Учебник reknow · 10 класс

Геометрия: теория

15 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:7 8 9 10 11 Математика по всем классам →

Сечения многогранников
Аксиомы стереометрии и взаимное расположение прямых и плоскостей
Перпендикулярность и расстояния в пространстве
Параллельность прямых и плоскостей
Углы между прямыми и плоскостями
Перпендикулярность прямой и плоскости
Призма и параллелепипед
Перпендикулярность плоскостей и теорема о трёх перпендикулярах
Пирамида
Двугранный угол и угол между плоскостями
Призма
Пирамида
Правильные многогранники
Цилиндр и конус
Шар и сфера

Тема 01 · Геометрия, углублённый уровень

Сечения многогранников

Простыми словами

Разрежем кубик сыра ножом: срез — плоский многоугольник. Это и есть сечение. Его стороны — отрезки, по которым плоскость «режет» грани. Плоскость задают три точки, а остальные вершины среза находят продолжением линий до пересечения — это метод следов.

K L

продолжили до точки

X

на прямой

D C

; прямая

X D_{1}

даёт точку

P

на

C C_{1}

Метод следов

След плоскости сечения на грани — прямая их пересечения. Правила: две точки сечения в одной грани соединяем — это сторона; сторону продолжаем до пересечения с прямой ребра — получаем точку следа на соседней грани; параллельные грани плоскость режет по параллельным отрезкам.

Сечение куба может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником (у куба 6 граней — больше сторон не бывает).

Ребро 5, $A K = 3$ , $B L = 1$ .

В основании: $K B = 2$ , $L C = 4$ . Треугольники $L B K$ и $L CX$ подобны: $CX = K B \cdot \frac{L C}{B L} = 8$ , $D X = 13$ .
В грани $D C C_{1} D_{1}$ : $△ XCP \sim △ X D D_{1}$ , $CP = 5 \cdot \frac{8}{13} = \frac{40}{13}$ , $P C_{1} = \frac{25}{13}$ .
$CP : P C_{1} = 40 : 25 = 1, 6$ .

Вид сечения считают по числу граней, которые пересекает плоскость: одна сторона — одна грань.

Теорема Менелая и сечение тетраэдра

Прямая пересекает стороны $A B$ , $BC$ и прямую $C A$ треугольника $A BC$ в точках $P$ , $Q$ , $R$ . Тогда

\frac{A P}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{R A} = 1

обходим треугольник по кругу: вершина → точка → вершина → …

Для сечения $K L MN$ тетраэдра $D A BC$ ( $K \in D A$ , $L \in D B$ , $M \in BC$ , $N \in A C$ ) теорему применяют дважды (в грани $D A B$ и в основании), и получается «пространственный Менелай»:

\frac{DK}{K A} \cdot \frac{A N}{NC} \cdot \frac{CM}{MB} \cdot \frac{B L}{L D} = 1

обход по замкнутой ломаной

D \to A \to C \to B \to D

$DK : K A = 1 : 1$ , $D L : L B = 3 : 2$ , $BM : MC = 4 : 1$ : $1 \cdot \frac{A N}{NC} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1$ , $\frac{A N}{NC} = 6$ . При $A C = 14$ : $A N = 12$ .
$2 : 1$ , $5 : 4$ , $4 : 5$ : $2 \cdot \frac{A N}{NC} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1$ , $A N : NC = 0, 5$ .

Отношения надо брать строго по обходу: $\frac{CM}{MB}$ , а не $\frac{BM}{MC}$ , если идём от $C$ к $B$ .

Если $DK : K A = D L : L B$ , то $K L ∥ A B$ , и Менелай не нужен: плоскость параллельна $A B$ и режет основание по $MN ∥ A B$ . Тогда $MN = A B \cdot \frac{CM}{CB}$ : при $BM : MC = 5 : 3$ и $A B = 32$ получаем $MN = 32 \cdot \frac{3}{8} = 12$ .

Сечения, параллельные рёбрам и основанию

Если плоскость параллельна ребру, то в каждой грани с этим ребром след параллелен ему. Сечение тетраэдра, параллельное $A B$ и $C D$ , — параллелограмм; угол между его сторонами равен углу между $A B$ и $C D$ .

K M = C D \cdot \frac{A K}{A C} K N = A B \cdot \frac{C K}{C A}

стороны параллелограмма-сечения через точку

K \in A C

$A K : K C = 3 : 1$ , $A B = 3$ , $C D = 16$ : стороны $16 \cdot \frac{3}{4} = 12$ и $3 \cdot \frac{1}{4} = 0, 75$ , периметр $25, 5$ .
$5 : 3$ , $A B = 20$ , $C D = 16$ , угол $3 0^{\circ}$ : стороны $10$ и $7, 5$ , $S = 10 \cdot 7, 5 \cdot sin 3 0^{\circ} = 37, 5$ .

Сечение пирамиды, параллельное основанию, подобно основанию:

\frac{S _{1}}{S} = k^{2}, k = \frac{S A _{1}}{S A} = \frac{h _{1}}{h}

h_{1}

— расстояние от вершины до сечения; длины умножаются на

k

, площади на

k^{2}

$S = 16$ , $S_{1} = 1$ , $h = 3$ : $k = \frac{1}{4}$ , $h_{1} = 0, 75$ от вершины, от основания $3 - 0, 75 = 2, 25$ .
Основание $16, 30, 34$ — прямоугольный треугольник ( $1 6^{2} + 3 0^{2} = 3 4^{2}$ ), $S = 240$ ; $k = \frac{1}{2}$ , $S_{1} = 60$ .

$k$ считают от вершины, а в ответе часто спрашивают расстояние от основания.

Сечение, параллельное $A B$ и $C D$ , — ромб, когда стороны равны: $C D \cdot \frac{A K}{A C} = A B \cdot \frac{C K}{A C}$ , то есть $A K : K C = A B : C D$ ( $A B = 11$ , $C D = 5$ : отношение $2, 2$ ). Сечение, параллельное основанию, отсекает подобную пирамиду: её боковая поверхность — $S_{бок} \cdot k^{2}$ , а у оставшейся усечённой части — $S_{бок} (1 - k^{2})$ . При $S_{бок} = 243$ , $S K : K A = 1 : 5$ : $k = \frac{1}{6}$ , $243 \cdot \frac{35}{36} = 236, 25$ .

Площадь сечения параллелепипеда

Через ребро $A D$ и $K \in B B_{1}$ прямоугольник

A D \times A K

Через ребро $A B$ и $M \in D D_{1}$ прямоугольник

A B \times A M

Треугольник $B DK$ , $K \in C C_{1}$ высота

KH ⊥ B D

по теореме о трёх перпендикулярах,

C H = \frac{ab}{a ^{2} + b ^{2}}

$A B = 7$ , $A D = 12$ , $D M = 5$ : $A M = 144 + 25 = 13$ , $S = 7 \cdot 13 = 91$ .
$A B = 21$ , $A D = 11$ , $B K = 20$ : $A K = 441 + 400 = 29$ , $S = 11 \cdot 29 = 319$ .

Тема 1 · Геометрия

Аксиомы стереометрии и взаимное расположение прямых и плоскостей

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Стереометрия изучает фигуры в пространстве. Табуретка на трёх ножках не качается: три точки опоры, не лежащие на одной прямой, задают ровно одну плоскость пола. Это и есть первая аксиома.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

А3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Следствие 1Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

Следствие 2Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

ЕщёЧерез две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

Две прямые в пространстве

Расположение	Общие точки	В одной плоскости?
Пересекаются	одна	да
Параллельны $a ∥ b$	нет	да
Скрещиваются	нет	нет

A B

C C_{1}

— скрещиваются;

D C

A_{1} B_{1}

— параллельны (зелёные)

Если прямая $a$ лежит в плоскости, а прямая $b$ пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на $a$ , то $a$ и $b$ скрещиваются.

$C D$ и $A_{1} B_{1}$ : обе параллельны $A B$ — параллельны (лежат в плоскости $A_{1} B_{1} C D$ ).
$C C_{1}$ и $D D_{1}$ : боковые рёбра — параллельны.
$A B$ и $C C_{1}$ : $A B$ лежит в основании, $C C_{1}$ пересекает основание в точке $C \in / A B$ — скрещиваются.
$A B$ и $B B_{1}$ : общая точка $B$ — пересекаются.

На рисунке скрещивающиеся прямые могут казаться пересекающимися. Проверяйте: есть ли настоящая общая точка, лежат ли прямые в одной грани или сечении.

Прямая и плоскость

Общих точек: бесконечно много — одна — ни одной

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.

$A B$ и плоскость $A BC D$ : две точки $A$ , $B$ в плоскости — по А2 лежит в плоскости. Так же $BC$ в плоскости $BC C_{1} B_{1}$ .
$A_{1} B_{1}$ и плоскость $A BC D$ : $A_{1} B_{1} ∥ A B$ — параллельна.
$A A_{1}$ и плоскость $A BC D$ : общая точка только $A$ — пересекает.

Сколько плоскостей

Каждая тройка точек (не на одной прямой) задаёт свою плоскость, каждая пара пересекающихся прямых — тоже. Если никакие четыре точки не лежат в одной плоскости (никакие три прямые — в одной плоскости), то плоскостей столько же, сколько троек (пар):

C_{n}^{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

число троек из

n

точек и число пар из

n

прямых

7 точек: $\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$ плоскостей.
4 прямые через точку $O$ : $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ плоскостей.

