Учебник reknow · 11 класс

Геометрия: теория

15 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:7 8 9 10 11 Математика по всем классам →

Метод координат в пространстве
Призма и параллелепипед
Векторы в пространстве
Пирамида
Тела вращения: сечения и развёртки
Цилиндр
Шар и сфера, комбинации тел
Конус
Объёмы и отношения объёмов
Шар и сфера
Комбинации тел
Координаты в пространстве
Векторы в пространстве
Площади поверхностей
Подобие тел

Тема 01 · Геометрия, углублённый уровень

Метод координат в пространстве

Простыми словами

Вместо того чтобы «видеть» угол на сложном чертеже, многогранник ставят в систему координат, выписывают координаты вершин — и дальше угол или расстояние считается по готовой формуле. Это как навигатор: не нужно помнить дорогу, достаточно координат.

Главный инструмент — вектор нормали плоскости: вектор, перпендикулярный ей. Через него записываются и уравнение плоскости, и все формулы для углов и расстояний.

Уравнение плоскости

a x + b y + cz + d = 0, n = (a; b; c)

общее уравнение плоскости

Здесь $x, y, z$ — координаты любой точки плоскости, $n$ — вектор нормали (его координаты — коэффициенты при $x, y, z$ ), $d$ — свободный член.

Через точку $M_{0}$ и нормаль

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0

Через три точки $A, B, C$ Нормаль

n

из условий

n \cdot A B = 0

n \cdot A C = 0

; потом

d

— подстановкой

A

«В отрезках»

\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1

: плоскость отсекает на осях отрезки

p, q, r

Параллельны / перпендикулярныНормали пропорциональны /

n_{1} \cdot n_{2} = 0

Плоскость через $A (- 1; - 1; 4)$ , $B (4; 8; 3)$ , $C (- 3; - 12; - 3)$ имеет вид $- 2 x + b y + cz + d = 0$ . Найдите $b + c + d$ .

$A B = (5; 9; - 1)$ , $A C = (- 2; - 11; - 7)$ .
$n = (- 2; b; c)$ : $- 10 + 9 b - c = 0$ и $4 - 11 b - 7 c = 0$ . Из первого $c = 9 b - 10$ ; во втором $4 - 11 b - 63 b + 70 = 0$ , $b = 1$ , $c = - 1$ .
Подставим $A$ : $- 2 \cdot (- 1) + (- 1) - 4 + d = 0$ , $d = 3$ .
$b + c + d = 1 - 1 + 3 = 3$ .

Плоскость $2 x + 6 y + 3 z + 6 = 0$ пересекает оси в точках $X (- 3; 0; 0)$ , $Y (0; - 1; 0)$ , $Z (0; 0; - 2)$ (обнуляем две координаты). Тетраэдр $OX Y Z$ — прямоугольный: $V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 = 1$ .

Расстояния

ρ (M, α) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

от точки

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

до плоскости

α

$M (- 2; - 5; - 6)$ , плоскость $- 2 x + y + 2 z - 23 = 0$ .

$ρ = \frac{∣4 - 5 - 12 - 23∣}{4 + 1 + 4} = \frac{36}{3} = 12$ .

Между параллельными плоскостями: сначала сделать коэффициенты при $x, y, z$ одинаковыми, тогда

ρ = \frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} .

$- 8 x - 8 y + 4 z + 29 = 0$ и $- 24 x - 24 y + 12 z - 57 = 0$ . Делим второе на 3: $- 8 x - 8 y + 4 z - 19 = 0$ .

$ρ = \frac{∣29 - ( - 19 ) ∣}{64 + 64 + 16} = \frac{48}{12} = 4$ .

Не забудьте модуль в числителе и корень в знаменателе. Если нормаль «некрасивая», сократите её на общий множитель — вместе с $d$ .

В правильной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани — высота прямоугольного треугольника «высота пирамиды $h$ — апофема $m$ — половина стороны $x$ », проведённая к гипотенузе: $ρ = \frac{h \cdot x}{m}$ .

Углы координатным методом

Начало координат — в вершине

A

, оси — по рёбрам

A B

A D

A A_{1}

Поставить начало координат в вершину, оси — по трём перпендикулярным рёбрам.
Выписать координаты нужных точек. Середина — полусумма координат концов; точка, делящая $PQ$ в отношении $p : q$ , — $\frac{q \cdot P + p \cdot Q}{p + q}$ .
Найти направляющие векторы прямых и нормали плоскостей.
Подставить в формулу.

Угол	Формула
Между прямыми ( $u$ , $v$ — направляющие)	$cos φ = \frac{∣ u \cdot v ∣}{∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣}$
Между прямой и плоскостью ( $n$ — нормаль)	$sin φ = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣ \cdot ∣ n ∣}$
Между плоскостями	$cos φ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ \cdot ∣ n _{2} ∣}$

Куб с ребром 4, $M$ — середина $B_{1} C_{1}$ . Найдите $cos^{2}$ угла между $BM$ и $C_{1} C$ .

$B (4; 0; 0)$ , $B_{1} (4; 0; 4)$ , $C_{1} (4; 4; 4)$ , значит $M (4; 2; 4)$ , $C (4; 4; 0)$ .
$BM = (0; 2; 4)$ , $C C_{1} = (0; 0; 4)$ .
$cos φ = \frac{16}{20 \cdot 4} = \frac{4}{20}$ , $cos^{2} φ = \frac{16}{20} = 0, 8$ .

Куб, угол между $C D$ и плоскостью $D_{1} A_{1} C$ . Ребро удобно взять равным 1 — углы от размера не зависят.

$A_{1} (0; 0; 1)$ , $D_{1} (0; 1; 1)$ , $C (1; 1; 0)$ , $D (0; 1; 0)$ ; $D C = (1; 0; 0)$ .
Нормаль $n = (a; b; c)$ : $n ⊥ A_{1} D_{1} = (0; 1; 0) \Rightarrow b = 0$ ; $n ⊥ A_{1} C = (1; 1; - 1) \Rightarrow a = c$ . Берём $n = (1; 0; 1)$ .
$sin φ = \frac{1}{1 \cdot 2}$ , $sin^{2} φ = 0, 5$ .

Куб, плоскости $B_{1} C_{1} D$ и $C A C_{1}$ (ребро 1).

$B_{1} C_{1} D$ : векторы $(0; 1; 0)$ и $B_{1} D = (- 1; 1; - 1)$ дают $n_{1} = (1; 0; - 1)$ .
$C A C_{1}$ : векторы $(1; 1; 0)$ и $(0; 0; 1)$ дают $n_{2} = (1; - 1; 0)$ .
$cos φ = \frac{∣1∣}{2 \cdot 2} = 0, 5$ .

