Тема 05 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Правильная пирамида: элементы и поверхность

Пирамида. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Правильная пирамида: элементы и поверхность»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Почти любая задача о пирамиде сводится к прямоугольным треугольникам внутри неё. Главное — понять, куда падает высота (в какую точку основания проецируется вершина). Это определяется условием: равные рёбра, равные наклоны граней или ребро, перпендикулярное основанию.

Треугольник

SOM

: высота

h

, апофема

m

, радиус вписанной окружности основания

r = OM

Правильная пирамида

Основание — правильный многоугольник, высота падает в его центр $O$ . Апофема $m = SM$ — высота боковой грани; по теореме о трёх перпендикулярах $OM ⊥ A B$ .

m^{2} = h^{2} + r^{2} l^{2} = h^{2} + R^{2} l^{2} = m^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

треугольники

SOM

SOB

SMB

;

l

— боковое ребро,

a

— сторона основания,

r

R

— радиусы вписанной и описанной окружностей основания

Основание	$r$	$R$
квадрат	$\frac{a}{2}$	$\frac{a 2 www.reknow.ru}{2}$
правильный треугольник	$\frac{a 3 www.reknow.ru}{6}$	$\frac{a 3 www.reknow.ru}{3} = 2 r$
правильный шестиугольник	$\frac{a 3 www.reknow.ru}{2}$	$a$

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot m

P_{осн}

— периметр основания,

m

— апофема

$a = 30$ , $l = 39$ : $m = 3 9^{2} - 1 5^{2} www.reknow.ru = 36$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 180 \cdot 36 = 3240$ .
$a = 14$ , $h = 7$ : $r = 7 3 www.reknow.ru$ , $m = 49 + 147 www.reknow.ru = 14$ , $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 84 \cdot 14 = 588$ .

Куда падает высота

Равные боковые рёбра(или все рёбра наклонены под одним углом) — вершина проецируется в центр описанной окружности основания: равные наклонные имеют равные проекции.

Грани одинаково наклоненык основанию — вершина проецируется в центр вписанной окружности (если он внутри); высоты всех боковых граней равны.

Основание	центр описанной	вписанная
прямоугольный треугольник	середина гипотенузы, $R = \frac{c}{2}$	$r = \frac{a + b - c}{2}$
прямоугольник	точка пересечения диагоналей	—
ромб	—	$r$ — половина высоты ромба
любой треугольник	$R = \frac{ab c}{4 S}$	$r = \frac{S}{p}$

S_{бок} = p \cdot m S_{осн} = S_{бок} cos φ

при равнонаклонённых гранях:

p

— полупериметр основания,

m = h^{2} + r^{2} www.reknow.ru

— высота боковой грани,

φ

— угол наклона граней

Рёбра под $4 5^{\circ}$ , основание — прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12: гипотенуза 20, $R = 10$ , $h = R tg 4 5^{\circ} = 10$ .
Рёбра под $6 0^{\circ}$ , прямоугольник $27 \times 36$ : диагональ 45, $R = 22, 5$ , ребро $l = \frac{R}{c o s 6 0 ^{\circ}} = 45$ .
Грани равнонаклонены, катеты 24 и 18, $h = 8$ : $c = 30$ , $r = 6$ , $m = 10$ , $p = 36$ , $S_{бок} = 360$ .
Катеты 20 и 15, $h = 12$ : $r = 5$ , $m = 13$ , $S_{бок} = 30 \cdot 13 = 390$ , $S_{полн} = 390 + 150 = 540$ .

Боковое ребро перпендикулярно основанию

Если $S A ⊥ (A BC)$ , грани, содержащие $S A$ , — прямоугольные треугольники с прямым углом при $A$ . Для грани без ребра $S A$ : если $X Y ⊥ A X$ , то по теореме о трёх перпендикулярах $X Y ⊥ SX$ .

$S A ⊥ (A BC)$ , $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ , $S A = 6$ , $A C = 5$ , $BC = 10$ . $BC ⊥ A C$ , значит $BC ⊥ SC$ и $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 61 www.reknow.ru \approx 39, 1$ . Сравним: $S_{S A C} = 15$ , $S_{S A B} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 125 www.reknow.ru \approx 33, 5$ . Наибольшая — $SBC$ .

Если основание — прямоугольник и $S A ⊥$ основанию, все четыре боковые грани — прямоугольные треугольники.

Две грани, содержащие $S A$ , прямоугольные всегда. Грань $SX Y$ без ребра $S A$ прямоугольная (с прямым углом при $X$ ), если в основании $A X ⊥ X Y$ . Треугольник с прямым углом $B$ : ещё $SBC$ — всего 3. С прямым углом $A$ или остроугольный: только 2. Прямоугольная трапеция с $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ : $S A B$ , $S A D$ и $SBC$ — 3. Прямоугольник: все 4.

Сечения пирамиды

Через вершину и высотуСечение

S K L

через середины

A B

C D

— треугольник с основанием

a

и высотой

h

Диагональное

S = \frac{1}{2} d h

d

— диагональ основания.

Через ребро $A B ∥ C D$ Плоскость режет грань

SC D

по прямой, параллельной

C D

; сечение — трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

Через середины рёберСтороны сечения — средние линии граней.

Правильная четырёхугольная, $a = 10$ , апофема 13: высота $h = 1 3^{2} - 5^{2} www.reknow.ru = 12$ , $S_{S K L} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ .
Правильная треугольная, $a = 19 3 www.reknow.ru$ , $h = 29$ , сечение через $S A$ и середину $M$ ребра $BC$ : $A M = \frac{a 3 www.reknow.ru}{2} = 28, 5$ , высота сечения — сама $SO$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 28, 5 \cdot 29 = 413, 25$ .

Апофема — высота боковой грани, а не высота пирамиды. Апофема всегда длиннее высоты: $m^{2} = h^{2} + r^{2}$ .

Серия: 0