«Скрещиваются» — значит «не встретятся и не параллельны»: как дорога и мост над ней, идущий в другую сторону.

Через что проводим	Сколько плоскостей
две точки; три точки на одной прямой; одну прямую	бесконечно много
три точки не на одной прямой; прямую и точку вне её; две пересекающиеся или две параллельные прямые	одну
две скрещивающиеся прямые	ни одной

Если две плоскости имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой, то они совпадают (по А1). Если четыре точки не лежат в одной плоскости, то никакие три из них не лежат на одной прямой: иначе прямая и четвёртая точка задали бы общую плоскость.

Плоскости, углы и рёбра куба

Две плоскостилибо пересекаются по прямой, либо параллельны — не имеют общих точек. Пересечься в одной точке или «скреститься» плоскости не могут.

Прямая вне плоскостиимеет с плоскостью не более одной общей точки: пересекает её в одной точке или параллельна ей (общих точек нет).

Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Две прямые, параллельные третьей, параллельны, — поэтому две скрещивающиеся прямые не могут быть параллельны одной прямой. Если $a$ и $b$ скрещиваются, а $c ∥ a$ , то $b$ и $c$ пересекаются или скрещиваются (параллельны быть не могут).

Три прямые через одну точку не обязательно лежат в одной плоскости (как три ребра куба из вершины). А если прямая $c$ пересекает пересекающиеся прямые $a$ и $b$ в двух разных точках, то все три лежат в одной плоскости: две точки $c$ лежат в плоскости $a$ и $b$ , значит, по А2 и вся $c$ .

Угол между пересекающимися прямыми — меньший из образованных углов, он от $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$ . Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными им.

Возьмём ребро $A B$ куба (всего рёбер 12). Параллельны ему $D C$ , $A_{1} B_{1}$ , $D_{1} C_{1}$ — 3 ребра. Пересекают его (имеют общую вершину) $A D$ , $A A_{1}$ , $BC$ , $B B_{1}$ — 4 ребра. Остальные $12 - 1 - 3 - 4 = 4$ ребра скрещиваются с $A B$ . У тетраэдра 6 рёбер, и скрещиваются только противоположные: 3 пары ( $A B$ и $C D$ , $A C$ и $B D$ , $A D$ и $BC$ ).

Тема 02 · Геометрия, углублённый уровень

Перпендикулярность и расстояния в пространстве

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Расстояние — всегда длина перпендикуляра, самый короткий путь. Фонарный столб стоит перпендикулярно земле, и его высота — расстояние от лампы до земли. Задача — найти, где этот перпендикуляр, и уложить его в прямоугольный треугольник.

S A ⊥ α

A H ⊥ BC

⇒

S H ⊥ BC

, и

S H

— расстояние от

S

до

BC

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции тогда и только тогда, когда она перпендикулярна самой наклонной.

S H = S A^{2} + A H^{2} A H = \frac{2 S _{A BC}}{BC}

S A

— перпендикуляр к плоскости,

A H

— высота треугольника основания

$A BC D$ — прямоугольник, $S A ⊥ (A BC D)$ , $A D = 9$ , $S A = 9$ : $A D ⊥ C D$ ⇒ $S D ⊥ C D$ , расстояние $S D = 81 + 81 = 92$ .
$A B = 6$ , $A C = BC = 5$ , $S A = 2$ : $S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ , $A H = \frac{24}{5} = 4, 8$ , $S H = 4 + 23, 04 = 5, 2$ .

Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Если точка и прямая лежат в одном треугольнике, расстояние — его высота: $h = \frac{2 S}{сторона}$ ; в прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе $h = \frac{ab}{c}$ .

Правильная четырёхугольная пирамида, $a = 42$ , $l = 35$ ; расстояние от $B$ до $S A$ . Апофема $3 5^{2} - 2 1^{2} = 28$ , $S_{S A B} = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 28 = 588$ , расстояние $= \frac{2 \cdot 588}{35} = 33, 6$ .

До плоскости: через точку проводим плоскость, перпендикулярную данной, и опускаем высоту на линию их пересечения.

\frac{1}{ρ ^{2}} = \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}} OP = \frac{h r}{m}

от вершины

C

прямоугольного параллелепипеда до плоскости

B D C_{1}

через соседние вершины; от центра основания правильной пирамиды до боковой грани (

m

— апофема)

$32$ , $40$ , $30$ : $\frac{1}{ρ ^{2}} = \frac{1}{1024} + \frac{1}{1600} + \frac{1}{900}$ , $ρ = 19, 2$ .
Правильная треугольная, $a = 543$ , $h = 36$ : $r = \frac{a 3}{6} = 27$ , $m = 3 6^{2} + 2 7^{2} = 45$ , $OP = \frac{36 \cdot 27}{45} = 21, 6$ .

Если прямая параллельна плоскости, все её точки на одном расстоянии от плоскости — можно выбрать самую удобную точку.

Скрещивающиеся прямые

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра.

В параллельных плоскостяхрасстояние между плоскостями

Плоскость через $a$ , $∥ b$ расстояние от любой точки

b

до этой плоскости

$a ⊥ α$ , $b \subset α$ перпендикуляр из точки пересечения

a

α

на

b

$B_{1} D_{1}$ и $A C$ лежат в параллельных гранях: расстояние $= A A_{1}$ . $2 9^{2} = 2 1^{2} + 1 2^{2} + A A_{1}^{2}$ , $A A_{1} = 16$ .
$B B_{1}$ и $A_{1} D$ : грань $A A_{1} D_{1} D$ содержит $A_{1} D$ и параллельна $B B_{1}$ , расстояние $= A B$ . $5 7^{2} = 2 8^{2} + 4 4^{2} + A B^{2}$ , $A B = 23$ .

Точка, равноудалённая от вершин или сторон

От вершинпроекция — центр описанной окружности:

L^{2} = d^{2} + R^{2}

От сторонпроекция — центр вписанной окружности:

ρ^{2} = d^{2} + r^{2}

Здесь $d$ — расстояние до плоскости. Формулы: $R = \frac{ab c}{4 S}$ , $r = \frac{S}{p}$ ; в прямоугольном треугольнике $R = \frac{c}{2}$ , $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

$A B = A C = 10$ , $BC = 12$ , $L = 16, 25$ : $S = 48$ , $R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = 6, 25$ , $d = 16, 2 5^{2} - 6, 2 5^{2} = 15$ .
Катеты 18 и 24, $L = 39$ : $c = 30$ , $R = 15$ , $d = 3 9^{2} - 1 5^{2} = 36$ .

Наклонная длиннее перпендикуляра. Если ответ «расстояние» получился больше наклонной — ошибка в построении.

Ещё приёмы

Расстояние от $A_{1}$ до прямой $B D$ ( $A B = 10$ , $A D = 5$ , $A A_{1} = 4$ ). В основании $A H ⊥ B D$ : $A H = \frac{A B \cdot A D}{B D} = \frac{50}{125} = 25$ . По теореме о трёх перпендикулярах $A_{1} H ⊥ B D$ : $A_{1} H = 16 + 20 = 6$ .

Правильная четырёхугольная пирамида, $A C = 12$ , $SO = 8$ ; расстояние между $S A$ и $B D$ . Диагональ $B D ⊥ A C$ и $B D ⊥ SO$ , значит $B D ⊥ (S A C)$ и пересекает её в $O$ . Искомое — перпендикуляр из $O$ на $S A$ в треугольнике $SO A$ : $\frac{O A \cdot SO}{S A} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8$ . Так же $A A_{1}$ и $B D$ : $A A_{1} ⊥ (A BC D)$ , расстояние — высота $△ A B D$ из $A$ .

Точку можно заменить любой точкой прямой, параллельной плоскости. $A D ∥ (SBC)$ , поэтому расстояние от $A$ до $(SBC)$ равно расстоянию от середины $K$ ребра $A D$ ; а оно вдвое больше расстояния от $O$ (середины $K M$ , где $M$ — середина $BC$ ). Точка $M$ на $A A_{1}$ и плоскость $B B_{1} D_{1} D$ : $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , расстояние равно высоте $△ A B D$ из $A$ , $\frac{30 \cdot 40}{50} = 24$ .

Тема 2 · Геометрия

Параллельность прямых и плоскостей

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Пол и потолок комнаты — параллельные плоскости: они нигде не встречаются. Стена режет их по двум параллельным линиям (плинтус внизу и карниз вверху). Почти вся тема — про то, как из параллельности одних объектов следует параллельность других.

α ∥ β

, плоскость

γ

пересекает их по прямым

a ∥ b

Признаки и свойства

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Признак: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Свойство: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна первой прямой.

Признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Свойства: третья плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым; отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.

Для параллельности плоскостей нужны две пересекающиеся прямые. Две параллельные прямые не годятся: плоскости могут пересекаться по прямой, параллельной им.

Параллельность в кубе

$A D_{1}$ и плоскость $B D D_{1} B_{1}$ : точка $D_{1}$ лежит в этой плоскости, а $A$ — нет, значит прямая пересекает плоскость (в точке $D_{1}$ ).
Сколько диагоналей граней параллельны плоскости $A B B_{1} A_{1}$ ? Только две диагонали противоположной грани $D C C_{1} D_{1}$ : $D C_{1}$ и $D_{1} C$ . Диагонали самой грани $A B B_{1} A_{1}$ лежат в ней, а остальные пересекают её.