Для прямой и плоскости в формуле синус, а не косинус: нормаль перпендикулярна плоскости, поэтому угол с нормалью дополняет искомый до $9 0^{\circ}$ .

Углы между прямыми и между плоскостями не бывают тупыми — поэтому в числителе модуль. Получился отрицательный косинус — вы забыли модуль.

Тема 1 · Геометрия

Призма и параллелепипед

Потренироваться: задания по теме →

Объём куба Объём параллелепипеда

Простыми словами

Стопка одинаковых листов бумаги — призма: площадь листа, умноженная на высоту стопки, даёт объём. Если стопку сдвинуть набок, она станет наклонной, но объём не изменится — листов столько же.

Призма — многогранник с двумя равными параллельными основаниями-многоугольниками и боковыми гранями-параллелограммами. Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании; прямоугольный параллелепипед — все грани прямоугольники, его рёбра $a, b, c$ — измерения.

Объём

V = S_{осн} \cdot h

любая призма, в том числе наклонная

Здесь $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота (расстояние между основаниями, а не боковое ребро). Для прямоугольного параллелепипеда $S_{осн} = ab$ , $h = c$ :

V = ab c

объём прямоугольного параллелепипеда

Измерения $7, 8, 7$ : $V = 7 \cdot 8 \cdot 7 = 392$ .
$S_{осн} = 10$ , $h = 11$ : $V = 110$ .

У наклонной призмы высота меньше бокового ребра. В формулу идёт именно высота.

Поверхность и диагональ

A C^{2} = a^{2} + b^{2}

, затем

A C_{1}^{2} = A C^{2} + c^{2}

S = 2 (ab + b c + a c), d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

полная поверхность и диагональ прямоугольного параллелепипеда

Поверхность — три пары равных противоположных граней. Диагональ — двойная теорема Пифагора: сначала диагональ основания, затем сама диагональ. Боковая поверхность прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$ .

Измерения $2, 3, 6$ : $S = 2 (6 + 18 + 12) = 72$ , $d = 4 + 9 + 36 = 7$ .

Что меняется при подобии

Если все измерения увеличить в $k$ раз, площадь поверхности вырастет в $k^{2}$ раз, а объём — в $k^{3}$ раз.

Увеличили только одно ребро в $k$ раз — объём вырос в $k$ раз (как и $V = ab c$ ). Увеличили все три — в $k^{3}$ .

Тема 02 · Геометрия, углублённый уровень

Векторы в пространстве

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Чтобы объяснить, как дойти из одного угла комнаты в другой, достаточно трёх направлений: «вперёд», «вправо», «вверх» — и сколько шагов в каждом. Три таких направления в пространстве — это базис, а число шагов — координаты вектора.

Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых (или на одной). Компланарные — параллельны одной плоскости. Три некомпланарных вектора образуют базис: любой вектор единственным образом раскладывается так: $p = x a + y b + z c$ .

Разложение по трём некомпланарным векторам

a = A B

b = A D

c = A A_{1}

; диагональ

A C_{1} = a + b + c

Правило многоугольникаИдём по рёбрам от начала вектора к концу и складываем; против стрелки — с минусом.

Середина $M$ отрезка $PQ$

OM = \frac{1}{2} (OP + OQ)

Точка пересечения медиан $△ PQR$

OG = \frac{1}{3} (OP + OQ + OR)

$M$ — середина $D A$ . Разложите $B_{1} M$ , найдите $x$ .

Удобно идти через $A$ : $B_{1} M = A M - A B_{1}$ .
$A M = \frac{1}{2} b$ , $A B_{1} = a + c$ .
$B_{1} M = - a + \frac{1}{2} b - c$ , значит $x = - 1$ .

$M$ — центр грани $A B B_{1} A_{1}$ . $A_{1} M = A M - A A_{1} = \frac{1}{2} (a + c) - c = \frac{1}{2} a + 0 \cdot b - \frac{1}{2} c$ ; $x + y + z = 0$ .

Любой вектор $PQ = A Q - A P$ : «конец минус начало», где оба вектора идут из вершины базиса $A$ .

Коллинеарность и компланарность

Коллинеарны

b = k a

: координаты пропорциональны,

\frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{y _{1}} = \frac{z _{2}}{z _{1}}

Компланарны

c = x a + y b

, или определитель из координат равен нулю.

Три точки на прямой

A C = t \cdot A B

Четыре точки в плоскости

A B

A C

A D

компланарны

x_{1} x_{2} x_{3} y_{1} y_{2} y_{3} z_{1} z_{2} z_{3} = 0

$a (m; 6; - 6)$ и $b (3; n; - 6)$ коллинеарны: по третьей координате $k = 1$ , значит $m = 3$ , $n = 6$ , $m + n = 9$ .
$a (- 4; - 1; - 3)$ , $b (0; 3; - 1)$ , $c (2; m; 2)$ компланарны: $- 4 (6 + m) + 1 \cdot (0 + 2) - 3 (0 - 6) = - 4 - 4 m = 0$ , $m = - 1$ .

Скалярное произведение

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos φ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

φ

— угол между векторами

Перпендикулярность

a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0

Угол

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

Скалярный квадрат

a^{2} = ∣ a ∣^{2}

$a (2; - 2; 2) ⊥ b (2; m; 3)$ : $4 - 2 m + 6 = 0$ , $m = 5$ .
$a (2; 0; 2)$ , $b (4; 4; 2)$ : $a \cdot b = 12$ , $∣ a ∣ = 22$ , $∣ b ∣ = 6$ ; $cos φ = \frac{12}{12 2} = \frac{2}{2}$ , $φ = 4 5^{\circ}$ .

В многограннике выберите базис из трёх рёбер одной вершины и составьте «таблицу умножения». В правильном тетраэдре с ребром $a$ рёбра из одной вершины образуют углы $6 0^{\circ}$ , поэтому их попарные произведения равны $\frac{a ^{2}}{2}$ .

Правильный тетраэдр $D A BC$ с ребром 8; $M$ — середина $D C$ , $N$ — середина $BC$ . Найдите $A M \cdot D N$ .

Базис из $A$ : $b = A B$ , $c = A C$ , $d = A D$ ; квадраты — 64, попарные произведения — 32.
$A M = \frac{1}{2} (c + d)$ , $D N = \frac{1}{2} (b + c) - d$ .
$A M \cdot D N = \frac{1}{2} (16 + 32 - 32 + 16 + 16 - 64) = - 8$ .

Ребро 2, $M$ — середина $A C$ : $A C \cdot A M = 2 \cdot 1 \cdot cos 0^{\circ} = 2$ .

