Цилиндр и конус — Геометрия, 10 класс

Объём и площадь боковой поверхности цилиндра и конуса, образующая. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Банка консервов — цилиндр, вафельный рожок — конус. Оба — тела вращения: цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг стороны, конус — вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Если у конуса и цилиндра одинаковые основание и высота, в конус помещается ровно треть воды из цилиндра.

Цилиндр: радиус

r

, высота

h

. Конус: высота

h

, радиус

r

и образующая

l

— прямоугольный треугольник

Цилиндр

V = π r^{2} h

объём: площадь основания

π r^{2}

умножить на высоту

h

S_{бок} = 2 π r h S_{полн} = 2 π r h + 2 π r^{2}

боковая поверхность — развёртка-прямоугольник со сторонами

2 π r

(длина окружности) и

h

; полная — плюс два круга

$r = 20$ , $h = 3$ : $V = π \cdot 400 \cdot 3 = 1200 π$ , $k = 1200$ . При $r = 6$ , $h = 14$ : $V = 36 \cdot 14 π = 504 π$ .
$r = 4$ , $h = 12$ : $S_{бок} = 2 π \cdot 4 \cdot 12 = 96 π$ . При $r = 5$ , $h = 13$ : $130 π$ .

Если ответ просят «в виде $kπ$ », вписывают только число $k$ , без $π$ и без приближённых вычислений ( $1200$ , а не $3769, 9$ ).

Конус

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

объём конуса — треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой

l = r^{2} + h^{2} www.reknow.ru S_{бок} = π r l

l

— образующая (от вершины до окружности основания); высота, радиус и образующая — прямоугольный треугольник

$r = 3$ , $h = 3$ : $V = \frac{1}{3} π \cdot 9 \cdot 3 = 9 π$ . При $r = 3$ , $h = 12$ : $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 12 = 36$ , $V = 36 π$ .
$r = 10$ , $h = 17$ : $l = 100 + 289 www.reknow.ru = 389 www.reknow.ru \approx 19, 72$ .
$r = 5$ , $h = 10$ : $l = 25 + 100 www.reknow.ru = 125 www.reknow.ru \approx 11, 18$ .

Не путайте высоту $h$ и образующую $l$ : в объём входит высота, в боковую поверхность конуса — образующая. Образующая всегда длиннее высоты.

Пирамида и конус — «заострённые» тела: у обоих множитель $\frac{1}{3}$ . Призма и цилиндр — «прямые»: множителя нет.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём цилиндра Объём конуса

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Радиус основания цилиндра равен r, высота h. Найдите площадь боковой поверхности в виде k·π (впишите k):

r = 4, h = 12

Показать ответ

Ответ: 96
Решение. S_бок = 2π·4·12 = 96·π.

Радиус основания цилиндра равен r, высота h. Найдите площадь боковой поверхности в виде k·π (впишите k):

r = 5, h = 13

Показать ответ

Ответ: 130
Решение. S_бок = 2π·5·13 = 130·π.

Радиус основания цилиндра равен r, высота h. Найдите площадь боковой поверхности в виде k·π (впишите k):

r = 3, h = 19

Показать ответ

Ответ: 114
Решение. S_бок = 2π·3·19 = 114·π.