Прямая, лежащая в плоскости, не считается параллельной ей: у них есть общие точки.

Параллельные отрезки и плоскость

Через концы отрезка $A B$ и его середину $M$ проведены параллельные прямые до плоскости $α$ . Получается трапеция $A A_{1} B_{1} B$ , и $M M_{1}$ — её средняя линия.

M M_{1} = \frac{A A _{1} + B B _{1}}{2}

M M_{1} = \frac{A A _{1} + B B _{1}}{2} M M_{1} = \frac{∣ A A _{1} - B B _{1} ∣}{2}

отрезок не пересекает плоскость; отрезок пересекает плоскость (концы по разные стороны)

Не пересекает, $A A_{1} = 15$ , $B B_{1} = 3$ : $M M_{1} = 9$ .
Пересекает, $A A_{1} = 26$ , $B B_{1} = 16$ : $M M_{1} = \frac{26 - 16}{2} = 5$ .

$A C : CB = m : n$ , отрезок не пересекает плоскость. Тогда $C C_{1} = \frac{n \cdot A A _{1} + m \cdot B B _{1}}{m + n}$ — значение меняется равномерно от $A A_{1}$ к $B B_{1}$ .

$A C : CB = 1 : 2$ , $A A_{1} = 2$ , $B B_{1} = 26$ : $C C_{1} = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 26}{3} = 10$ .
Проверка «по шагам»: от $A$ до $B$ прирост $24$ , точка $C$ прошла $\frac{1}{3}$ пути — $2 + 8 = 10$ .

Параллельные плоскости и сечение тетраэдра

Параллельные плоскости высекают на сторонах угла (или на прямых через общую точку) подобные треугольники: $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ .

$O$ между плоскостями, $O A_{1} : O A_{2} = 1 : 4$ , $A_{1} B_{1} = 15$ : треугольники $O A_{1} B_{1}$ и $O A_{2} B_{2}$ подобны, $A_{2} B_{2} = 60$ .
Угол $A SB$ , $S A_{1} = 11$ , $A_{1} A_{2} = 19$ , $A_{1} B_{1} = 11$ : $S A_{2} = 30$ , $A_{2} B_{2} = 11 \cdot \frac{30}{11} = 30$ .

Плоскость, параллельная грани $A BC$ тетраэдра, высекает треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ , подобный $A BC$ с коэффициентом $k = \frac{D A _{1}}{D A}$ . Периметр умножается на $k$ .

$D A_{1} : A_{1} A = 1 : 3$ : $k = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$ , периметр $16 \cdot \frac{1}{4} = 4$ .
$D A_{1} : A_{1} A = 3 : 2$ : $k = \frac{3}{5}$ , периметр $40 \cdot \frac{3}{5} = 24$ .

$k$ — это $D A_{1} : D A$ (часть к целому), а не $D A_{1} : A_{1} A$ .

Ещё факты о параллельности

Утверждение	Верно?
Плоскость, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую	да
Через одну из скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой (и притом одна)	да
Прямая, параллельная плоскости, параллельна каждой прямой этой плоскости	нет: с прямыми плоскости она параллельна или скрещивается; параллельных ей прямых в плоскости бесконечно много
Две прямые, параллельные одной плоскости, параллельны	нет: могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться
Через точку вне плоскости проходит одна плоскость, параллельная данной; а прямых, параллельных плоскости, — бесконечно много	да
Через точку вне прямой можно провести бесконечно много плоскостей, параллельных ей	да
Две плоскости, параллельные третьей, параллельны; плоскости без общих точек параллельны	да
Если $α ∥ β$ : прямая в $α$ параллельна $β$ ; прямая, пересекающая $α$ , пересекает и $β$	да

У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны, а четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Пар параллельных граней: у куба 3, у правильной шестиугольной призмы 4 (три пары боковых и основания), у тетраэдра 0. Сечение — многоугольник, каждая сторона которого лежит в грани, поэтому сторон не больше, чем граней: у тетраэдра — не больше 4, у параллелепипеда — не больше 6.

Ребро параллельно плоскости, если оно не лежит в ней и параллельно какой-то прямой в ней. Плоскости $A BC D$ параллельны 4 ребра верхней грани. Плоскости $A C C_{1} A_{1}$ параллельны только $B B_{1}$ и $D D_{1}$ (они параллельны $A A_{1}$ и не лежат в плоскости). Плоскость $B C_{1} D$ пересекает все 12 рёбер или содержит их концы — параллельных рёбер нет.

Тема 03 · Геометрия, углублённый уровень

Углы между прямыми и плоскостями

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

В пространстве любой угол в итоге ищут на плоском чертеже: в каком-то треугольнике. Задача — правильно «перенести» угол в треугольник: прямую сдвинуть параллельно, наклонную спроецировать, двугранный угол заменить линейным.

Слева:

φ = ∠ B A H

A H

— проекция наклонной. Справа: линейный угол — лучи в гранях, перпендикулярные ребру

l

Угол между скрещивающимися прямыми

Это угол между пересекающимися прямыми, соответственно им параллельными. Одну прямую переносят параллельно так, чтобы она прошла через точку другой, и ищут угол в треугольнике. Всегда $0^{\circ} < φ \leq 9 0^{\circ}$ , поэтому косинус берут по модулю:

cos φ = \frac{∣ b ^{2} + c ^{2} - a ^{2} ∣}{2 b c}

теорема косинусов в треугольнике со сторонами

b

c

при искомом угле и

a

напротив

Переносы в параллелепипеде

B C_{1} ∥ A D_{1}

A_{1} C_{1} ∥ A C

BC ∥ A D

Тетраэдрсредние линии граней параллельны рёбрам

$A B = 6$ , $A D = A A_{1} = 8$ ; угол между $A B_{1}$ и $A_{1} C_{1}$ . $A_{1} C_{1} ∥ A C$ — смотрим $△ A B_{1} C$ : $A B_{1} = A C = 10$ , $B_{1} C = 82$ . $cos φ = \frac{100 + 100 - 128}{200} = 0, 36$ .
Правильная пирамида, $a = 21$ , $l = 35$ ; угол между $S A$ и $BC$ . $BC ∥ A D$ , в равнобедренном $△ S A D$ : $cos φ = \frac{a /2}{l} = \frac{10 , 5}{35} = 0, 3$ .

Угол между прямой и плоскостью

Угол между наклонной и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

sin φ = \frac{B H}{A B} cos φ = \frac{A H}{A B}

B H

— перпендикуляр к плоскости,

A H

— проекция,

A B

— наклонная

$A B = 9$ , $A D = 8$ , $A A_{1} = 12$ , угол $A C_{1}$ с плоскостью $A D D_{1}$ : перпендикуляр из $C_{1}$ на эту грань — $C_{1} D_{1} = 9$ , $A C_{1} = 81 + 64 + 144 = 17$ , $sin φ = \frac{9}{17}$ .
Правильная четырёхугольная пирамида, $a = 122$ , $h = 18$ : ребро проецируется на $R = \frac{a 2}{2} = 12$ , $tg φ = \frac{18}{12} = 1, 5$ .

Двугранный угол и площадь проекции

Двугранный угол измеряется линейным: из одной точки ребра в гранях проводят перпендикуляры к ребру. Строить удобно по теореме о трёх перпендикулярах: если $SO ⊥$ плоскости и $O H ⊥ BC$ , то $S H ⊥ BC$ и $∠ S H O$ — линейный угол.

Правильная пирамида

tg φ = \frac{h}{r}

r

— радиус вписанной окружности основания

$S A ⊥ (A BC)$

tg φ = \frac{S A}{A H}

A H ⊥ BC

Шестиугольная пирамида, $a = 83$ , $h = 24$ : $r = \frac{a 3}{2} = 12$ , $tg φ = 2$ .
$S A ⊥ (A BC)$ , $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ , $A B = 55$ , $BC = 44$ , $S A = 44$ : $A C = 33$ ; $BC ⊥ A C$ ⇒ $BC ⊥ SC$ , угол $SC A$ . $SC = 55$ , $cos φ = \frac{33}{55} = 0, 6$ .

S_{пр} = S \cdot cos φ

площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость;

φ

— угол между плоскостями

Треугольник $10, 13, 13$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ , при $φ = 6 0^{\circ}$ проекция $30$ .
Грани пирамиды наклонены под $6 0^{\circ}$ , основание — катеты 10 и 24: основание — проекция боковой поверхности, $S_{бок} = \frac{S _{осн}}{c o s φ} = \frac{120}{0 , 5} = 240$ .

Точка внутри двугранного угла

Точка грани на расстоянии $d$ от ребрадо другой грани

d sin φ

; её проекция — на расстоянии

d ∣ cos φ ∣

от ребра

Равноудалённая от гранейлежит в биссекторной плоскости: до грани

= MO sin \frac{φ}{2}

Внутри прямого угладо ребра

p^{2} + q^{2}

p

q

— расстояния до граней

Отрезок между гранями прямого угла

A B^{2} = A A_{1}^{2} + A_{1} B_{1}^{2} + B B_{1}^{2}

Угол $12 0^{\circ}$ , $M K = 26$ : проекция $M_{1}$ на $α$ от ребра на $26 \cdot ∣ cos 12 0^{\circ} ∣ = 13$ .
Угол $12 0^{\circ}$ , $M$ равноудалена от граней, $MO = 563$ : до грани $563 \cdot sin 6 0^{\circ} = 84$ .