Длины и углы через скалярный квадрат

∣ p a + q b ∣^{2} = p^{2} a^{2} + 2 pq (a \cdot b) + q^{2} b^{2}

раскрываем скобки как

(p + q)^{2}

$∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $9 0^{\circ}$ : $∣ - 2 a + 2 b ∣^{2} = 4 \cdot 16 + 4 \cdot 25 - 8 \cdot 0 = 164$ .
Длины $3, 1, 3$ , все углы $12 0^{\circ}$ : $a \cdot b = - 1, 5$ , $a \cdot c = - 4, 5$ , $b \cdot c = - 1, 5$ . $∣ - a + b + 2 c ∣^{2} = 9 + 1 + 36 - 2 (- 1, 5) - 4 (- 4, 5) + 4 (- 1, 5) = 61$ .

Скалярное произведение векторов, выходящих не из одной точки: угол берут между векторами, отложенными от одной точки. Вектор $B A$ и $A C$ образуют угол $18 0^{\circ} - ∠ A$ .

Тема 2 · Геометрия

Пирамида

Потренироваться: задания по теме →

Объём пирамиды

Простыми словами

Египетские пирамиды, крыша-шатёр, пакет молока «тетрапак» — это пирамиды: внизу многоугольник, а все боковые грани-треугольники сходятся в одной точке наверху.

Пирамида — многогранник, у которого одна грань (основание) — многоугольник, а остальные (боковые грани) — треугольники с общей вершиной. Высота $h$ — перпендикуляр из вершины на плоскость основания.

Правильная пирамида: в основании правильный многоугольник, высота падает в его центр. Её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Объём

Треугольник «высота

h

— апофема

m

— половина стороны» прямоугольный

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

объём любой пирамиды

где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота. Пирамида втрое меньше призмы с тем же основанием и высотой.

Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 9, высота 3.

В основании квадрат: $S = 9^{2} = 81$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 3 = 81$ .

Объём 240, площадь основания 144. Найдите высоту.

$240 = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot h = 48 h$ .
$h = 5$ .

Самая частая ошибка — забыть $\frac{1}{3}$ . Обратная задача: $h = \frac{3 V}{S _{осн}}$ .

Апофема и боковая поверхность

Апофема $m$ — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины к стороне основания.

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot m

правильная пирамида: полупериметр основания на апофему

Для правильной четырёхугольной пирамиды со стороной $a$ : $m^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ .

Сторона 6, высота 4: $m = 16 + 9 = 5$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ .

Сечение, параллельное основанию

Такая плоскость отсекает пирамиду, подобную исходной. Если она делит высоту в отношении $k$ (от вершины), то площадь сечения $= k^{2} \cdot S_{осн}$ , объём верхушки $= k^{3} \cdot V$ .

Сечение через середину высоты: $k = \frac{1}{2}$ , площадь сечения в 4 раза меньше основания, объём отсечённой пирамиды в 8 раз меньше.

Длины — $k$ , площади — $k^{2}$ , объёмы — $k^{3}$ .

Боковое ребро

В правильной пирамиде боковое ребро $b$ — гипотенуза треугольника «высота $h$ — радиус описанной окружности основания». Для четырёхугольной пирамиды со стороной $a$ это половина диагонали квадрата $\frac{d}{2} = \frac{a 2}{2}$ :

b^{2} = h^{2} + (\frac{d}{2})^{2} = h^{2} + \frac{a ^{2}}{2}

a = 3

h = 4

b^{2} = 16 + 4, 5 = 20, 5

Не путайте боковое ребро с апофемой: апофема идёт к середине стороны ( $m^{2} = h^{2} + \frac{a ^{2}}{4}$ ), ребро — к вершине основания.

Тема 03 · Геометрия, углублённый уровень

Тела вращения: сечения и развёртки

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Цилиндр, конус и шар получаются вращением плоской фигуры вокруг оси: прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар. Поэтому почти любую задачу про них решают на плоскости: в сечении, на развёртке или в «вращаемой» фигуре.

Цилиндр: $V = π r^{2} h$ , $S_{бок} = 2 π r h$ . Конус: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ , $S_{бок} = π r l$ , $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ . Здесь $r$ — радиус основания, $h$ — высота, $l$ — образующая.

Сечения цилиндра и конуса

Цилиндр, сечение параллельно оси — прямоугольник: одна сторона — высота $h$ , другая — хорда основания. Если плоскость удалена от оси на $d$ , половина хорды равна $r^{2} - d^{2}$ .

S = h \cdot 2 r^{2} - d^{2}

площадь сечения цилиндра, параллельного оси

$r = 5$ , $h = 28$ , $d = 4$ : хорда $2 25 - 16 = 6$ , $S = 6 \cdot 28 = 168$ .
Обратно: $h = 5$ , $S = 60$ , $d = 8$ : хорда $12$ , половина $6$ , $r = 36 + 64 = 10$ .

Конус, сечение через вершину — равнобедренный треугольник из двух образующих. Если хорда основания удалена от центра на $d$ , высота сечения $S H = h^{2} + d^{2}$ , а

S = \frac{1}{2} \cdot хорда \cdot S H = \frac{1}{2} l^{2} sin φ

φ

— угол между образующими в сечении

$r = 35$ , $h = 28$ , $d = 21$ : полухорда $1225 - 441 = 28$ , хорда $56$ ; $S H = 784 + 441 = 35$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot 35 = 980$ .

Если $r \geq h$ (угол при вершине осевого сечения не меньше $9 0^{\circ}$ ), максимум $\frac{l ^{2}}{2}$ (когда $φ = 9 0^{\circ}$ ). Если $r < h$ — максимум у осевого сечения: $S = r h$ .

$r = 24$ , $h = 32$ : $r < h$ , значит наибольшее — осевое: $24 \cdot 32 = 768$ .

Развёртка конуса и кратчайший путь

Слева: сектор-развёртка конуса. Справа: вид на основание цилиндра сверху

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса $l$ ; длина его дуги равна длине окружности основания $2 π r$ . Отсюда угол сектора:

φ = 36 0^{\circ} \cdot \frac{r}{l}, S_{бок} = π r l = π l^{2} \cdot \frac{φ}{36 0 ^{\circ}}

угол развёртки конуса

$r = 36$ , $h = 48$ : $l = 60$ , $φ = 36 0^{\circ} \cdot \frac{36}{60} = 21 6^{\circ}$ .
Сектор $21 6^{\circ}$ , радиус $30$ : $l = 30$ , $r = 30 \cdot \frac{216}{360} = 18$ , $h = 900 - 324 = 24$ .

Кратчайший путь по боковой поверхности — отрезок на развёртке. Путь «вокруг конуса» из точки $A$ основания обратно в $A$ — хорда сектора: $d^{2} = 2 l^{2} (1 - cos φ)$ (при $φ < 18 0^{\circ}$ ; иначе путь идёт через вершину и равен $2 l$ ).

