Многогранники: пирамида — Геометрия, 10 класс

Объём и площадь боковой поверхности правильной пирамиды, апофема. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Египетские пирамиды — образец: внизу многоугольник (основание), из каждой его стороны к одной точке (вершине) поднимается треугольник (боковая грань). Пирамида вмещает ровно треть того, что поместилось бы в призму с тем же основанием и высотой.

SO = h

— высота,

SM = m

— апофема,

OM = r

— расстояние от центра основания до стороны

Высота пирамиды $h$ — перпендикуляр из вершины на плоскость основания. Правильная пирамида: в основании правильный многоугольник, и высота падает в его центр. Апофема $m$ — высота боковой грани правильной пирамиды.

Объём

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

S_{осн}

— площадь основания,

h

— высота пирамиды

$S_{осн} = 105$ , $h = 23$ : $V = \frac{105 \cdot 23}{3} = 35 \cdot 23 = 805$ .
$S_{осн} = 114$ , $h = 30$ : $V = 114 \cdot 10 = 1140$ .

Делите на 3 то число, которое делится нацело, — так проще считать: $\frac{114 \cdot 30}{3} = 114 \cdot 10$ .

Боковая поверхность и апофема

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники с основанием $a$ и высотой $m$ . Их $n$ штук:

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot m

P_{осн} = n \cdot a

— периметр основания,

m

— апофема

Четырёхугольная, $a = 13$ , $m = 10$ : $P = 52$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 52 \cdot 10 = 260$ .
Шестиугольная, $a = 20$ , $m = 8$ : $P = 120$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 8 = 480$ .

Апофему находят из прямоугольного треугольника $SOM$ :

m = h^{2} + r^{2} www.reknow.ru

r = OM

— расстояние от центра основания до середины стороны (радиус вписанной окружности основания)

$h = 5$ , $r = 12$ : $m = 25 + 144 www.reknow.ru = 13$ .
$h = 17$ , $r = 6$ : $m = 289 + 36 www.reknow.ru = 325 www.reknow.ru \approx 18, 03$ .

Апофема — не боковое ребро и не высота пирамиды. В боковой поверхности — апофема, в объёме — высота.

Полная поверхность: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём пирамиды

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — правильный 4-угольник со стороной a, апофема пирамиды (высота боковой грани) равна m. Найдите площадь боковой поверхности:

a = 13, m = 10

Показать ответ

Ответ: 260
Решение. P_осн = 4·13 = 52. S_бок = (12)·52·10 = 260.

Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный 6-угольник со стороной a, апофема пирамиды (высота боковой грани) равна m. Найдите площадь боковой поверхности:

a = 20, m = 8

Показать ответ

Ответ: 480
Решение. P_осн = 6·20 = 120. S_бок = (12)·120·8 = 480.

Основание правильной треугольной пирамиды — правильный 3-угольник со стороной a, апофема пирамиды (высота боковой грани) равна m. Найдите площадь боковой поверхности:

a = 5, m = 22

Показать ответ

Ответ: 165
Решение. P_осн = 3·5 = 15. S_бок = (12)·15·22 = 165.