Тема 2 · Геометрия

Параллельность прямых и плоскостей

Признаки и свойства параллельности прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. 100 заданий на отработку.

Родителю: как помочь с темой «Параллельность прямых и плоскостей»

В теме 6 подтем: Параллельность в пространстве, Расположение прямых, Параллельность в кубе, Параллельные отрезки, Параллельные плоскости, Сечение тетраэдра.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Пол и потолок комнаты — параллельные плоскости: они нигде не встречаются. Стена режет их по двум параллельным линиям (плинтус внизу и карниз вверху). Почти вся тема — про то, как из параллельности одних объектов следует параллельность других.

α ∥ β

, плоскость

γ

пересекает их по прямым

a ∥ b

Признаки и свойства

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Признак: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Свойство: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна первой прямой.

Признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Свойства: третья плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым; отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.

Для параллельности плоскостей нужны две пересекающиеся прямые. Две параллельные прямые не годятся: плоскости могут пересекаться по прямой, параллельной им.

Параллельность в кубе

$A D_{1}$ и плоскость $B D D_{1} B_{1}$ : точка $D_{1}$ лежит в этой плоскости, а $A$ — нет, значит прямая пересекает плоскость (в точке $D_{1}$ ).
Сколько диагоналей граней параллельны плоскости $A B B_{1} A_{1}$ ? Только две диагонали противоположной грани $D C C_{1} D_{1}$ : $D C_{1}$ и $D_{1} C$ . Диагонали самой грани $A B B_{1} A_{1}$ лежат в ней, а остальные пересекают её.

Прямая, лежащая в плоскости, не считается параллельной ей: у них есть общие точки.

Параллельные отрезки и плоскость

Через концы отрезка $A B$ и его середину $M$ проведены параллельные прямые до плоскости $α$ . Получается трапеция $A A_{1} B_{1} B$ , и $M M_{1}$ — её средняя линия.

M M_{1} = \frac{A A _{1} + B B _{1}}{2}

M M_{1} = \frac{A A _{1} + B B _{1}}{2} M M_{1} = \frac{∣ A A _{1} - B B _{1} ∣}{2}

отрезок не пересекает плоскость; отрезок пересекает плоскость (концы по разные стороны)

Не пересекает, $A A_{1} = 15$ , $B B_{1} = 3$ : $M M_{1} = 9$ .
Пересекает, $A A_{1} = 26$ , $B B_{1} = 16$ : $M M_{1} = \frac{26 - 16}{2} = 5$ .

$A C : CB = m : n$ , отрезок не пересекает плоскость. Тогда $C C_{1} = \frac{n \cdot A A _{1} + m \cdot B B _{1}}{m + n}$ — значение меняется равномерно от $A A_{1}$ к $B B_{1}$ .

$A C : CB = 1 : 2$ , $A A_{1} = 2$ , $B B_{1} = 26$ : $C C_{1} = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 26}{3} = 10$ .
Проверка «по шагам»: от $A$ до $B$ прирост $24$ , точка $C$ прошла $\frac{1}{3}$ пути — $2 + 8 = 10$ .

Параллельные плоскости и сечение тетраэдра

Параллельные плоскости высекают на сторонах угла (или на прямых через общую точку) подобные треугольники: $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ .

$O$ между плоскостями, $O A_{1} : O A_{2} = 1 : 4$ , $A_{1} B_{1} = 15$ : треугольники $O A_{1} B_{1}$ и $O A_{2} B_{2}$ подобны, $A_{2} B_{2} = 60$ .
Угол $A SB$ , $S A_{1} = 11$ , $A_{1} A_{2} = 19$ , $A_{1} B_{1} = 11$ : $S A_{2} = 30$ , $A_{2} B_{2} = 11 \cdot \frac{30}{11} = 30$ .

Плоскость, параллельная грани $A BC$ тетраэдра, высекает треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ , подобный $A BC$ с коэффициентом $k = \frac{D A _{1}}{D A}$ . Периметр умножается на $k$ .

$D A_{1} : A_{1} A = 1 : 3$ : $k = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$ , периметр $16 \cdot \frac{1}{4} = 4$ .
$D A_{1} : A_{1} A = 3 : 2$ : $k = \frac{3}{5}$ , периметр $40 \cdot \frac{3}{5} = 24$ .

$k$ — это $D A_{1} : D A$ (часть к целому), а не $D A_{1} : A_{1} A$ .

Ещё факты о параллельности

Утверждение	Верно?
Плоскость, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую	да
Через одну из скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой (и притом одна)	да
Прямая, параллельная плоскости, параллельна каждой прямой этой плоскости	нет: с прямыми плоскости она параллельна или скрещивается; параллельных ей прямых в плоскости бесконечно много
Две прямые, параллельные одной плоскости, параллельны	нет: могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться
Через точку вне плоскости проходит одна плоскость, параллельная данной; а прямых, параллельных плоскости, — бесконечно много	да
Через точку вне прямой можно провести бесконечно много плоскостей, параллельных ей	да
Две плоскости, параллельные третьей, параллельны; плоскости без общих точек параллельны	да
Если $α ∥ β$ : прямая в $α$ параллельна $β$ ; прямая, пересекающая $α$ , пересекает и $β$	да

У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны, а четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Пар параллельных граней: у куба 3, у правильной шестиугольной призмы 4 (три пары боковых и основания), у тетраэдра 0. Сечение — многоугольник, каждая сторона которого лежит в грани, поэтому сторон не больше, чем граней: у тетраэдра — не больше 4, у параллелепипеда — не больше 6.

Ребро параллельно плоскости, если оно не лежит в ней и параллельно какой-то прямой в ней. Плоскости $A BC D$ параллельны 4 ребра верхней грани. Плоскости $A C C_{1} A_{1}$ параллельны только $B B_{1}$ и $D D_{1}$ (они параллельны $A A_{1}$ и не лежат в плоскости). Плоскость $B C_{1} D$ пересекает все 12 рёбер или содержит их концы — параллельных рёбер нет.

Серия: 0