Тема 5 · Геометрия

Двугранный угол, угол между плоскостями

Линейный угол двугранного угла, определение угла между плоскостями. 100 заданий на отработку.

Родителю: как помочь с темой «Двугранный угол, угол между плоскостями»

В теме 6 подтем: Двугранный угол — теория, Двугранный угол на чертеже, Линейный угол, Угол при основании пирамиды, Площадь проекции, Угол между плоскостями.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Приоткрытая книга: две страницы — грани, корешок — ребро. Это двугранный угол. Чтобы измерить, насколько книга раскрыта, смотрят на неё «с торца»: проводят в каждой странице луч, перпендикулярный корешку, и меряют обычный угол между лучами.

Слева:

φ

— линейный угол. Справа:

M A ⊥ (A BC)

A B ⊥ BC

⇒

MB ⊥ BC

, угол между плоскостями

MBC

A BC

равен

∠ MB A

Линейный угол

Линейный угол двугранного угла — угол между двумя лучами, которые лежат в гранях, выходят из одной точки ребра и перпендикулярны ребру. Величина двугранного угла равна величине линейного угла и не зависит от выбора точки на ребре.

Острый

0^{\circ} < φ < 9 0^{\circ}

Прямой

φ = 9 0^{\circ}

Тупой

9 0^{\circ} < φ < 18 0^{\circ}

Плоскость, проходящая через ребро и делящая двугранный угол пополам, — биссекторная: угол $9 6^{\circ}$ делится на два по $4 8^{\circ}$ ; угол $16 0^{\circ}$ — тупой.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Угол между плоскостями — наименьший из них, от $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$ .

Точка на грани и расстояние

Точка $M$ на одной грани, $M K$ — расстояние до ребра, $M H$ — расстояние до плоскости другой грани. Треугольник $M HK$ прямоугольный, угол при $K$ равен $φ$ :

M H = M K \cdot sin φ

M K

— гипотенуза,

M H

— катет напротив угла

φ

$φ = 3 0^{\circ}$ , $M K = 30$ : $M H = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$ .
$M K = 24$ , $M H = 12$ : $sin φ = \frac{1}{2}$ , $φ = 3 0^{\circ}$ .

Угол $15 0^{\circ}$ , $M K = 24$ . Перпендикуляр $M H$ падает на продолжение другой грани, а в треугольнике $M HK$ угол при $K$ равен смежному: $18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ . $M H = 24 \cdot sin 3 0^{\circ} = 12$ . Наоборот, если $M H : M K = 1 : 2$ и угол тупой, то он равен $15 0^{\circ}$ .

Пирамида и угол между плоскостями

Двугранный угол при ребре основания правильной пирамиды — угол $SMO$ в треугольнике «высота $h$ — апофема $m$ — радиус $r$ вписанной окружности основания»:

sin φ = \frac{h}{m} cos φ = \frac{r}{m} tg φ = \frac{h}{r}

h

— высота пирамиды,

m

— апофема,

r

— расстояние от центра основания до стороны

$h = 2$ , $m = 4$ : $sin φ = \frac{1}{2}$ , $φ = 3 0^{\circ}$ .
Правильная четырёхугольная, $a = m = 16$ : $r = \frac{a}{2} = 8$ , $cos φ = \frac{8}{16}$ , $φ = 6 0^{\circ}$ .

Если $M A ⊥$ плоскости, линейный угол строят по теореме о трёх перпендикулярах: $A H ⊥ BC$ ⇒ $M H ⊥ BC$ , угол $M H A$ , и $M A = A H \cdot tg φ$ .

Квадрат со стороной 26, угол $4 5^{\circ}$ : $A H = A B = 26$ , $M A = 26 \cdot tg 4 5^{\circ} = 26$ .
$A B = A C = 35$ , $BC = 56$ : высота $A H = 3 5^{2} - 2 8^{2} www.reknow.ru = 21$ , $M A = 21$ .

$A B = A C = 17$ , $BC = 16$ , $M A ⊥ (A BC)$ , угол между $MBC$ и $A BC$ равен $6 0^{\circ}$ . Расстояние от $M$ до $BC$ .

$A H$ — высота и медиана: $A H = 1 7^{2} - 8^{2} www.reknow.ru = 15$ .
$M H$ — гипотенуза в $△ M A H$ : $M H = \frac{A H}{c o s 6 0 ^{\circ}} = 30$ . Так же в квадрате со стороной 22 при угле $6 0^{\circ}$ : $MB = \frac{22}{c o s 6 0 ^{\circ}} = 44$ .

Площадь проекции

S_{пр} = S \cdot cos φ

S

— площадь многоугольника,

S_{пр}

— площадь его ортогональной проекции,

φ

— угол между их плоскостями

$S = 62$ , $S_{пр} = 31$ : $cos φ = \frac{1}{2}$ , $φ = 6 0^{\circ}$ .
$S_{пр} = 7$ , $φ = 6 0^{\circ}$ : $S = \frac{7}{0 , 5} = 14$ .

Проекция никогда не больше самой фигуры: если $S_{пр} > S$ , перепутаны местами данные.

Линейный угол — «торцевой вид»: оба луча обязаны быть перпендикулярны ребру, иначе угол получится не тот.

Свойства двугранных углов

Утверждение	Верно?
Линейных углов у двугранного угла бесконечно много (в каждой точке ребра), и все они равны	да
Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру	да
Двугранный угол бывает больше $18 0^{\circ}$	нет: от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ ; угол между плоскостями — от $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$
Сумма двух смежных двугранных углов	$18 0^{\circ}$
Двугранный угол прямой, если его линейный угол равен $9 0^{\circ}$ ; перпендикулярные плоскости образуют угол $9 0^{\circ}$	да
Если ребро лежит в горизонтальной плоскости, грани обязательно вертикальны	нет

У прямой призмы боковые грани перпендикулярны основанию ( $9 0^{\circ}$ ). Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен углу основания: у правильной треугольной — $6 0^{\circ}$ . Двугранный угол при ребре основания пирамиды образован боковой гранью и основанием, его линейный угол строят через апофему. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны (у правильной — всегда), вершина проектируется в центр вписанной окружности основания.

Серия: 0

Где это пригодится: ЕГЭ — 1 заданиеЗадания экзамена 11 класса, которые опираются на этот материал — нажмите, чтобы раскрыть список

ЕГЭ, профиль, задание 14Стереометрическая задачаОткрыть →