Цилиндр — Геометрия, 11 класс

Объём, боковая и полная поверхность, осевое сечение. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Банка консервов, труба, батарейка — цилиндры. Если разрезать этикетку банки вдоль и развернуть, получится прямоугольник: одна сторона — высота банки, другая — длина окружности донышка.

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг его стороны. Два равных круга — основания, радиус $r$ ; расстояние между ними — высота $h$ ; отрезки между окружностями оснований, параллельные оси, — образующие (у прямого цилиндра образующая равна высоте).

Формулы

Боковая поверхность разворачивается в прямоугольник

2 π r \times h

V = π r^{2} h

объём: площадь основания

π r^{2}

на высоту

S_{бок} = 2 π r h, S_{полн} = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π r (h + r)

боковая и полная поверхность

Здесь $r$ — радиус основания, $h$ — высота, $π \approx 3, 14$ . Площадь — в квадратных единицах, объём — в кубических.

Осевое сечение (плоскостью через ось) — прямоугольник со сторонами $2 r$ и $h$ , его площадь $2 r h$ .

Разберём задачи

Радиус основания 7, высота 12. Найдите объём, делённый на $π$ .

$V = π \cdot 7^{2} \cdot 12 = 588 π$ .
Ответ: $588$ .

Объём цилиндра $768 π$ , радиус 8. Найдите высоту.

$π \cdot 64 \cdot h = 768 π$ .
$h = 768 : 64 = 12$ .

Радиус входит в объём в квадрате: если радиус увеличить вдвое, объём вырастет вчетверо, а не вдвое. Если дан диаметр — сначала разделите его пополам.

Цилиндр — это «круглая призма»: как и у призмы, $V = S_{осн} \cdot h$ и $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$ , где периметр круга — $2 π r$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём цилиндра

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Объём цилиндра 768π, радиус 8. Найдите высоту.

Показать ответ

Ответ: 12
Решение. h = 768 : 64 = 12.

Объём цилиндра 256π, высота 4. Найдите квадрат радиуса основания.

Показать ответ

Ответ: 64
Решение. r² = 256 : 4 = 64.

Радиус основания цилиндра 4, высота 3. Найдите площадь боковой поверхности, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 24
Решение. S = 2πrh = 24π.

Радиус основания цилиндра 3, высота 4. Найдите площадь полной поверхности, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 42
Решение. S = 2πrh + 2πr² = 42π.

Найдите площадь основания цилиндра радиуса 7, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 49
Решение. S = πr² = 49π.

Радиус цилиндра увеличили вдвое, высоту оставили прежней. Во сколько раз вырос объём?

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. Объём зависит от радиуса как r².

Высоту цилиндра увеличили в 3 раза. Во сколько раз вырос объём?

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Объём пропорционален высоте.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Найдите его площадь при радиусе 5 и высоте 11.

Показать ответ

Ответ: 110
Решение. Стороны 2r = 10 и h = 11: S = 110.