Тема 01 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Уравнение плоскости

Метод координат в пространстве. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Вместо того чтобы «видеть» угол на сложном чертеже, многогранник ставят в систему координат, выписывают координаты вершин — и дальше угол или расстояние считается по готовой формуле. Это как навигатор: не нужно помнить дорогу, достаточно координат.

Главный инструмент — вектор нормали плоскости: вектор, перпендикулярный ей. Через него записываются и уравнение плоскости, и все формулы для углов и расстояний.

Уравнение плоскости

a x + b y + cz + d = 0, \overset{n}{www.reknow.ru} = (a; b; c)

общее уравнение плоскости

Здесь $x, y, z$ — координаты любой точки плоскости, $\overset{n}{www.reknow.ru}$ — вектор нормали (его координаты — коэффициенты при $x, y, z$ ), $d$ — свободный член.

Через точку $M_{0}$ и нормаль

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0

Через три точки $A, B, C$ Нормаль

\overset{n}{www.reknow.ru}

из условий

\overset{n}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{A B} = 0

\overset{n}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{A C} = 0

; потом

d

— подстановкой

A

«В отрезках»

\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1

: плоскость отсекает на осях отрезки

p, q, r

Параллельны / перпендикулярныНормали пропорциональны /

\overset{n}{www.reknow.ru}_{1} \cdot \overset{n}{www.reknow.ru}_{2} = 0

Плоскость через $A (- 1; - 1; 4)$ , $B (4; 8; 3)$ , $C (- 3; - 12; - 3)$ имеет вид $- 2 x + b y + cz + d = 0$ . Найдите $b + c + d$ .

$\overset{www.reknow.ru}{A B} = (5; 9; - 1)$ , $\overset{www.reknow.ru}{A C} = (- 2; - 11; - 7)$ .
$\overset{n}{www.reknow.ru} = (- 2; b; c)$ : $- 10 + 9 b - c = 0$ и $4 - 11 b - 7 c = 0$ . Из первого $c = 9 b - 10$ ; во втором $4 - 11 b - 63 b + 70 = 0$ , $b = 1$ , $c = - 1$ .
Подставим $A$ : $- 2 \cdot (- 1) + (- 1) - 4 + d = 0$ , $d = 3$ .
$b + c + d = 1 - 1 + 3 = 3$ .

Плоскость $2 x + 6 y + 3 z + 6 = 0$ пересекает оси в точках $X (- 3; 0; 0)$ , $Y (0; - 1; 0)$ , $Z (0; 0; - 2)$ (обнуляем две координаты). Тетраэдр $OX Y Z$ — прямоугольный: $V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 = 1$ .

Расстояния

ρ (M, α) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} www.reknow.ru}

от точки

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

до плоскости

α

$M (- 2; - 5; - 6)$ , плоскость $- 2 x + y + 2 z - 23 = 0$ .

$ρ = \frac{∣4 - 5 - 12 - 23∣}{4 + 1 + 4 www.reknow.ru} = \frac{36}{3} = 12$ .

Между параллельными плоскостями: сначала сделать коэффициенты при $x, y, z$ одинаковыми, тогда

ρ = \frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} www.reknow.ru} .

$- 8 x - 8 y + 4 z + 29 = 0$ и $- 24 x - 24 y + 12 z - 57 = 0$ . Делим второе на 3: $- 8 x - 8 y + 4 z - 19 = 0$ .

$ρ = \frac{∣29 - ( - 19 ) ∣}{64 + 64 + 16 www.reknow.ru} = \frac{48}{12} = 4$ .

Не забудьте модуль в числителе и корень в знаменателе. Если нормаль «некрасивая», сократите её на общий множитель — вместе с $d$ .

В правильной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани — высота прямоугольного треугольника «высота пирамиды $h$ — апофема $m$ — половина стороны $x$ », проведённая к гипотенузе: $ρ = \frac{h \cdot x}{m}$ .

