Тема 1 · Геометрия

Аксиомы стереометрии, взаимное расположение прямых и плоскостей

Основные аксиомы, параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые, прямая и плоскость. 100 заданий на отработку.

Родителю: как помочь с темой «Аксиомы стереометрии, взаимное расположение прямых и плоскостей»

В теме 6 подтем: Аксиомы стереометрии, Взаимное расположение прямых, Прямая и плоскость, Прямые в кубе, Прямая и плоскость в кубе, Аксиомы: подсчёт.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Стереометрия изучает фигуры в пространстве. Табуретка на трёх ножках не качается: три точки опоры, не лежащие на одной прямой, задают ровно одну плоскость пола. Это и есть первая аксиома.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

А3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Следствие 1Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

Следствие 2Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

ЕщёЧерез две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

Две прямые в пространстве

Расположение	Общие точки	В одной плоскости?
Пересекаются	одна	да
Параллельны $a ∥ b$	нет	да
Скрещиваются	нет	нет

A B

C C_{1}

— скрещиваются;

D C

A_{1} B_{1}

— параллельны (зелёные)

Если прямая $a$ лежит в плоскости, а прямая $b$ пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на $a$ , то $a$ и $b$ скрещиваются.

$C D$ и $A_{1} B_{1}$ : обе параллельны $A B$ — параллельны (лежат в плоскости $A_{1} B_{1} C D$ ).
$C C_{1}$ и $D D_{1}$ : боковые рёбра — параллельны.
$A B$ и $C C_{1}$ : $A B$ лежит в основании, $C C_{1}$ пересекает основание в точке $C \in / A B$ — скрещиваются.
$A B$ и $B B_{1}$ : общая точка $B$ — пересекаются.

На рисунке скрещивающиеся прямые могут казаться пересекающимися. Проверяйте: есть ли настоящая общая точка, лежат ли прямые в одной грани или сечении.

Прямая и плоскость

Общих точек: бесконечно много — одна — ни одной

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.

$A B$ и плоскость $A BC D$ : две точки $A$ , $B$ в плоскости — по А2 лежит в плоскости. Так же $BC$ в плоскости $BC C_{1} B_{1}$ .
$A_{1} B_{1}$ и плоскость $A BC D$ : $A_{1} B_{1} ∥ A B$ — параллельна.
$A A_{1}$ и плоскость $A BC D$ : общая точка только $A$ — пересекает.

Сколько плоскостей

Каждая тройка точек (не на одной прямой) задаёт свою плоскость, каждая пара пересекающихся прямых — тоже. Если никакие четыре точки не лежат в одной плоскости (никакие три прямые — в одной плоскости), то плоскостей столько же, сколько троек (пар):

C_{n}^{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

число троек из

n

точек и число пар из

n

прямых

7 точек: $\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$ плоскостей.
4 прямые через точку $O$ : $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ плоскостей.

«Скрещиваются» — значит «не встретятся и не параллельны»: как дорога и мост над ней, идущий в другую сторону.

Через что проводим	Сколько плоскостей
две точки; три точки на одной прямой; одну прямую	бесконечно много
три точки не на одной прямой; прямую и точку вне её; две пересекающиеся или две параллельные прямые	одну
две скрещивающиеся прямые	ни одной

Если две плоскости имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой, то они совпадают (по А1). Если четыре точки не лежат в одной плоскости, то никакие три из них не лежат на одной прямой: иначе прямая и четвёртая точка задали бы общую плоскость.

Плоскости, углы и рёбра куба

Две плоскостилибо пересекаются по прямой, либо параллельны — не имеют общих точек. Пересечься в одной точке или «скреститься» плоскости не могут.

Прямая вне плоскостиимеет с плоскостью не более одной общей точки: пересекает её в одной точке или параллельна ей (общих точек нет).

Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Две прямые, параллельные третьей, параллельны, — поэтому две скрещивающиеся прямые не могут быть параллельны одной прямой. Если $a$ и $b$ скрещиваются, а $c ∥ a$ , то $b$ и $c$ пересекаются или скрещиваются (параллельны быть не могут).

Три прямые через одну точку не обязательно лежат в одной плоскости (как три ребра куба из вершины). А если прямая $c$ пересекает пересекающиеся прямые $a$ и $b$ в двух разных точках, то все три лежат в одной плоскости: две точки $c$ лежат в плоскости $a$ и $b$ , значит, по А2 и вся $c$ .

Угол между пересекающимися прямыми — меньший из образованных углов, он от $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$ . Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными им.

Возьмём ребро $A B$ куба (всего рёбер 12). Параллельны ему $D C$ , $A_{1} B_{1}$ , $D_{1} C_{1}$ — 3 ребра. Пересекают его (имеют общую вершину) $A D$ , $A A_{1}$ , $BC$ , $B B_{1}$ — 4 ребра. Остальные $12 - 1 - 3 - 4 = 4$ ребра скрещиваются с $A B$ . У тетраэдра 6 рёбер, и скрещиваются только противоположные: 3 пары ( $A B$ и $C D$ , $A C$ и $B D$ , $A D$ и $BC$ ).

Серия: 0