Координаты в пространстве — Геометрия, 11 класс

Расстояние между точками, середина отрезка, уравнение сферы. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Чтобы указать место лампочки в комнате, нужно три числа: сколько метров от одной стены, от другой и от пола. Так и в пространстве: у каждой точки три координаты — абсцисса $x$ , ордината $y$ и аппликата $z$ .

Чтобы попасть в

A

: 2 по

x

, 3 по

y

, 2 вверх по

z

Расстояние и середина

A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2} www.reknow.ru

расстояние между точками

A (x_{1}; y_{1}; z_{1})

B (x_{2}; y_{2}; z_{2})

Это теорема Пифагора, применённая дважды — как диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ , $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ , $∣ z_{2} - z_{1} ∣$ .

M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2}; \frac{z _{1} + z _{2}}{2})

середина отрезка

A B

— полусуммы координат

$A (4; 6; 6)$ , $B (5; 8; 8)$ : $A B = 1^{2} + 2^{2} + 2^{2} www.reknow.ru = 9 www.reknow.ru = 3$ .
$A (0; - 1; 5)$ , $B (3; 3; 17)$ : $A B^{2} = 3^{2} + 4^{2} + 1 2^{2} = 9 + 16 + 144 = 169$ .
Середина отрезка $A (0; - 1; 5)$ , $B (4; 3; 17)$ : $M (2; 1; 11)$ .

Разность с отрицательной координатой: $3 - (- 1) = 4$ , а не $2$ . Квадрат разности всегда неотрицателен. Если просят квадрат расстояния — корень не извлекают.

Уравнение сферы

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

сфера с центром

(a; b; c)

и радиусом

R

Центр читается прямо из уравнения (знаки меняются!), радиус — корень из правой части.

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 25$ : центр $(1; - 2; 0)$ , радиус $5$ .

Расстояния до координатных плоскостей и осей

До чего	Расстояние от $M (x; y; z)$
Плоскость $O x y$	$∣ z ∣$
Плоскость $O yz$	$∣ x ∣$
Плоскость $O x z$	$∣ y ∣$
Ось $O z$	$x^{2} + y^{2} www.reknow.ru$
Начало координат	$x^{2} + y^{2} + z^{2} www.reknow.ru$

До плоскости — модуль той координаты, которой в её названии нет: в $O x y$ нет $z$ — значит, $∣ z ∣$ .

Координаты вектора

Вектор $\overset{www.reknow.ru}{A B}$ с началом $A (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ и концом $B (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ имеет координаты $(x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ — «конец минус начало». Его длина — расстояние $A B$ .

Пример: $A (3; 1; - 2)$ , $B (7; 5; 5)$ : $\overset{www.reknow.ru}{A B} = (4; 4; 7)$ . Середину находят полусуммой, а не разностью координат.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите расстояние между точками A(4; 6; 6) и B(5; 8; 8).

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. AB = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3.

Найдите квадрат расстояния между точками A(0; −1; 5) и B(3; 3; 17).

Показать ответ

Ответ: 169
Решение. 3² + 4² + 12² = 169.

Найдите абсциссу середины отрезка с концами A(4; −4; 0) и B(6; −1; 6).

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. (4 + 6) : 2 = 5.

Найдите аппликату середины отрезка с концами A(−6; −1; −2) и B(−3; 3; 10).

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. (−2 + 10) : 2 = 4.

Найдите расстояние от точки A(0; 4; −4) до начала координат. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 5,66
Решение. √(0² + 4² + −4²) = 5,66.

Уравнение сферы: (x − 6)² + (y − −4)² + (z − 4)² = 169. Найдите радиус сферы.

Показать ответ

Ответ: 13
Решение. R² = 169, значит R = 13.

Уравнение сферы (x − 1)² + (y − 0)² + (z − −4)² = 49. Найдите аппликату центра.

Показать ответ

Ответ: -4
Решение. Координаты центра читаются прямо из уравнения.

Найдите координаты вектора AB, если A(−1; −5; 0) и B(1; −2; 6): в ответ запишите первую координату.

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. 1 − (−1) = 2.