Угол между прямыми не бывает тупым. Если по теореме косинусов вышел отрицательный косинус, ответ — его модуль.

Ещё типы задач

$M$ и $N$ — середины $A D$ и $BC$ , $A B = 6$ , $C D = 2$ , $MN = 13$ . Угол между $A B$ и $C D$ .

Возьмём середину $P$ ребра $A C$ . Средние линии: $PN ∥ A B$ , $PN = 3$ ; $PM ∥ C D$ , $PM = 1$ .
В $△ PMN$ : $13 = 9 + 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot cos ∠ P$ , $cos ∠ P = - \frac{1}{2}$ , $∠ P = 12 0^{\circ}$ .
Угол между прямыми — острый: $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .

$A B = 42$ образует с плоскостью $4 5^{\circ}$ , $A C$ — $3 0^{\circ}$ . Общий перпендикуляр $A H = A B sin 4 5^{\circ} = 4$ , тогда $A C = \frac{A H}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 8$ , а проекции $H B = A H ctg 4 5^{\circ}$ , $H C = A H ctg 3 0^{\circ}$ . Если проекции $H B ⊥ H C$ , то $B C^{2} = H B^{2} + H C^{2}$ .

A B^{2} = A A_{1}^{2} + B B_{1}^{2} - 2 A A_{1} \cdot B B_{1} cos φ + A_{1} B_{1}^{2}

отрезок с концами на гранях двугранного угла

φ

;

A A_{1}

B B_{1}

— перпендикуляры к ребру,

A_{1} B_{1}

— отрезок ребра

Пример: $A A_{1} = 9$ , $B B_{1} = 6$ , $A_{1} B_{1} = 5$ , $A B = 222$ : $88 = 81 + 36 + 25 - 108 cos φ$ , $cos φ = \frac{1}{2}$ , $φ = 6 0^{\circ}$ . При $φ = 9 0^{\circ}$ формула превращается в $A B^{2} = A A_{1}^{2} + A_{1} B_{1}^{2} + B B_{1}^{2}$ .

Тема 3 · Геометрия

Перпендикулярность прямой и плоскости

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Флагшток стоит перпендикулярно земле, если он перпендикулярен любой линии на земле, проходящей через его основание. Проверять «любую» не нужно: достаточно двух пересекающихся направлений — например, взглянуть на шток спереди и сбоку.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.
Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Перпендикуляр, наклонная, проекция

A H

— перпендикуляр,

A B

A C

— наклонные,

H B

H C

— их проекции

Перпендикуляр, наклонная и её проекция образуют прямоугольный треугольник с прямым углом при $H$ :

A B^{2} = A H^{2} + H B^{2}

наклонная² = перпендикуляр² + проекция²;

A H

— расстояние от точки до плоскости

$A B = 40$ , $H B = 24$ : $A H = 1600 - 576 = 32$ .
Расстояние 33, наклонная 55: проекция $5 5^{2} - 3 3^{2} = 44$ .

Перпендикуляр короче любой наклонной. Из двух наклонных больше та, у которой больше проекция; равные наклонные имеют равные проекции.

Две наклонные из одной точки

Общий катет обеих — перпендикуляр $A H$ . Находим его из одной наклонной, затем — проекцию второй.

$A B = 15$ , проекция 12: $A H = 9$ . $A C = 41$ : проекция $1681 - 81 = 40$ .
$A B = 39$ , проекция 36: $A H = 15$ . $A C = 25$ : проекция $625 - 225 = 20$ .

Отрезок и плоскость

Концы отрезка $A B$ удалены от плоскости на $a$ и $b$ , проекция отрезка равна $p$ . Достраиваем прямоугольный треугольник: один катет $p$ , другой — разность или сумма расстояний.

A B^{2} = p^{2} + (a - b)^{2} A B^{2} = p^{2} + (a + b)^{2}

отрезок не пересекает плоскость; отрезок пересекает плоскость (концы по разные стороны)

Не пересекает, 29 и 8, $p = 28$ : $A B = 784 + 441 = 35$ .
Пересекает, 26 и 1, $p = 36$ : $A B = 1296 + 729 = 45$ .

Если $M A ⊥$ плоскости фигуры, то $M A$ перпендикулярен любой прямой этой плоскости через $A$ :

Прямоугольник, $A B = 8$ , $A D = 14$ , $M A = 8$ : $A C^{2} = 64 + 196 = 260$ , $MC = 260 + 64 = 18$ .
$M$ на расстоянии 26 от вершин прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16: проекция $M$ — центр описанной окружности, $R = \frac{20}{2} = 10$ , расстояние $676 - 100 = 24$ .

Угол наклонной с плоскостью

Это угол $φ$ между наклонной и её проекцией.

A H = A B sin φ H B = A B cos φ

A H

— перпендикуляр (расстояние до плоскости),

H B

— проекция,

A B

— наклонная

Расстояние 25, угол $3 0^{\circ}$ : $A B = \frac{25}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 50$ .
Угол $4 5^{\circ}$ , проекция 8: треугольник равнобедренный, расстояние $= 8$ .

Перпендикулярности одной прямой плоскости мало для признака — прямая может лежать «наискосок». Нужны две пересекающиеся прямые.

Теоремы о перпендикулярности

Утверждение	Верно?
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны	да
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой	да
Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны	да
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой	да
Через точку проходит одна прямая, перпендикулярная данной плоскости, и одна плоскость, перпендикулярная данной прямой	да
Через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую	нет: в пространстве — бесконечно много, все они лежат в одной плоскости, перпендикулярной прямой

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра (а не наклонной). Расстояние между параллельными плоскостями — расстояние от любой точки одной плоскости до другой. Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией; он от $0^{\circ}$ (прямая параллельна плоскости или лежит в ней) до $9 0^{\circ}$ (прямая перпендикулярна). Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно основанию.

Тема 04 · Геометрия, углублённый уровень

Призма и параллелепипед

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Призма — «вытянутый» многоугольник: основание сдвинули параллельно и соединили вершины рёбрами. Все задачи о прямой призме решаются через теорему Пифагора: боковое ребро перпендикулярно основанию, и любая «косая» диагональ — гипотенуза.

Треугольник

B D B_{1}

прямоугольный:

B_{1} D^{2} = B D^{2} + B B_{1}^{2}

Прямоугольный параллелепипед

d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

d

— диагональ параллелепипеда,

a

b

c

— его измерения

Если известны диагонали трёх граней $p$ , $q$ , $r$ (это $a^{2} + b^{2}$ , $a^{2} + c^{2}$ , $b^{2} + c^{2}$ ), то

p^{2} + q^{2} + r^{2} = 2 d^{2}

каждое измерение входит в сумму дважды

Поверхность

S_{полн} = 2 (ab + b c + c a)

S_{бок} = 2 c (a + b)

Рёбрасумма

4 (a + b + c)

;

(a + b + c)^{2} = d^{2} + S_{полн}

$A C = 573$ , $A B_{1} = 389$ , $B_{1} C = 834$ : $1825 + 801 + 2176 = 4802 = 2 d^{2}$ , $d = 49$ .
$A C^{2} = 116$ , $A B_{1}^{2} = 269$ , $B_{1} C^{2} = 185$ : $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 570 : 2 = 285$ . $A D^{2} = 285 - A B_{1}^{2} = 16$ , $A D = 4$ .

$A B : A D : A A_{1} = 14 : 18 : 21$ , $B_{1} D = 93$ . Пусть рёбра $14 k$ , $18 k$ , $21 k$ : $d = k 196 + 324 + 441 = 31 k = 93$ , $k = 3$ . $S_{полн} = 2 k^{2} (14 \cdot 18 + 18 \cdot 21 + 14 \cdot 21) = 18 \cdot 924 = 16632$ .

Правильная призма

Основание — правильный многоугольник, призма прямая. Диагональ призмы $D$ , диагональ основания $d_{осн}$ и боковое ребро $h$ образуют прямоугольный треугольник:

D^{2} = d_{осн}^{2} + h^{2} S_{бок} = P_{осн} \cdot h

P_{осн}

— периметр основания

Квадрат $a$ диагональ

a 2

Шестиугольник $a$ большая диагональ

2 a

, меньшая

a 3

$a = 7$ , $B_{1} D = 386$ : $774 = 98 + h^{2}$ , $h = 26$ . $S_{полн} = 2 \cdot 49 + 4 \cdot 7 \cdot 26 = 826$ .
$B_{1} D^{2} = 771 = 2 a^{2} + h^{2}$ , $A B_{1}^{2} = 650 = a^{2} + h^{2}$ : вычитаем, $a^{2} = 121$ , $h^{2} = 529$ , $h = 23$ .

Наклонная призма: перпендикулярное сечение

Перпендикулярное сечение — сечение плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам. Его стороны — расстояния между боковыми рёбрами, его углы — линейные углы двугранных углов при боковых рёбрах.

S_{бок} = P_{⊥} \cdot l

P_{⊥}

— периметр перпендикулярного сечения,

l

— боковое ребро

Рёбра под углом $α$ высота

h = l sin α

Площадь сечения

S_{⊥} = S_{осн} sin α

Расстояния 8 и 6, двугранный угол прямой, $l = 10$ : третья сторона сечения $64 + 36 = 10$ , $P_{⊥} = 24$ , $S_{бок} = 240$ .
Расстояния 30 и 18, угол $12 0^{\circ}$ , $l = 71$ : третья сторона по теореме косинусов $900 + 324 + 540 = 42$ , $P_{⊥} = 90$ , $S_{бок} = 6390$ .

