Пирамида — Геометрия, 11 класс

Объём, апофема, боковая поверхность, сечения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Египетские пирамиды, крыша-шатёр, пакет молока «тетрапак» — это пирамиды: внизу многоугольник, а все боковые грани-треугольники сходятся в одной точке наверху.

Пирамида — многогранник, у которого одна грань (основание) — многоугольник, а остальные (боковые грани) — треугольники с общей вершиной. Высота $h$ — перпендикуляр из вершины на плоскость основания.

Правильная пирамида: в основании правильный многоугольник, высота падает в его центр. Её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Объём

Треугольник «высота

h

— апофема

m

— половина стороны» прямоугольный

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

объём любой пирамиды

где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота. Пирамида втрое меньше призмы с тем же основанием и высотой.

Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 9, высота 3.

В основании квадрат: $S = 9^{2} = 81$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 3 = 81$ .

Объём 240, площадь основания 144. Найдите высоту.

$240 = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot h = 48 h$ .
$h = 5$ .

Самая частая ошибка — забыть $\frac{1}{3}$ . Обратная задача: $h = \frac{3 V}{S _{осн}}$ .

Апофема и боковая поверхность

Апофема $m$ — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины к стороне основания.

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot m

правильная пирамида: полупериметр основания на апофему

Для правильной четырёхугольной пирамиды со стороной $a$ : $m^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ .

Сторона 6, высота 4: $m = 16 + 9 www.reknow.ru = 5$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ .

Сечение, параллельное основанию

Такая плоскость отсекает пирамиду, подобную исходной. Если она делит высоту в отношении $k$ (от вершины), то площадь сечения $= k^{2} \cdot S_{осн}$ , объём верхушки $= k^{3} \cdot V$ .

Сечение через середину высоты: $k = \frac{1}{2}$ , площадь сечения в 4 раза меньше основания, объём отсечённой пирамиды в 8 раз меньше.

Длины — $k$ , площади — $k^{2}$ , объёмы — $k^{3}$ .

Боковое ребро

В правильной пирамиде боковое ребро $b$ — гипотенуза треугольника «высота $h$ — радиус описанной окружности основания». Для четырёхугольной пирамиды со стороной $a$ это половина диагонали квадрата $\frac{d}{2} = \frac{a 2 www.reknow.ru}{2}$ :

b^{2} = h^{2} + (\frac{d}{2})^{2} = h^{2} + \frac{a ^{2}}{2}

a = 3

h = 4

b^{2} = 16 + 4, 5 = 20, 5

Не путайте боковое ребро с апофемой: апофема идёт к середине стороны ( $m^{2} = h^{2} + \frac{a ^{2}}{4}$ ), ребро — к вершине основания.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём пирамиды

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Объём пирамиды 240, площадь основания 144. Найдите высоту.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. h = 3V : S = 720 : 144 = 5.

Объём пирамиды 36, высота 3. Найдите площадь основания.

Показать ответ

Ответ: 36
Решение. S = 3V : h = 36.

Во сколько раз объём пирамиды меньше объёма призмы с теми же основанием и высотой?

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. V = ⅓S·h против V = S·h.

В основании пирамиды прямоугольник 6 × 9, высота 4. Найдите объём.

Показать ответ

Ответ: 72
Решение. V = ⅓·6·9·4 = 72.

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды 9, сторона основания 12. Найдите площадь боковой поверхности.

Показать ответ

Ответ: 216
Решение. S = ½·P·m = ½·48·9 = 216.

Все размеры пирамиды увеличили вдвое. Во сколько раз вырос объём?

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Объём растёт как куб коэффициента подобия.

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию через середину высоты: во сколько раз его площадь меньше площади основания?

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. Коэффициент подобия ½, площади как ¼.

Объём пирамиды 243. Найдите объём пирамиды с тем же основанием и вдвое большей высотой.

Показать ответ

Ответ: 486
Решение. Объём пропорционален высоте.