Усечённый конус

S_{бок} = π (R + r) l, V = \frac{1}{3} πh (R^{2} + R r + r^{2})

R, r

— радиусы оснований,

l

— образующая,

h

— высота

$h$ , $l$ и $R - r$ образуют прямоугольный треугольник: $l^{2} = h^{2} + (R - r)^{2}$ . Высота полного конуса $H = \frac{h R}{R - r}$ . Если в усечённый конус вписан шар, то $l = R + r$ и $h = 2 R r$ .

$R = 17$ , $r = 12$ , $h = 12$ : $l = 144 + 25 = 13$ , $S_{бок} = π \cdot 29 \cdot 13 = 377 π$ .
$R = 34$ , $r = 14$ , $l = 29$ : $h = 841 - 400 = 21$ , $V = \frac{1}{3} π \cdot 21 (1156 + 476 + 196) = 12796 π$ .

Тела, полученные вращением фигур

Треугольник вокруг гипотенузыДва конуса с общим основанием радиуса

h_{c}

(высота к гипотенузе), сумма высот — гипотенуза

c

V = \frac{1}{3} π h_{c}^{2} c

Прямоугольник вокруг внешней оси«Труба»: цилиндр радиуса

R_{внеш}

минус цилиндр радиуса

R_{внутр}

V = π (R_{внеш}^{2} - R_{внутр}^{2}) h

Катеты 40 и 30, вращение вокруг гипотенузы.

$c = 50$ , $h_{c} = \frac{40 \cdot 30}{50} = 24$ .
$V = \frac{1}{3} π \cdot 576 \cdot 50 = 9600 π$ .

Прямоугольник $2 \times 15$ , ось параллельна стороне 15 и удалена от неё на 10 (вне прямоугольника).

Радиусы $10$ и $12$ , высота $15$ : $V = π (144 - 100) \cdot 15 = 660 π$ .

Нарисуйте фигуру и ось, затем отразите фигуру относительно оси — так видно, какие цилиндры и конусы получились и что из чего вычитать.

Тема 3 · Геометрия

Цилиндр

Потренироваться: задания по теме →

Объём цилиндра

Простыми словами

Банка консервов, труба, батарейка — цилиндры. Если разрезать этикетку банки вдоль и развернуть, получится прямоугольник: одна сторона — высота банки, другая — длина окружности донышка.

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг его стороны. Два равных круга — основания, радиус $r$ ; расстояние между ними — высота $h$ ; отрезки между окружностями оснований, параллельные оси, — образующие (у прямого цилиндра образующая равна высоте).

Формулы

Боковая поверхность разворачивается в прямоугольник

2 π r \times h

V = π r^{2} h

объём: площадь основания

π r^{2}

на высоту

S_{бок} = 2 π r h, S_{полн} = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π r (h + r)

боковая и полная поверхность

Здесь $r$ — радиус основания, $h$ — высота, $π \approx 3, 14$ . Площадь — в квадратных единицах, объём — в кубических.

Осевое сечение (плоскостью через ось) — прямоугольник со сторонами $2 r$ и $h$ , его площадь $2 r h$ .

Разберём задачи

Радиус основания 7, высота 12. Найдите объём, делённый на $π$ .

$V = π \cdot 7^{2} \cdot 12 = 588 π$ .
Ответ: $588$ .

Объём цилиндра $768 π$ , радиус 8. Найдите высоту.

$π \cdot 64 \cdot h = 768 π$ .
$h = 768 : 64 = 12$ .

Радиус входит в объём в квадрате: если радиус увеличить вдвое, объём вырастет вчетверо, а не вдвое. Если дан диаметр — сначала разделите его пополам.

Цилиндр — это «круглая призма»: как и у призмы, $V = S_{осн} \cdot h$ и $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$ , где периметр круга — $2 π r$ .

Тема 04 · Геометрия, углублённый уровень

Шар и сфера, комбинации тел

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Мяч в коробке, апельсин в стакане-конусе — это комбинации тел. Решать их в пространстве трудно, поэтому делают разрез через центр шара и ось тела: шар превращается в круг, конус — в треугольник, цилиндр — в прямоугольник. Дальше — планиметрия.

Вписанный шар касается всех граней (поверхностей) тела, его центр равноудалён от них. Описанный шар проходит через все вершины (окружности оснований), его центр равноудалён от них.

Сечения шара плоскостями

r^{2} = R^{2} - d^{2}

R

— радиус шара,

d

— расстояние от центра до плоскости,

r

— радиус сечения

Центр сечения — основание перпендикуляра из центра шара. Для двух параллельных сечений: по одну сторону от центра расстояние между ними $d_{1} - d_{2}$ , по разные — $d_{1} + d_{2}$ .

$S_{сферы} = 676 π \Rightarrow 4 R^{2} = 676$ , $R^{2} = 169$ . При $d = 5$ : $r^{2} = 169 - 25 = 144$ , площадь сечения $144 π$ .
$R = 65$ , сечения $r_{1} = 52$ , $r_{2} = 25$ по разные стороны: $d_{1} = 4225 - 2704 = 39$ , $d_{2} = 4225 - 625 = 60$ , расстояние $39 + 60 = 99$ .

Шар и конус

В осевом сечении: круг, вписанный в треугольник, и круг, описанный около него

Обозначения: $r$ — радиус основания конуса, $h$ — высота, $l = r^{2} + h^{2}$ — образующая.

Вписанный шар

ρ = \frac{S}{p} = \frac{r h}{r + l}

(площадь осевого сечения на полупериметр)

Описанный шар

R = \frac{l ^{2}}{2 h}

, или

r^{2} = h (2 R - h)

Касательные из вершиныдо точки касания вписанного шара:

t = l - r

$r = 42$ , $h = 40$ : $l = 58$ , $ρ = \frac{42 \cdot 40}{42 + 58} = 16, 8$ ; $S_{шара} = 4 π \cdot 16, 8^{2} = 1128, 96 π$ .
$r = 12$ , $l = 20$ : $h = 16$ , $R = \frac{400}{32} = 12, 5$ .