Боковые грани наклонной призмы — параллелограммы, а не прямоугольники: $S_{бок} \neq = P_{осн} \cdot l$ .

Основание наклонного параллелепипеда — прямоугольник $96 \times 72$ , $A_{1}$ проектируется в точку $O$ пересечения диагоналей, $A A_{1} = 68$ . Диагональ $A C = 120$ , $A O = 60$ , высота $A_{1} O = 6 8^{2} - 6 0^{2} = 32$ . Сечение $A A_{1} C_{1} C$ — параллелограмм с основанием $A C$ и высотой $A_{1} O$ : $S = 120 \cdot 32 = 3840$ .

Сечения; ромб и трапеция в основании

Диагональное сечениепрямоугольник

d_{осн} \times h

Через $A B$ и $C_{1} D_{1}$ прямоугольник

A B \times A D_{1}

Треугольник $A B C_{1}$

C H ⊥ A B

⇒

C_{1} H ⊥ A B

(теорема о трёх перпендикулярах),

S = \frac{1}{2} A B \cdot C_{1} H

$A B = 52$ , $A D = 39$ , $B_{1} D = 97$ : $B D = 65$ , $h = 9 7^{2} - 6 5^{2} = 72$ , $S_{B B_{1} D_{1} D} = 65 \cdot 72 = 4680$ .
$A B = 28$ , $A D = 30$ , $A A_{1} = 72$ : $A D_{1} = 900 + 5184 = 78$ , $S = 28 \cdot 78 = 2184$ .

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2} D_{1}^{2} + D_{2}^{2} = 4 a^{2} + 2 h^{2}

ромб со стороной

a

и диагоналями

d_{1}

d_{2}

; диагонали призмы

D_{1}

D_{2}

над ним

$A C_{1} = 242$ , $B D_{1} = 26$ , $h = 24$ : $d_{1}^{2} = 1152 - 576 = 576$ , $d_{2}^{2} = 676 - 576 = 100$ ; $a = 144 + 25 = 13$ , $S_{бок} = 4 \cdot 13 \cdot 24 = 1248$ .
Ромб со стороной 10 и углом $6 0^{\circ}$ : диагонали $a$ и $a 3$ , $A C = 103$ , $A C_{1} = 300 + 100 = 20$ .

В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна $\frac{a + b}{2}$ — полусумме оснований.

Плоскость $A DK$ , $K$ на $B B_{1}$ : так как $A D ∥ BC$ , сечение — прямоугольник $A D C K^{'}$ со сторонами $A D$ и $A K = A B^{2} + B K^{2}$ . При $A B = 60$ , $B K = 25$ , $A D = 23$ : $A K = 65$ , $S = 1495$ .

Плоскость $B DK$ , $K$ на $C C_{1}$ — треугольник. Высота $C H$ к $B D$ в основании, по теореме о трёх перпендикулярах $KH ⊥ B D$ : $S = \frac{1}{2} B D \cdot KH$ . Удобная проверка: для «угла» с тремя прямыми углами при $C$ $S_{B DK}^{2} = S_{BC D}^{2} + S_{BC K}^{2} + S_{D C K}^{2}$ . При $C D = 9$ , $BC = 6$ , $C K = 7$ : $2 7^{2} + 2 1^{2} + 31, 5^{2} = 2162, 25$ , $S = 46, 5$ .

Тема 4 · Геометрия

Перпендикулярность плоскостей и теорема о трёх перпендикулярах

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Стена и пол — перпендикулярные плоскости. Дверь крепится на петлях к вертикальному косяку, а косяк перпендикулярен полу, поэтому дверь в любом положении остаётся перпендикулярной полу. Это и есть признак перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен $9 0^{\circ}$ .
Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Свойство: прямая, лежащая в одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

Отрезок между перпендикулярными плоскостями

A C ⊥ C D

α

B D ⊥ C D

β

; треугольники

A C D

A D B

прямоугольные

$B D$ лежит в $β$ и $B D ⊥ C D$ ⇒ $B D ⊥ α$ ⇒ $B D ⊥ A D$ . Дважды применяем теорему Пифагора:

A B^{2} = A C^{2} + C D^{2} + B D^{2}

A D^{2} = A C^{2} + C D^{2}

, затем

A B^{2} = A D^{2} + B D^{2}

$A C = 11$ , $B D = 10$ , $C D = 2$ : $A B^{2} = 121 + 4 + 100 = 225$ , $A B = 15$ .
$A B = 14$ , $A C = 4$ , $B D = 12$ : $C D^{2} = 196 - 16 - 144 = 36$ , $C D = 6$ .

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, проведённая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

Как применять: $M A ⊥$ плоскости, нужно расстояние от $M$ до прямой $BC$ этой плоскости. Опускаем $A H ⊥ BC$ — тогда и $M H ⊥ BC$ , а $M H = M A^{2} + A H^{2}$ .

Прямоугольник $A BC D$ , $M A = 28$ , $A B = 45$ : $A B ⊥ BC$ ⇒ $MB ⊥ BC$ , расстояние $MB = 784 + 2025 = 53$ .
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $M A = 15$ : $A C ⊥ BC$ ⇒ $MC ⊥ BC$ , $MC = 225 + 64 = 17$ . Катет $BC = 27$ не нужен.

Расстояние до прямой — это не $MB$ «по умолчанию»: нужен перпендикуляр к прямой. В прямоугольнике $A BC D$ до прямой $BC$ это $MB$ , а до прямой $C D$ — уже $M D$ .

$A B = A C = 20$ , $BC = 24$ , $M A ⊥ (A BC)$ , $M A = 12$ . Расстояние от $M$ до $BC$ .

В равнобедренном треугольнике высота $A H$ к основанию — медиана: $B H = 12$ , $A H = 400 - 144 = 16$ .
По теореме о трёх перпендикулярах $M H ⊥ BC$ : $M H = 144 + 256 = 20$ .

Так же в квадрате $A BC D$ при $M A ⊥ (A BC D)$ : $A B ⊥ BC$ , значит $MB ⊥ BC$ — угол между $MB$ и $BC$ равен $9 0^{\circ}$ при любой длине $M A$ .

Перпендикулярные плоскости в кубе

Плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой. В кубе такие прямые — рёбра: каждое ребро перпендикулярно двум граням.

Сколько граней перпендикулярны плоскости $A B C_{1} D_{1}$ ? Она содержит ребро $A B$ , а $A B ⊥ (A A_{1} D_{1} D)$ и $A B ⊥ (B B_{1} C_{1} C)$ — это 2 грани.
$A B_{1} D_{1}$ и $BC C_{1} B_{1}$ : в плоскости $A B_{1} D_{1}$ нет прямой, перпендикулярной грани $BC C_{1} B_{1}$ (то есть параллельной $A B$ ), — угол между ними не прямой, нет.

«Три перпендикуляра»: 1) $M A$ к плоскости, 2) $A H$ к прямой, 3) $M H$ к прямой. Второй и третий перпендикулярны одной и той же прямой одновременно.

Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому диагональ грани перпендикулярна диагональному сечению, проходящему через другую диагональ этой грани: $A_{1} D ⊥ A D_{1}$ и $A_{1} D ⊥ A B$ , значит $A_{1} D ⊥ (A B C_{1} D_{1})$ . Плоскость $A_{1} B D$ содержит $A_{1} D$ — она перпендикулярна $A B C_{1} D_{1}$ . А $BC D_{1} A_{1} ⊥ A B B_{1} A_{1}$ , потому что содержит ребро $BC ⊥ (A B B_{1} A_{1})$ .

Факты о перпендикулярных плоскостях

Утверждение	Верно?
Две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны	нет: они могут пересекаться (две соседние стены перпендикулярны полу)
Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то линия их пересечения перпендикулярна третьей	да (угол комнаты — вертикален)
Плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна любой плоскости, проходящей через эту прямую	да
Если $β ⊥ α$ , а прямая $a ⊥ α$ имеет общую точку с $β$ , то $a$ лежит в $β$	да
Через прямую, не перпендикулярную плоскости, проходит одна плоскость, перпендикулярная данной	да
Угол между плоскостями — наибольший из двугранных углов	нет: берут меньший, он не больше $9 0^{\circ}$

Каждая грань куба (прямоугольного параллелепипеда) перпендикулярна четырём соседним граням и параллельна противоположной. Пар перпендикулярных граней: $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ . Диагональные сечения куба (например, $B D D_{1} B_{1}$ ) содержат боковое ребро, поэтому перпендикулярны основанию. Проекция наклонной — отрезок от основания перпендикуляра до точки, где наклонная пересекает плоскость.

Тема 05 · Геометрия, углублённый уровень

Пирамида

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Почти любая задача о пирамиде сводится к прямоугольным треугольникам внутри неё. Главное — понять, куда падает высота (в какую точку основания проецируется вершина). Это определяется условием: равные рёбра, равные наклоны граней или ребро, перпендикулярное основанию.