Углы координатным методом

Начало координат — в вершине

A

, оси — по рёбрам

A B

A D

A A_{1}

Поставить начало координат в вершину, оси — по трём перпендикулярным рёбрам.
Выписать координаты нужных точек. Середина — полусумма координат концов; точка, делящая $PQ$ в отношении $p : q$ , — $\frac{q \cdot P + p \cdot Q}{p + q}$ .
Найти направляющие векторы прямых и нормали плоскостей.
Подставить в формулу.

Угол	Формула
Между прямыми ( $\overset{u}{www.reknow.ru}$ , $\overset{v}{www.reknow.ru}$ — направляющие)	$cos φ = \frac{∣ u www.reknow.ru \cdot v www.reknow.ru ∣}{∣ u www.reknow.ru ∣ \cdot ∣ v www.reknow.ru ∣}$
Между прямой и плоскостью ( $\overset{n}{www.reknow.ru}$ — нормаль)	$sin φ = \frac{∣ u www.reknow.ru \cdot n www.reknow.ru ∣}{∣ u www.reknow.ru ∣ \cdot ∣ n www.reknow.ru ∣}$
Между плоскостями	$cos φ = \frac{∣ n www.reknow.ru _{1} \cdot n www.reknow.ru _{2} ∣}{∣ n www.reknow.ru _{1} ∣ \cdot ∣ n www.reknow.ru _{2} ∣}$

Куб с ребром 4, $M$ — середина $B_{1} C_{1}$ . Найдите $cos^{2}$ угла между $BM$ и $C_{1} C$ .

$B (4; 0; 0)$ , $B_{1} (4; 0; 4)$ , $C_{1} (4; 4; 4)$ , значит $M (4; 2; 4)$ , $C (4; 4; 0)$ .
$\overset{www.reknow.ru}{BM} = (0; 2; 4)$ , $\overset{www.reknow.ru}{C C_{1}} = (0; 0; 4)$ .
$cos φ = \frac{16}{20 www.reknow.ru \cdot 4} = \frac{4}{20 www.reknow.ru}$ , $cos^{2} φ = \frac{16}{20} = 0, 8$ .

Куб, угол между $C D$ и плоскостью $D_{1} A_{1} C$ . Ребро удобно взять равным 1 — углы от размера не зависят.

$A_{1} (0; 0; 1)$ , $D_{1} (0; 1; 1)$ , $C (1; 1; 0)$ , $D (0; 1; 0)$ ; $\overset{www.reknow.ru}{D C} = (1; 0; 0)$ .
Нормаль $\overset{n}{www.reknow.ru} = (a; b; c)$ : $\overset{n}{www.reknow.ru} ⊥ \overset{www.reknow.ru}{A_{1} D_{1}} = (0; 1; 0) \Rightarrow b = 0$ ; $\overset{n}{www.reknow.ru} ⊥ \overset{www.reknow.ru}{A_{1} C} = (1; 1; - 1) \Rightarrow a = c$ . Берём $\overset{n}{www.reknow.ru} = (1; 0; 1)$ .
$sin φ = \frac{1}{1 \cdot 2 www.reknow.ru}$ , $sin^{2} φ = 0, 5$ .

Куб, плоскости $B_{1} C_{1} D$ и $C A C_{1}$ (ребро 1).

$B_{1} C_{1} D$ : векторы $(0; 1; 0)$ и $\overset{www.reknow.ru}{B_{1} D} = (- 1; 1; - 1)$ дают $\overset{n}{www.reknow.ru}_{1} = (1; 0; - 1)$ .
$C A C_{1}$ : векторы $(1; 1; 0)$ и $(0; 0; 1)$ дают $\overset{n}{www.reknow.ru}_{2} = (1; - 1; 0)$ .
$cos φ = \frac{∣1∣}{2 www.reknow.ru \cdot 2 www.reknow.ru} = 0, 5$ .

Для прямой и плоскости в формуле синус, а не косинус: нормаль перпендикулярна плоскости, поэтому угол с нормалью дополняет искомый до $9 0^{\circ}$ .

Углы между прямыми и между плоскостями не бывают тупыми — поэтому в числителе модуль. Получился отрицательный косинус — вы забыли модуль.

Серия: 0

Уравнение плоскости

Простыми словами

Уравнение плоскости

Расстояния

Углы координатным методом

Примеры заданий