Шар, цилиндр, призма, пирамида

Комбинация	Связь
Шар около прямой призмы / цилиндра ( $ρ$ — радиус описанной окружности основания)	$R^{2} = ρ^{2} + (\frac{h}{2})^{2}$
Шар около прямоугольного параллелепипеда	$(2 R)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Шар в цилиндре	$h = 2 r$ , $V_{ц} : V_{ш} = 3 : 2$
Шар около правильной пирамиды ( $b$ — боковое ребро)	$R = \frac{b ^{2}}{2 h}$
Шар в правильной четырёхугольной пирамиде ( $x$ — половина стороны, $m$ — апофема)	$ρ = \frac{x h}{x + m}$
Правильный тетраэдр высоты $h$	$R = \frac{3}{4} h$ , $ρ = \frac{1}{4} h$

Цилиндр в шаре $R = 37$ , $h = 70$ : $r^{2} = 3 7^{2} - 3 5^{2} = 144$ , $V = 144 \cdot 70 π = 10080 π$ .
Параллелепипед $3, 4, 1$ : $4 R^{2} = 26$ , $S_{сферы} = 4 π R^{2} = 26 π$ .
Пирамида: сторона 60, $h = 16$ : $x = 30$ , $m = 900 + 256 = 34$ , $ρ = \frac{30 \cdot 16}{64} = 7, 5$ .
Пирамида: сторона 16, $h = 8$ : половина диагонали $82$ , $b^{2} = 64 + 128 = 192$ , $R = \frac{192}{16} = 12$ .

Формула $R = \frac{b ^{2}}{2 h}$ — то же, что $R = \frac{l ^{2}}{2 h}$ для конуса: в обоих случаях сечение через вершину и ось.

Уравнение сферы

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

центр

Q (a; b; c)

, радиус

R

Раскрытое уравнение приводят к этому виду выделением полных квадратов.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 12 x + 4 y + 6 z + 45 = 0$ .

$(x + 6)^{2} - 36 + (y + 2)^{2} - 4 + (z + 3)^{2} - 9 + 45 = 0$ , то есть $(x + 6)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 4$ , $R = 2$ .

Сфера $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z + 1)^{2} = 36$ , плоскость $- 8 x - 4 y + z + 18 = 0$ . Площадь сечения?

Центр $(- 1; 4; - 1)$ , $d = \frac{∣8 - 16 - 1 + 18∣}{64 + 16 + 1} = \frac{9}{9} = 1$ .
$r^{2} = 36 - 1 = 35$ , площадь $35 π$ .

Плоскость касается сферы

d = R

Внешнее касание сфер

Q_{1} Q_{2} = R_{1} + R_{2}

Внутреннее касание

Q_{1} Q_{2} = ∣ R_{1} - R_{2} ∣

Пересечение

∣ R_{1} - R_{2} ∣ < Q_{1} Q_{2} < R_{1} + R_{2}

Одна вне другой, общих точек нет

Q_{1} Q_{2} > R_{1} + R_{2}

Одна внутри другой, общих точек нет

Q_{1} Q_{2} < ∣ R_{1} - R_{2} ∣

Центр $(x + 1)^{2}$ — это $a = - 1$ , а не $+ 1$ : знак меняется.

Ещё два приёма

Сфера, касающаяся всех рёбер куба с ребром $a$ , имеет радиус $\frac{a 2}{2}$ (половина диагонали грани); вписанная — $\frac{a}{2}$ , описанная — $\frac{a 3}{2}$ .
Если в треугольной пирамиде три ребра из одной вершины попарно перпендикулярны (длины $a, b, c$ ), её достраивают до прямоугольного параллелепипеда: у них общий описанный шар, $(2 R)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Тема 4 · Геометрия

Конус

Потренироваться: задания по теме →

Объём конуса

Простыми словами

Вафельный рожок мороженого, колпак, воронка — это конусы. Если насыпать конус песка и такой же по основанию и высоте цилиндр, в цилиндр войдёт ровно три конуса.

Конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Этот катет — высота $h$ , другой катет — радиус основания $r$ , гипотенуза — образующая $l$ .

Главный треугольник и формулы

Высота, радиус и образующая — прямоугольный треугольник

l^{2} = r^{2} + h^{2}

теорема Пифагора в конусе

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

объём: треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой

S_{бок} = π r l, S_{полн} = π r l + π r^{2} = π r (l + r)

боковая и полная поверхность

Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2 r$ и высотой $h$ , площадь $r h$ . Развёртка боковой поверхности — сектор радиуса $l$ , длина дуги которого $2 π r$ .

Разберём задачи

Радиус основания 8, высота 15. Найдите объём, делённый на $π$ , и образующую.

$V = \frac{1}{3} π \cdot 64 \cdot 15 = 320 π$ , ответ $320$ .
$l = 64 + 225 = 289 = 17$ .

Не забывайте множитель $\frac{1}{3}$ в объёме. А в боковой поверхности стоит образующая $l$ , а не высота $h$ .

Пирамида — треть призмы, конус — треть цилиндра: «острое» тело всегда в 3 раза меньше «прямого» с тем же основанием и высотой.

Тема 05 · Геометрия, углублённый уровень

Объёмы и отношения объёмов

Потренироваться: задания по теме →

Объём пирамиды

Простыми словами

Чтобы разделить торт на части, не нужно взвешивать каждую — достаточно знать, какую долю составляет кусок. Так и с объёмами: часто сам объём считать не надо, хватает отношения — общих высот, общих оснований или коэффициента подобия.

Пирамида и конус: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ . Призма и цилиндр: $V = S_{осн} \cdot h$ . Шар: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Отношения объёмов частей

Общая высота

V_{1} : V_{2} = S_{1} : S_{2}

— объёмы относятся как площади оснований.

Общее основание

V_{1} : V_{2} = h_{1} : h_{2}

— как высоты.

Пирамида в призмеПри общем основании и высоте пирамида —

\frac{1}{3}

призмы.

Общий трёхгранный угол. Если точки $K, L, M$ лежат на рёбрах $A B, A C, A D$ тетраэдра, то

\frac{V _{A K L M}}{V _{A BC D}} = \frac{A K}{A B} \cdot \frac{A L}{A C} \cdot \frac{A M}{A D}

тетраэдры с общим трёхгранным углом при вершине

A

Тетраэдр

A K L M

«вырезан» из

A BC D

у вершины

A

$V_{A BC D} = 40$ , $A K : K B = 1 : 2$ , $A L : L C = 2 : 3$ , $A M : M D = 3 : 1$ . Найдите $V_{A K L M}$ .

Доли: $\frac{A K}{A B} = \frac{1}{3}$ , $\frac{A L}{A C} = \frac{2}{5}$ , $\frac{A M}{A D} = \frac{3}{4}$ .
$V_{A K L M} = 40 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = 4$ .

$V_{A BC D} = 170$ , $A M : M D = 1 : 4$ , плоскость $MBC$ . Часть с вершиной $D$ — тетраэдр $MBC D$ .

У $MBC D$ и $A BC D$ общее основание $BC D$ , а высоты относятся как $M D : A D = 4 : 5$ . $V = 170 \cdot \frac{4}{5} = 136$ .

Отношение $A K : K B = 1 : 2$ даёт долю $\frac{A K}{A B} = \frac{1}{3}$ , а не $\frac{1}{2}$ : делим на сумму частей.