Треугольник

SOM

: высота

h

, апофема

m

, радиус вписанной окружности основания

r = OM

Правильная пирамида

Основание — правильный многоугольник, высота падает в его центр $O$ . Апофема $m = SM$ — высота боковой грани; по теореме о трёх перпендикулярах $OM ⊥ A B$ .

m^{2} = h^{2} + r^{2} l^{2} = h^{2} + R^{2} l^{2} = m^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

треугольники

SOM

SOB

SMB

;

l

— боковое ребро,

a

— сторона основания,

r

R

— радиусы вписанной и описанной окружностей основания

Основание	$r$	$R$
квадрат	$\frac{a}{2}$	$\frac{a 2}{2}$
правильный треугольник	$\frac{a 3}{6}$	$\frac{a 3}{3} = 2 r$
правильный шестиугольник	$\frac{a 3}{2}$	$a$

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot m

P_{осн}

— периметр основания,

m

— апофема

$a = 30$ , $l = 39$ : $m = 3 9^{2} - 1 5^{2} = 36$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 180 \cdot 36 = 3240$ .
$a = 14$ , $h = 7$ : $r = 73$ , $m = 49 + 147 = 14$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 84 \cdot 14 = 588$ .

Куда падает высота

Равные боковые рёбра(или все рёбра наклонены под одним углом) — вершина проецируется в центр описанной окружности основания: равные наклонные имеют равные проекции.

Грани одинаково наклоненык основанию — вершина проецируется в центр вписанной окружности (если он внутри); высоты всех боковых граней равны.

Основание	центр описанной	вписанная
прямоугольный треугольник	середина гипотенузы, $R = \frac{c}{2}$	$r = \frac{a + b - c}{2}$
прямоугольник	точка пересечения диагоналей	—
ромб	—	$r$ — половина высоты ромба
любой треугольник	$R = \frac{ab c}{4 S}$	$r = \frac{S}{p}$

S_{бок} = p \cdot m S_{осн} = S_{бок} cos φ

при равнонаклонённых гранях:

p

— полупериметр основания,

m = h^{2} + r^{2}

— высота боковой грани,

φ

— угол наклона граней

Рёбра под $4 5^{\circ}$ , основание — прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12: гипотенуза 20, $R = 10$ , $h = R tg 4 5^{\circ} = 10$ .
Рёбра под $6 0^{\circ}$ , прямоугольник $27 \times 36$ : диагональ 45, $R = 22, 5$ , ребро $l = \frac{R}{c o s 6 0 ^{\circ}} = 45$ .
Грани равнонаклонены, катеты 24 и 18, $h = 8$ : $c = 30$ , $r = 6$ , $m = 10$ , $p = 36$ , $S_{бок} = 360$ .
Катеты 20 и 15, $h = 12$ : $r = 5$ , $m = 13$ , $S_{бок} = 30 \cdot 13 = 390$ , $S_{полн} = 390 + 150 = 540$ .

Боковое ребро перпендикулярно основанию

Если $S A ⊥ (A BC)$ , грани, содержащие $S A$ , — прямоугольные треугольники с прямым углом при $A$ . Для грани без ребра $S A$ : если $X Y ⊥ A X$ , то по теореме о трёх перпендикулярах $X Y ⊥ SX$ .

$S A ⊥ (A BC)$ , $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ , $S A = 6$ , $A C = 5$ , $BC = 10$ . $BC ⊥ A C$ , значит $BC ⊥ SC$ и $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 61 \approx 39, 1$ . Сравним: $S_{S A C} = 15$ , $S_{S A B} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 125 \approx 33, 5$ . Наибольшая — $SBC$ .

Если основание — прямоугольник и $S A ⊥$ основанию, все четыре боковые грани — прямоугольные треугольники.

Две грани, содержащие $S A$ , прямоугольные всегда. Грань $SX Y$ без ребра $S A$ прямоугольная (с прямым углом при $X$ ), если в основании $A X ⊥ X Y$ . Треугольник с прямым углом $B$ : ещё $SBC$ — всего 3. С прямым углом $A$ или остроугольный: только 2. Прямоугольная трапеция с $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ : $S A B$ , $S A D$ и $SBC$ — 3. Прямоугольник: все 4.

Сечения пирамиды

Через вершину и высотуСечение

S K L

через середины

A B

C D

— треугольник с основанием

a

и высотой

h

Диагональное

S = \frac{1}{2} d h

d

— диагональ основания.

Через ребро $A B ∥ C D$ Плоскость режет грань

SC D

по прямой, параллельной

C D

; сечение — трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

Через середины рёберСтороны сечения — средние линии граней.

Правильная четырёхугольная, $a = 10$ , апофема 13: высота $h = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ , $S_{S K L} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ .
Правильная треугольная, $a = 193$ , $h = 29$ , сечение через $S A$ и середину $M$ ребра $BC$ : $A M = \frac{a 3}{2} = 28, 5$ , высота сечения — сама $SO$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 28, 5 \cdot 29 = 413, 25$ .

Апофема — высота боковой грани, а не высота пирамиды. Апофема всегда длиннее высоты: $m^{2} = h^{2} + r^{2}$ .

Тема 5 · Геометрия

Двугранный угол и угол между плоскостями

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Приоткрытая книга: две страницы — грани, корешок — ребро. Это двугранный угол. Чтобы измерить, насколько книга раскрыта, смотрят на неё «с торца»: проводят в каждой странице луч, перпендикулярный корешку, и меряют обычный угол между лучами.

Слева:

φ

— линейный угол. Справа:

M A ⊥ (A BC)

A B ⊥ BC

⇒

MB ⊥ BC

, угол между плоскостями

MBC

A BC

равен

∠ MB A

Линейный угол

Линейный угол двугранного угла — угол между двумя лучами, которые лежат в гранях, выходят из одной точки ребра и перпендикулярны ребру. Величина двугранного угла равна величине линейного угла и не зависит от выбора точки на ребре.

Острый

0^{\circ} < φ < 9 0^{\circ}

Прямой

φ = 9 0^{\circ}

Тупой

9 0^{\circ} < φ < 18 0^{\circ}

Плоскость, проходящая через ребро и делящая двугранный угол пополам, — биссекторная: угол $9 6^{\circ}$ делится на два по $4 8^{\circ}$ ; угол $16 0^{\circ}$ — тупой.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Угол между плоскостями — наименьший из них, от $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$ .

Точка на грани и расстояние

Точка $M$ на одной грани, $M K$ — расстояние до ребра, $M H$ — расстояние до плоскости другой грани. Треугольник $M HK$ прямоугольный, угол при $K$ равен $φ$ :

M H = M K \cdot sin φ

M K

— гипотенуза,

M H

— катет напротив угла

φ

$φ = 3 0^{\circ}$ , $M K = 30$ : $M H = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$ .
$M K = 24$ , $M H = 12$ : $sin φ = \frac{1}{2}$ , $φ = 3 0^{\circ}$ .

Угол $15 0^{\circ}$ , $M K = 24$ . Перпендикуляр $M H$ падает на продолжение другой грани, а в треугольнике $M HK$ угол при $K$ равен смежному: $18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ . $M H = 24 \cdot sin 3 0^{\circ} = 12$ . Наоборот, если $M H : M K = 1 : 2$ и угол тупой, то он равен $15 0^{\circ}$ .

Пирамида и угол между плоскостями

Двугранный угол при ребре основания правильной пирамиды — угол $SMO$ в треугольнике «высота $h$ — апофема $m$ — радиус $r$ вписанной окружности основания»:

sin φ = \frac{h}{m} cos φ = \frac{r}{m} tg φ = \frac{h}{r}

h

— высота пирамиды,

m

— апофема,

r

— расстояние от центра основания до стороны

$h = 2$ , $m = 4$ : $sin φ = \frac{1}{2}$ , $φ = 3 0^{\circ}$ .
Правильная четырёхугольная, $a = m = 16$ : $r = \frac{a}{2} = 8$ , $cos φ = \frac{8}{16}$ , $φ = 6 0^{\circ}$ .

Если $M A ⊥$ плоскости, линейный угол строят по теореме о трёх перпендикулярах: $A H ⊥ BC$ ⇒ $M H ⊥ BC$ , угол $M H A$ , и $M A = A H \cdot tg φ$ .

Квадрат со стороной 26, угол $4 5^{\circ}$ : $A H = A B = 26$ , $M A = 26 \cdot tg 4 5^{\circ} = 26$ .
$A B = A C = 35$ , $BC = 56$ : высота $A H = 3 5^{2} - 2 8^{2} = 21$ , $M A = 21$ .

$A B = A C = 17$ , $BC = 16$ , $M A ⊥ (A BC)$ , угол между $MBC$ и $A BC$ равен $6 0^{\circ}$ . Расстояние от $M$ до $BC$ .

$A H$ — высота и медиана: $A H = 1 7^{2} - 8^{2} = 15$ .
$M H$ — гипотенуза в $△ M A H$ : $M H = \frac{A H}{c o s 6 0 ^{\circ}} = 30$ . Так же в квадрате со стороной 22 при угле $6 0^{\circ}$ : $MB = \frac{22}{c o s 6 0 ^{\circ}} = 44$ .

Площадь проекции

S_{пр} = S \cdot cos φ

S

— площадь многоугольника,

S_{пр}

— площадь его ортогональной проекции,

φ

— угол между их плоскостями

$S = 62$ , $S_{пр} = 31$ : $cos φ = \frac{1}{2}$ , $φ = 6 0^{\circ}$ .
$S_{пр} = 7$ , $φ = 6 0^{\circ}$ : $S = \frac{7}{0 , 5} = 14$ .

