Конус — Геометрия, 11 класс

Объём, образующая, боковая поверхность, развёртка. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Вафельный рожок мороженого, колпак, воронка — это конусы. Если насыпать конус песка и такой же по основанию и высоте цилиндр, в цилиндр войдёт ровно три конуса.

Конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Этот катет — высота $h$ , другой катет — радиус основания $r$ , гипотенуза — образующая $l$ .

Главный треугольник и формулы

Высота, радиус и образующая — прямоугольный треугольник

l^{2} = r^{2} + h^{2}

теорема Пифагора в конусе

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

объём: треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой

S_{бок} = π r l, S_{полн} = π r l + π r^{2} = π r (l + r)

боковая и полная поверхность

Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2 r$ и высотой $h$ , площадь $r h$ . Развёртка боковой поверхности — сектор радиуса $l$ , длина дуги которого $2 π r$ .

Разберём задачи

Радиус основания 8, высота 15. Найдите объём, делённый на $π$ , и образующую.

$V = \frac{1}{3} π \cdot 64 \cdot 15 = 320 π$ , ответ $320$ .
$l = 64 + 225 www.reknow.ru = 289 www.reknow.ru = 17$ .

Не забывайте множитель $\frac{1}{3}$ в объёме. А в боковой поверхности стоит образующая $l$ , а не высота $h$ .

Пирамида — треть призмы, конус — треть цилиндра: «острое» тело всегда в 3 раза меньше «прямого» с тем же основанием и высотой.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём конуса

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Образующая конуса 20, радиус основания 12. Найдите высоту.

Показать ответ

Ответ: 16
Решение. h = √(20² − 12²) = 16.

Радиус основания конуса 6, образующая 10. Найдите площадь боковой поверхности, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 60
Решение. S = πrl = 60π.

Радиус основания конуса 8, образующая 17. Найдите площадь полной поверхности, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 200
Решение. S = πrl + πr² = 200π.

Объём конуса 768π, радиус 12. Найдите высоту.

Показать ответ

Ответ: 16
Решение. h = 3V : (πr²) = 16.

Во сколько раз объём конуса меньше объёма цилиндра с теми же основанием и высотой?

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. V = ⅓πr²h против πr²h.

Осевое сечение конуса — треугольник. Найдите его площадь при радиусе 7 и высоте 24.

Показать ответ

Ответ: 168
Решение. Основание 2r = 14, высота 24: S = ½·14·24 = 168.

Радиус конуса увеличили вдвое, высоту оставили прежней. Во сколько раз вырос объём?

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. Объём зависит от r².

Конус и цилиндр имеют одинаковые основание и высоту. Объём цилиндра 8400π. Найдите объём конуса, делённый на π.

Показать ответ

Ответ: 2800
Решение. Втрое меньше.