Подробнее: смешанное произведение

Отношения объёмов сохраняются при параллельном проектировании, поэтому любой параллелепипед можно заменить кубом. Объём тетраэдра в координатах: $V = \frac{1}{6} det (A B, A C, A D)$ .

Объём через углы: где основание высоты

Условие	Основание высоты	Связь
Боковые рёбра равны или одинаково наклонены к основанию (угол $α$ )	центр описанной окружности основания, радиус $R$	$h = R tg α$
Боковые грани одинаково наклонены к основанию (угол $φ$ )	центр вписанной окружности, радиус $r$	$h = r tg φ$

Для прямоугольного треугольника в основании: $R = \frac{c}{2}$ , $r = \frac{a + b - c}{2}$ ( $a, b$ — катеты, $c$ — гипотенуза). Для квадрата со стороной $a$ : $r = \frac{a}{2}$ , $R = \frac{a 2}{2}$ ; для правильного треугольника: $r = \frac{a}{2 3}$ , $R = \frac{a}{3}$ .

Правильная четырёхугольная пирамида, сторона 24, тангенс угла боковой грани с основанием 0,75.

$r = 12$ , $h = 12 \cdot 0, 75 = 9$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 2 4^{2} \cdot 9 = 1728$ .

Правильная треугольная пирамида, сторона 6, боковое ребро наклонено под $4 5^{\circ}$ .

$R = \frac{6}{3} = 23$ , $h = R \cdot tg 4 5^{\circ} = 23$ .
$S = \frac{3}{4} \cdot 36 = 93$ , $V = \frac{1}{3} \cdot 93 \cdot 23 = 18$ .

Подобие и усечённые тела

Плоскость, параллельная основанию пирамиды или конуса, отсекает подобное тело. Если она делит высоту от вершины в отношении $p : q$ , то коэффициент подобия $k = \frac{p}{p + q}$ , и

V_{отс} = k^{3} \cdot V

объём отсечённой верхушки

V_{усеч} = \frac{1}{3} h (S_{1} + S_{2} + S_{1} S_{2})

усечённая пирамида:

S_{1}, S_{2}

— площади оснований,

h

— высота

Конус $V = 128$ , плоскость делит высоту $3 : 1$ от вершины. Объём части у основания?

$k = \frac{3}{4}$ , $V_{отс} = 128 \cdot \frac{27}{64} = 54$ , остаток $128 - 54 = 74$ .

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида: стороны 32 и 8, апофема 37.

В сечении через апофемы — трапеция: $h = 3 7^{2} - (\frac{32 - 8}{2})^{2} = 1369 - 144 = 35$ .
$V = \frac{35}{3} (1024 + 64 + 256) = 15680$ .

Если высоту делят на $n$ равных частей, слой между $(j - 1)$ -й и $j$ -й плоскостями (считая от вершины) имеет объём $V \cdot \frac{j ^{3} - ( j - 1 ) ^{3}}{n ^{3}}$ .

Части шара

Сегмент — «шапочка» высоты

h

;

r

— радиус её основания

Часть	Формула
Шаровой сегмент (объём)	$V = π h^{2} (R - \frac{h}{3})$
Сферическая часть сегмента (площадь)	$S = 2 π R h$
Шаровой сектор (сегмент + конус с вершиной в центре)	$V = \frac{2}{3} π R^{2} h$
Шаровой слой	разность двух сегментов

Если известны радиус основания $r$ и высота $h$ сегмента, радиус шара: $R = \frac{r ^{2} + h ^{2}}{2 h}$ (из $r^{2} = h (2 R - h)$ ), а $2 π R h = π (r^{2} + h^{2})$ .

$R = 10$ , $h = 15$ (сегмент больше половины шара — формула та же): $V = π \cdot 225 \cdot (10 - 5) = 1125 π$ .
$r = 3$ , $h = 9$ : $R = \frac{9 + 81}{18} = 5$ , $V = π \cdot 81 \cdot (5 - 3) = 162 π$ .

Сосуды, переливания, переплавка

Жидкость в конусе вершиной вниз — маленький конус, подобный сосуду. Уровень $k$ от высоты — объём $k^{3}$ от полного. При переливании и переплавке сохраняется объём.

Жидкость налита до $0, 4$ высоты конуса, её объём 24 мл. Сколько долить?

$k^{3} = 0, 4^{3} = 0, 064$ , полный объём $24 : 0, 064 = 375$ .
Долить $375 - 24 = 351$ мл.

Конус высотой 5 вершиной вниз, жидкость до высоты 3; её переливают в цилиндр с основанием, равным верхнему кругу конуса (радиус $R$ ).

Радиус поверхности жидкости $\frac{3}{5} R$ , объём $\frac{1}{3} π \cdot \frac{9}{25} R^{2} \cdot 3 = \frac{9}{25} π R^{2}$ .
В цилиндре $π R^{2} \cdot x = \frac{9}{25} π R^{2}$ , $x = 0, 36$ .

Уровень «до половины высоты» — это только $\frac{1}{8}$ объёма конуса, а не половина. Объём растёт как куб высоты.

Погружение тел в сосуд

Если тело целиком погрузили в цилиндрический сосуд с радиусом основания $R$ , уровень воды поднимается на $Δ h = \frac{V _{тела}}{π R ^{2}}$ : объём вытесненной воды равен объёму тела.

3 шара радиуса 14 опустили в цилиндр радиуса 20: $Δ h = \frac{3 \cdot \frac{4}{3} π \cdot 1 4 ^{3}}{π \cdot 400} = \frac{4 \cdot 2744}{400} = 27, 44$ .

Тема 5 · Геометрия

Шар и сфера

Потренироваться: задания по теме →

Объём шара

Простыми словами

Арбуз целиком — шар (тело), его корка-оболочка — сфера (поверхность). Для шара считают объём, для сферы — площадь.

Сфера — все точки пространства на расстоянии $R$ от центра $O$ . Шар — тело, ограниченное сферой (точки на расстоянии не больше $R$ ).

Формулы

V = \frac{4}{3} π R^{3}, S = 4 π R^{2}

объём шара и площадь сферы,

R

— радиус

$R = 3$ : $V = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π$ , ответ (делённый на $π$ ) — $36$ .
$R = 15$ : $S = 4 π \cdot 225 = 900 π$ , ответ — $900$ .

В объёме радиус в кубе и коэффициент $\frac{4}{3}$ , в площади — квадрат и $4$ . Если дан диаметр, сначала найдите $R = \frac{D}{2}$ .

Сечение шара

Сечение — круг радиуса

r

; через центр — большой круг радиуса

R

r^{2} = R^{2} - d^{2}

d

— расстояние от центра шара до секущей плоскости

Сечение шара плоскостью — всегда круг. Наибольший из них — большой круг, он проходит через центр ( $d = 0$ , $r = R$ ).