Проекция никогда не больше самой фигуры: если $S_{пр} > S$ , перепутаны местами данные.

Линейный угол — «торцевой вид»: оба луча обязаны быть перпендикулярны ребру, иначе угол получится не тот.

Свойства двугранных углов

Утверждение	Верно?
Линейных углов у двугранного угла бесконечно много (в каждой точке ребра), и все они равны	да
Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру	да
Двугранный угол бывает больше $18 0^{\circ}$	нет: от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ ; угол между плоскостями — от $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$
Сумма двух смежных двугранных углов	$18 0^{\circ}$
Двугранный угол прямой, если его линейный угол равен $9 0^{\circ}$ ; перпендикулярные плоскости образуют угол $9 0^{\circ}$	да
Если ребро лежит в горизонтальной плоскости, грани обязательно вертикальны	нет

У прямой призмы боковые грани перпендикулярны основанию ( $9 0^{\circ}$ ). Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен углу основания: у правильной треугольной — $6 0^{\circ}$ . Двугранный угол при ребре основания пирамиды образован боковой гранью и основанием, его линейный угол строят через апофему. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны (у правильной — всегда), вершина проектируется в центр вписанной окружности основания.

Тема 6 · Геометрия

Призма

Потренироваться: задания по теме →

Объём куба Объём параллелепипеда

Простыми словами

Коробка из-под обуви, карандаш, брусок мыла — это призмы: снизу и сверху одинаковые «донышки», а между ними — прямые стенки. Чтобы узнать, сколько в такую коробку войдёт, нужно площадь донышка умножить на высоту.

Призма — многогранник, у которого два равных многоугольника (основания) лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы.

Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основанию, боковые грани — прямоугольники. Правильная призма — прямая, в основании правильный многоугольник.

Высота $h$ призмы — расстояние между основаниями. У прямой призмы она равна боковому ребру.

Объём и боковая поверхность

V = S_{осн} \cdot h

объём любой призмы

где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота. Если длины в сантиметрах, объём — в см³.

S_{бок} = P_{осн} \cdot h

боковая поверхность прямой призмы

где $P_{осн}$ — периметр основания. Почему так: боковые грани — прямоугольники высоты $h$ , их ширины в сумме дают периметр. Полная поверхность: $S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн}$ .

Площадь основания шестиугольной призмы $S = 26$ , высота $h = 17$ . Найдите объём.

Форма основания не важна — нужна только его площадь.
$V = 26 \cdot 17 = 442$ .

Основание прямой призмы — правильный шестиугольник со стороной $a = 15$ , высота $h = 7$ . Найдите $S_{бок}$ .

Периметр правильного шестиугольника: $P = 6 a = 90$ .
$S_{бок} = 90 \cdot 7 = 630$ .

В объём идёт площадь основания, в боковую поверхность — периметр. Для правильного $n$ -угольника периметр $P = n \cdot a$ .

Прямоугольный параллелепипед и его диагональ

Прямоугольный параллелепипед — прямая призма с прямоугольником в основании. Его рёбра $a$ , $b$ , $c$ (длина, ширина, высота) называют измерениями.

Сначала диагональ основания

A C

, потом диагональ

A C_{1}

d = a^{2} + b^{2} + c^{2}

диагональ прямоугольного параллелепипеда

Диагональ основания (теорема Пифагора): $A C^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
Треугольник $A C C_{1}$ прямоугольный: $A C_{1}^{2} = A C^{2} + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Ещё: $V = ab c$ , $S_{полн} = 2 (ab + b c + a c)$ .

Рёбра $2, 10, 9$ . Найдите диагональ.

$d = 4 + 100 + 81 = 185 \approx 13, 6$ .

Куб

Куб — прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами $a$ . Все 6 граней — квадраты.

Объём

V = a^{3}

Поверхность

S = 6 a^{2}

Диагональ

d = a^{2} + a^{2} + a^{2} = a 3

Ребро $a = 9$ : $V = 9^{3} = 729$ .
Ребро $a = 20$ : $d = 203 \approx 20 \cdot 1, 732 = 34, 64$ .

Диагональ куба — это не диагональ грани. У грани $a 2$ , у куба $a 3$ .

Число под корнем = сколько измерений «проходит» диагональ: грань — 2 ( $2$ ), куб — 3 ( $3$ ).

Тема 7 · Геометрия

Пирамида

Потренироваться: задания по теме →

Объём пирамиды

Простыми словами

Египетские пирамиды — образец: внизу многоугольник (основание), из каждой его стороны к одной точке (вершине) поднимается треугольник (боковая грань). Пирамида вмещает ровно треть того, что поместилось бы в призму с тем же основанием и высотой.

SO = h

— высота,

SM = m

— апофема,

OM = r

— расстояние от центра основания до стороны

Высота пирамиды $h$ — перпендикуляр из вершины на плоскость основания. Правильная пирамида: в основании правильный многоугольник, и высота падает в его центр. Апофема $m$ — высота боковой грани правильной пирамиды.

Объём

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

S_{осн}

— площадь основания,

h

— высота пирамиды

$S_{осн} = 105$ , $h = 23$ : $V = \frac{105 \cdot 23}{3} = 35 \cdot 23 = 805$ .
$S_{осн} = 114$ , $h = 30$ : $V = 114 \cdot 10 = 1140$ .

Делите на 3 то число, которое делится нацело, — так проще считать: $\frac{114 \cdot 30}{3} = 114 \cdot 10$ .

Боковая поверхность и апофема

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники с основанием $a$ и высотой $m$ . Их $n$ штук:

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot m

P_{осн} = n \cdot a

— периметр основания,

m

— апофема

Четырёхугольная, $a = 13$ , $m = 10$ : $P = 52$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 52 \cdot 10 = 260$ .
Шестиугольная, $a = 20$ , $m = 8$ : $P = 120$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 8 = 480$ .

Апофему находят из прямоугольного треугольника $SOM$ :

m = h^{2} + r^{2}

r = OM

— расстояние от центра основания до середины стороны (радиус вписанной окружности основания)

$h = 5$ , $r = 12$ : $m = 25 + 144 = 13$ .
$h = 17$ , $r = 6$ : $m = 289 + 36 = 325 \approx 18, 03$ .

Апофема — не боковое ребро и не высота пирамиды. В боковой поверхности — апофема, в объёме — высота.

Полная поверхность: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$ .

Тема 8 · Геометрия

Правильные многогранники

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Игральные кости бывают не только кубическими: у настольных игр есть кости с 4, 8, 12 и 20 гранями. Все они — правильные многогранники: все грани — одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Таких тел ровно пять.

Тетраэдр: 4 треугольные грани. Октаэдр: 8 треугольных граней, «две пирамиды, сложенные основаниями»

Пять правильных многогранников

Многогранник	В	Р	Г	Грани
Тетраэдр	4	6	4	треугольники
Куб (гексаэдр)	8	12	6	квадраты
Октаэдр	6	12	8	треугольники
Додекаэдр	20	30	12	пятиугольники
Икосаэдр	12	30	20	треугольники

В — вершины, Р — рёбра, Г — грани. Название говорит о числе граней: «тетра» — 4, «гекса» — 6, «окта» — 8, «додека» — 12, «икоса» — 20.

В - Р + Г = 2

формула Эйлера — верна для любого выпуклого многогранника

Тетраэдр: $4 - 6 + 4 = 2$ . Куб: $8 - 12 + 6 = 2$ . Додекаэдр: $20 - 30 + 12 = 2$ .

Рёбер у додекаэдра и икосаэдра одинаково — 30, у куба и октаэдра — 12. Пары «меняются» числами вершин и граней.

Многогранник	Граней в вершине	Сумма плоских углов при вершине
Тетраэдр	3	$3 \cdot 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$
Куб	3	$3 \cdot 9 0^{\circ} = 27 0^{\circ}$
Октаэдр	4	$4 \cdot 6 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$
Додекаэдр	3	$3 \cdot 10 8^{\circ} = 32 4^{\circ}$
Икосаэдр	5	$5 \cdot 6 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше $36 0^{\circ}$ — поэтому правильных многогранников только пять. По формуле Эйлера находят недостающее: $Г = 2 - В + Р$ , $В = 2 + Р - Г$ , $Р = В + Г - 2$ .

Рёбра и площадь поверхности

Сумма длин всех рёбер $= Р \cdot a$ , где $a$ — ребро. Додекаэдр: сумма 300 — ребро $300 : 30 = 10$ ; ребро 17 — сумма $17 \cdot 30 = 510$ .

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $\frac{3}{4} a^{2}$ , поэтому:

S_{тетр} = 4 \cdot \frac{3}{4} a^{2} = 3 a^{2} S_{окт} = 8 \cdot \frac{3}{4} a^{2} = 23 a^{2} S_{куб} = 6 a^{2}

a

— ребро многогранника

Октаэдр, $a = 14$ : $S = 23 \cdot 196 = 3923$ , $k = 392$ .
Тетраэдр, $a = 9$ : $S = 813$ , $k = 81$ .

Икосаэдр — 20 правильных треугольников: $S = 20 \cdot \frac{3}{4} a^{2} = 53 a^{2}$ ; при $a = 4$ получаем $803$ , $k = 80$ .

