём куба

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Кубическую коробку с ребром 8 оклеивают бумагой. Сколько квадратных единиц бумаги нужно?

Показать ответ

Ответ: 384
Решение. S = 6·8² = 384.

Площадь поверхности куба 54. Найдите ребро.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. a² = 9, a = 3.

Колонна имеет форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 11 и высотой 12. Найдите площадь её боковой поверхности.

Показать ответ

Ответ: 528
Решение. S = 4·11·12 = 528.

Найдите площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 7 и высотой 5.

Показать ответ

Ответ: 238
Решение. S = 2·49 + 140 = 238.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами 2π·4 и 9. Найдите его площадь, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 72
Решение. S = 2π·4·9 = 72π.

Найдите площадь боковой поверхности конуса с радиусом 5 и образующей 13, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 65
Решение. S = πrl = 65π.

Шар радиуса 1 нужно покрасить. Найдите площадь окрашиваемой поверхности, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. S = 4πR² = 4π.

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 12 и апофемой 4.

Показать ответ

Ответ: 96
Решение. S = ½·48·4 = 96.