$R = 5$ , $d = 3$ : $r = 25 - 9 = 4$ , площадь сечения $16 π$ .

Как растут величины

Радиус × 2Площадь сферы × 4, объём шара × 8.

Радиус × $k$ Площадь ×

k^{2}

, объём ×

k^{3}

Площадь сферы равна площади четырёх больших кругов: $4 π R^{2} = 4 \cdot π R^{2}$ .

Тема 6 · Геометрия

Комбинации тел

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Мяч, который ровно помещается в коробку-куб, касается всех шести стенок — его диаметр равен ребру коробки. А если куб «спрятать» внутрь шара, вершины куба окажутся на поверхности шара, и диаметр шара станет равен диагонали куба.

Вписанное тело касается поверхности внешнего; описанное проходит через вершины (края) внутреннего. Главное — найти общий элемент двух тел: ребро, диаметр, диагональ.

Шар и куб

Слева — сечение через середины рёбер, справа — диагональное сечение куба

Шар вписан в куб

2 r = a

, то есть

r = \frac{a}{2}

Шар описан около куба

2 R = a 3

(диагональ куба),

R^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4}

Шар в кубе с ребром 9: $r = 9 : 2 = 4, 5$ .
Шар около куба с ребром 2: $R = \frac{2 3}{2} = 3$ , $R^{2} = 3$ .

Диаметр описанного шара — диагональ куба $a 3$ , а не диагональ грани $a 2$ .

Другие комбинации

Комбинация	Связь размеров
Шар вписан в цилиндр	$r_{ц} = R$ , $h = 2 R$ ; $V_{ц} : V_{ш} = 3 : 2$
Цилиндр вписан в шар	$R^{2} = r^{2} + (\frac{h}{2})^{2}$
Цилиндр вписан в куб	$r = \frac{a}{2}$ , $h = a$
Куб вписан в цилиндр	$2 r = a 2$ (диагональ грани), $h = a$
Конус вписан в цилиндр (общие основание и высота)	$V_{к} = \frac{1}{3} V_{ц}$
Параллелепипед вписан в шар	$(2 R)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите объём цилиндра, делённый на $π$ .

$r_{ц} = 3$ , $h = 6$ .
$V = π \cdot 9 \cdot 6 = 54 π$ , ответ $54$ .

Рисуйте не тела, а их сечение через центр: шар превращается в круг, куб — в квадрат или прямоугольник, цилиндр — в прямоугольник. Так видно, что чему равно.

Ещё две комбинации

Прямоугольный параллелепипед, описанный около цилиндра радиуса $r$ : основание — квадрат со стороной $2 r$ , высота равна высоте цилиндра.
Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом $R$ и высотой $H$ (основание цилиндра — на основании конуса), наибольший объём у цилиндра с радиусом $r = \frac{2}{3} R$ (и высотой $\frac{1}{3} H$ ). Это находят через производную функции $V (r) = π r^{2} H (1 - \frac{r}{R})$ .
Куб с ребром $a$ и вписанный шар: объёмы относятся как $a^{3} : \frac{π a ^{3}}{6} = \frac{6}{π} \approx 1, 91$ ; площади поверхностей — так же: $6 a^{2} : π a^{2}$ .

Тема 7 · Геометрия

Координаты в пространстве

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Чтобы указать место лампочки в комнате, нужно три числа: сколько метров от одной стены, от другой и от пола. Так и в пространстве: у каждой точки три координаты — абсцисса $x$ , ордината $y$ и аппликата $z$ .

Чтобы попасть в

A

: 2 по

x

, 3 по

y

, 2 вверх по

z

Расстояние и середина

A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}

расстояние между точками

A (x_{1}; y_{1}; z_{1})

B (x_{2}; y_{2}; z_{2})

Это теорема Пифагора, применённая дважды — как диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ , $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ , $∣ z_{2} - z_{1} ∣$ .

M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2}; \frac{z _{1} + z _{2}}{2})

середина отрезка

A B

— полусуммы координат

$A (4; 6; 6)$ , $B (5; 8; 8)$ : $A B = 1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 9 = 3$ .
$A (0; - 1; 5)$ , $B (3; 3; 17)$ : $A B^{2} = 3^{2} + 4^{2} + 1 2^{2} = 9 + 16 + 144 = 169$ .
Середина отрезка $A (0; - 1; 5)$ , $B (4; 3; 17)$ : $M (2; 1; 11)$ .

Разность с отрицательной координатой: $3 - (- 1) = 4$ , а не $2$ . Квадрат разности всегда неотрицателен. Если просят квадрат расстояния — корень не извлекают.

Уравнение сферы

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

сфера с центром

(a; b; c)

и радиусом

R

Центр читается прямо из уравнения (знаки меняются!), радиус — корень из правой части.

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 25$ : центр $(1; - 2; 0)$ , радиус $5$ .

Расстояния до координатных плоскостей и осей

До чего	Расстояние от $M (x; y; z)$
Плоскость $O x y$	$∣ z ∣$
Плоскость $O yz$	$∣ x ∣$
Плоскость $O x z$	$∣ y ∣$
Ось $O z$	$x^{2} + y^{2}$
Начало координат	$x^{2} + y^{2} + z^{2}$

До плоскости — модуль той координаты, которой в её названии нет: в $O x y$ нет $z$ — значит, $∣ z ∣$ .

Координаты вектора

Вектор $A B$ с началом $A (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ и концом $B (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ имеет координаты $(x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ — «конец минус начало». Его длина — расстояние $A B$ .

Пример: $A (3; 1; - 2)$ , $B (7; 5; 5)$ : $A B = (4; 4; 7)$ . Середину находят полусуммой, а не разностью координат.

Тема 8 · Геометрия

Векторы в пространстве

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Вектор — это перемещение: «на 4 вперёд, на 3 вправо, на 0 вверх». Три числа перемещения — его координаты. В пространстве всё как на плоскости, только координат три.

Вектор $A B$ с началом $A (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ и концом $B (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ : $A B = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ — «конец минус начало».

Длина — гипотенуза:

4^{2} + 3^{2} = 5

; при трёх координатах добавляется третий квадрат

Действия с векторами

Для $a (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $b (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ и числа $k$ :

Сумма и разность

a \pm b = (x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2}; z_{1} \pm z_{2})

Умножение на число

k a = (k x_{1}; k y_{1}; k z_{1})

Длина

∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}

$a (4; - 3; 0)$ : $∣ a ∣^{2} = 16 + 9 + 0 = 25$ , $∣ a ∣ = 5$ .

Длина — корень из суммы квадратов, а не сумма координат. Квадрат отрицательной координаты положителен: $(- 3)^{2} = 9$ .