Высота и объём

Высота правильного тетраэдра падает в центр основания; расстояние от центра до вершины основания $R = \frac{a 3}{3}$ , поэтому $h^{2} = a^{2} - R^{2}$ :

h^{2} = \frac{2 a ^{2}}{3} V_{тетр} = \frac{a ^{3} 2}{12} V_{окт} = \frac{a ^{3} 2}{3} V_{куб} = a^{3}

h

— высота тетраэдра,

a

— ребро; октаэдр — две правильные четырёхугольные пирамиды с ребром

a

Тетраэдр, $a = 18$ : $h^{2} = \frac{2 \cdot 324}{3} = 216$ ; при $a = 3$ : $h^{2} = 6$ .
Тетраэдр, $a = 12$ : $V = \frac{1728 2}{12} = 1442 \approx 203, 65$ ; при $a = 5$ : $\frac{125 2}{12} \approx 14, 73$ .
Октаэдр, $a = 6$ : $V = \frac{216 2}{3} = 722 \approx 101, 82$ ; при $a = 2$ : $\frac{8 2}{3} \approx 3, 77$ .
Куб, $a = 18$ : $V = 5832$ ; $a = 20$ : $V = 8000$ .

Округляйте только в конце: $2 \approx 1, 41421$ . С грубым $1, 41$ ответ «уедет» в сотых.

Противоположные вершины октаэдра — вершины двух пирамид; расстояние между ними равно диагонали квадрата со стороной $a$ : $d^{2} = 2 a^{2}$ (при $a = 6$ получаем $72$ ).

Тема 9 · Геометрия

Цилиндр и конус

Потренироваться: задания по теме →

Объём цилиндра Объём конуса

Простыми словами

Банка консервов — цилиндр, вафельный рожок — конус. Оба — тела вращения: цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг стороны, конус — вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Если у конуса и цилиндра одинаковые основание и высота, в конус помещается ровно треть воды из цилиндра.

Цилиндр: радиус

r

, высота

h

. Конус: высота

h

, радиус

r

и образующая

l

— прямоугольный треугольник

Цилиндр

V = π r^{2} h

объём: площадь основания

π r^{2}

умножить на высоту

h

S_{бок} = 2 π r h S_{полн} = 2 π r h + 2 π r^{2}

боковая поверхность — развёртка-прямоугольник со сторонами

2 π r

(длина окружности) и

h

; полная — плюс два круга

$r = 20$ , $h = 3$ : $V = π \cdot 400 \cdot 3 = 1200 π$ , $k = 1200$ . При $r = 6$ , $h = 14$ : $V = 36 \cdot 14 π = 504 π$ .
$r = 4$ , $h = 12$ : $S_{бок} = 2 π \cdot 4 \cdot 12 = 96 π$ . При $r = 5$ , $h = 13$ : $130 π$ .

Если ответ просят «в виде $kπ$ », вписывают только число $k$ , без $π$ и без приближённых вычислений ( $1200$ , а не $3769, 9$ ).

Конус

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

объём конуса — треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой

l = r^{2} + h^{2} S_{бок} = π r l

l

— образующая (от вершины до окружности основания); высота, радиус и образующая — прямоугольный треугольник

$r = 3$ , $h = 3$ : $V = \frac{1}{3} π \cdot 9 \cdot 3 = 9 π$ . При $r = 3$ , $h = 12$ : $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 12 = 36$ , $V = 36 π$ .
$r = 10$ , $h = 17$ : $l = 100 + 289 = 389 \approx 19, 72$ .
$r = 5$ , $h = 10$ : $l = 25 + 100 = 125 \approx 11, 18$ .

Не путайте высоту $h$ и образующую $l$ : в объём входит высота, в боковую поверхность конуса — образующая. Образующая всегда длиннее высоты.

Пирамида и конус — «заострённые» тела: у обоих множитель $\frac{1}{3}$ . Призма и цилиндр — «прямые»: множителя нет.

Тема 10 · Геометрия

Шар и сфера

Потренироваться: задания по теме →

Объём шара

Простыми словами

Мяч и его оболочка — разные вещи. Оболочка (резина) — это сфера, поверхность. Всё, что внутри вместе с оболочкой, — шар, тело. У сферы считают площадь (сколько резины), у шара — объём (сколько воздуха).

Сфера — множество всех точек пространства, удалённых от данной точки $O$ (центра) на одно и то же расстояние $R$ (радиус).

Шар — тело, ограниченное сферой: все точки, удалённые от центра не больше чем на $R$ .

Отрезок через центр с концами на сфере — диаметр, $D = 2 R$ .

Объём шара и площадь сферы

V = \frac{4}{3} π R^{3}

объём шара

S = 4 π R^{2}

площадь сферы

Здесь $R$ — радиус, $π \approx 3, 14$ . Объём — в кубических единицах, площадь — в квадратных.

$R = 87$ : $V = \frac{4}{3} π \cdot 8 7^{3} = \frac{4}{3} \cdot 658503 π = 878004 π$ , вписываем $k = 878004$ .
$R = 7$ : $S = 4 π \cdot 49 = 196 π$ , $k = 196$ .

Удобно делить на 3 до возведения: $\frac{4}{3} R^{3} = 4 \cdot \frac{R}{3} \cdot R^{2}$ , если $R$ делится на 3 ( $87 = 3 \cdot 29$ ).

Если просят « $k$ в виде $kπ$ », число $π$ не подставляют — пишут только коэффициент.

Сечение шара плоскостью

Любое сечение шара плоскостью — круг. Его центр — основание перпендикуляра из центра шара на плоскость. Сечение сферы — окружность.

Прямоугольный треугольник: катеты

d

r

, гипотенуза

R

r^{2} = R^{2} - d^{2}

радиус сечения

где $R$ — радиус шара, $d$ — расстояние от центра до плоскости, $r$ — радиус сечения.

$R = 9$ , $d = 4$ : $r = 81 - 16 = 65 \approx 8, 06$ .
Площадь сечения при $R = 24$ , $d = 20$ : $S = π r^{2} = π (576 - 400) = 176 π$ .
$R = 34$ , $r = 30$ , найти $d$ : $d = 1156 - 900 = 256 = 16$ .
Длина линии пересечения сферы ( $R = 55$ , $d = 33$ ): $r = 3025 - 1089 = 44$ , $C = 2 π r = 88 π$ .

Площадь сечения — $π r^{2}$ , а длина линии пересечения — $2 π r$ . Не путайте: в первом случае можно сразу брать $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ , корень не нужен.

Большой круг

Если плоскость проходит через центр ( $d = 0$ ), сечение — большой круг, его радиус равен радиусу шара. Это самое большое сечение.

Площадь большого круга

S = π R^{2}

. При

R = 8

64 π

Обратная задача

π R^{2} = 196 π \Rightarrow R^{2} = 196, R = 14

Площадь сферы ровно в 4 раза больше площади большого круга: $4 π R^{2} = 4 \cdot π R^{2}$ .

Пусть $d$ — расстояние от центра до плоскости. $d < R$ — пересечение по окружности (сечение шара — круг); $d = R$ — одна общая точка, плоскость касательная, она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; $d > R$ — общих точек нет. Сечения, равноудалённые от центра, равны. Сфера получается вращением полуокружности вокруг её диаметра (шар — вращением полукруга).

Геометрия: теория

Оглавление

Сечения многогранников

Простыми словами

Метод следов

Теорема Менелая и сечение тетраэдра

Сечения, параллельные рёбрам и основанию

Площадь сечения параллелепипеда

Аксиомы стереометрии и взаимное расположение прямых и плоскостей

Простыми словами

Две прямые в пространстве

Прямая и плоскость

Сколько плоскостей

Плоскости, углы и рёбра куба

Перпендикулярность и расстояния в пространстве

Простыми словами

Теорема о трёх перпендикулярах

Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Скрещивающиеся прямые

Точка, равноудалённая от вершин или сторон

Ещё приёмы

Параллельность прямых и плоскостей

Простыми словами

Признаки и свойства

Параллельность в кубе

Параллельные отрезки и плоскость

Параллельные плоскости и сечение тетраэдра

Ещё факты о параллельности

Углы между прямыми и плоскостями

Простыми словами

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между прямой и плоскостью

Двугранный угол и площадь проекции

Точка внутри двугранного угла

Ещё типы задач

Перпендикулярность прямой и плоскости

Простыми словами

Перпендикуляр, наклонная, проекция

Две наклонные из одной точки

Отрезок и плоскость

Угол наклонной с плоскостью

Теоремы о перпендикулярности

Призма и параллелепипед

Простыми словами

Прямоугольный параллелепипед

Правильная призма

Наклонная призма: перпендикулярное сечение

Сечения; ромб и трапеция в основании

Перпендикулярность плоскостей и теорема о трёх перпендикулярах

Простыми словами

Отрезок между перпендикулярными плоскостями

Теорема о трёх перпендикулярах

Перпендикулярные плоскости в кубе

Факты о перпендикулярных плоскостях

Пирамида

Простыми словами

Правильная пирамида

Куда падает высота

Боковое ребро перпендикулярно основанию

Сечения пирамиды

Двугранный угол и угол между плоскостями

Простыми словами

Линейный угол

Точка на грани и расстояние

Пирамида и угол между плоскостями

Площадь проекции

Свойства двугранных углов

Призма

Простыми словами

Объём и боковая поверхность

Прямоугольный параллелепипед и его диагональ

Куб

Пирамида

Простыми словами

Объём

Боковая поверхность и апофема

Правильные многогранники

Простыми словами

Пять правильных многогранников

Рёбра и площадь поверхности