Скалярное произведение и угол

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α

α

— угол между векторами

cos α = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

угол между векторами

$a (- 2; 5; 5)$ , $b (3; - 1; 2)$ .

Перемножаем координаты попарно: $(- 2) \cdot 3 = - 6$ , $5 \cdot (- 1) = - 5$ , $5 \cdot 2 = 10$ .
Складываем: $- 6 - 5 + 10 = - 1$ .

$a \cdot b > 0$ угол острый

$a \cdot b = 0$ векторы перпендикулярны

$a \cdot b < 0$ угол тупой

Скалярное произведение — число, а не вектор. Его знак совпадает со знаком косинуса угла.

Свойства скалярного произведения

Скалярный квадрат: $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ; для $a (4; - 3; 2)$ это $16 + 9 + 4 = 29$ .
Число выносится: $a \cdot (k b) = k (a \cdot b)$ .
Произведение на нулевой вектор равно $0$ .

Тема 9 · Геометрия

Площади поверхностей

Потренироваться: задания по теме →

Объём цилиндра Объём конуса Объём куба

Простыми словами

Площадь поверхности — это сколько бумаги нужно, чтобы оклеить тело со всех сторон. Удобнее всего представить, что тело разрезали и разложили на столе: получится развёртка, и её площадь — сумма площадей знакомых плоских фигур.

Боковая поверхность — все грани (части поверхности), кроме оснований. Полная поверхность = боковая + основания.

Многогранники

Развёртка куба:

S = 6 a^{2}

Тело	Боковая	Полная
Куб, ребро $a$	$4 a^{2}$	$6 a^{2}$
Прямоугольный параллелепипед $a, b, c$	$2 (a + b) c$	$2 (ab + b c + a c)$
Прямая призма	$P_{осн} \cdot h$	$P_{осн} \cdot h + 2 S_{осн}$
Правильная пирамида ( $m$ — апофема)	$\frac{1}{2} P_{осн} \cdot m$	$\frac{1}{2} P_{осн} \cdot m + S_{осн}$

Кубическую коробку с ребром 8 оклеивают бумагой.

$S = 6 \cdot 8^{2} = 6 \cdot 64 = 384$ .

Поверхность куба 54. Найдите ребро.

$6 a^{2} = 54$ , $a^{2} = 9$ .
$a = 3$ .

Тела вращения

Тело	Боковая	Полная
Цилиндр ( $r$ , $h$ )	$2 π r h$	$2 π r h + 2 π r^{2}$ (два круга)
Конус ( $r$ , образующая $l$ )	$π r l$	$π r l + π r^{2}$ (один круг)
Сфера ( $R$ )	—	$4 π R^{2}$ (оснований нет)

Цилиндр: $r = 3$ , $h = 5$ . Полная поверхность, делённая на $π$ : $2 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 9 = 30 + 18 = 48$ .

Прочитайте, какую поверхность просят: боковую или полную. У цилиндра два основания, у конуса — одно. В конусе — образующая $l$ , а не высота $h$ .

Если все размеры тела увеличить в $k$ раз, площадь поверхности вырастет в $k^{2}$ раз.

Тема 10 · Геометрия

Подобие тел

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Возьмём кубик и куб вдвое больше. Чтобы сложить большой куб, понадобится 8 маленьких (2 в длину, 2 в ширину, 2 в высоту), а чтобы оклеить его — в 4 раза больше бумаги. Длины выросли в 2 раза, площади — в $2^{2} = 4$ , объёмы — в $2^{3} = 8$ .

Тела подобны, если одно получается из другого увеличением (уменьшением) всех размеров в одно и то же число раз $k$ — коэффициент подобия.

Главное правило

Ребро вдвое больше — объём в 8 раз больше

Величина	Во сколько раз меняется	Примеры
Длины	$k$	рёбра, радиусы, высоты, диагонали
Площади	$k^{2}$	поверхность, сечения, грани
Объёмы	$k^{3}$	объём, масса однородного тела

\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}, \frac{V _{2}}{V _{1}} = k^{3}

для любых подобных тел — не только кубов и шаров

Разберём задачи

Все размеры увеличили в 5 раз — объём вырос в $5^{3} = 125$ раз.
Все размеры увеличили в 6 раз — площадь поверхности выросла в $6^{2} = 36$ раз.
Объём вырос в 8 раз — размеры выросли в $38 = 2$ раза, а площадь — в $2^{2} = 4$ раза.

Обратный ход: от объёма к длине — кубический корень, от площади к длине — квадратный. Если объём вырос в 27 раз, длины выросли в 3, а не в 9 раз.

Модель в масштабе $1 : 100$ имеет объём в $10 0^{3}$ = миллион раз меньше оригинала — поэтому маленькие модели такие лёгкие.

Степень = размерность: длина — 1 измерение ( $k^{1}$ ), площадь — 2 ( $k^{2}$ ), объём — 3 ( $k^{3}$ ).

Геометрия: теория

Оглавление

Метод координат в пространстве

Простыми словами

Уравнение плоскости

Расстояния

Углы координатным методом

Призма и параллелепипед

Простыми словами

Объём

Поверхность и диагональ

Что меняется при подобии

Векторы в пространстве

Простыми словами

Разложение по трём некомпланарным векторам

Коллинеарность и компланарность

Скалярное произведение

Длины и углы через скалярный квадрат

Пирамида

Простыми словами

Объём

Апофема и боковая поверхность

Сечение, параллельное основанию

Боковое ребро

Тела вращения: сечения и развёртки

Простыми словами

Сечения цилиндра и конуса

Развёртка конуса и кратчайший путь

Усечённый конус

Тела, полученные вращением фигур

Цилиндр

Простыми словами

Формулы

Разберём задачи

Шар и сфера, комбинации тел

Простыми словами

Сечения шара плоскостями

Шар и конус

Шар, цилиндр, призма, пирамида

Уравнение сферы

Ещё два приёма

Конус

Простыми словами

Главный треугольник и формулы

Разберём задачи

Объёмы и отношения объёмов

Простыми словами

Отношения объёмов частей

Объём через углы: где основание высоты

Подобие и усечённые тела

Части шара

Сосуды, переливания, переплавка

Погружение тел в сосуд

Шар и сфера

Простыми словами

Формулы

Сечение шара

Как растут величины

Комбинации тел

Простыми словами

Шар и куб

Другие комбинации

Ещё две комбинации

Координаты в пространстве

Простыми словами

Расстояние и середина

Уравнение сферы

Расстояния до координатных плоскостей и осей

Координаты вектора

Векторы в пространстве

Простыми словами

Действия с векторами

Скалярное произведение и угол

Свойства скалярного произведения

Площади поверхностей

Простыми словами

Многогранники

Тела вращения

Подобие тел

Простыми словами