Учебник reknow · 8 класс

Геометрия: теория

14 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:7 8 9 10 11 Математика по всем классам →

Многоугольники
Параллелограмм и трапеция
Прямоугольник, ромб, квадрат. Симметрия
Площадь многоугольника
Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
Теорема Пифагора
Подобные треугольники: определение
Признаки подобия треугольников
Применение подобия к решению задач
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Окружность и прямые: касательная, взаимное расположение
Центральные и вписанные углы
Вписанная и описанная окружности
Итоговое повторение геометрии 8 класса

Тема 01 · Геометрия · Глава VI «Четырёхугольники»

Многоугольники

Простыми словами

Любой выпуклый многоугольник можно разрезать на треугольники диагоналями из одной вершины. А у каждого треугольника углы дают $18 0^{\circ}$ — отсюда и все формулы темы.

Многоугольник $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ — фигура из $n$ отрезков (сторон): соседние имеют общий конец и не лежат на одной прямой, несоседние не имеют общих точек. У $n$ -угольника $n$ вершин и $n$ сторон. Диагональ — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Периметр — сумма длин всех сторон.

Многоугольник выпуклый, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Все углы выпуклого многоугольника меньше $18 0^{\circ}$ .

Диагонали

Шестиугольник: из

A_{1}

выходят

6 - 3 = 3

диагонали, треугольников

6 - 2 = 4

d_{1} = n - 3, D = \frac{n ( n - 3 )}{2}

d_{1}

— диагонали из одной вершины,

D

— все диагонали

n

-угольника

Из вершины нельзя провести диагональ в саму себя и в две соседние — отсюда $n - 3$ . В формуле для $D$ делим на $2$ : каждая диагональ посчитана с обоих концов.

У выпуклого многоугольника $230$ диагоналей. Сколько выходит из одной вершины?

$\frac{n ( n - 3 )}{2} = 230$ ⇒ $n (n - 3) = 460 = 23 \cdot 20$ .
$n = 23$ , из одной вершины $n - 3 = 20$ диагоналей.

$24$ -угольник: из одной вершины $24 - 3 = 21$ диагональ.

Сумма углов

S_{n} = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

сумма углов выпуклого

n

-угольника:

n - 2

треугольника по

18 0^{\circ}

$12$ -угольник: $(12 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 180 0^{\circ}$ .

Внешние углыВнешний угол смежен с внутренним. Сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) — всегда

36 0^{\circ}

Правильный $n$ -угольникВсе стороны и углы равны. Угол

\frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}

, внешний угол

\frac{36 0 ^{\circ}}{n}

Правильный шестиугольник: угол $\frac{4 \cdot 18 0 ^{\circ}}{6} = 12 0^{\circ}$ , внешний $\frac{36 0 ^{\circ}}{6} = 6 0^{\circ}$ .

Не путайте: $n - 3$ — диагонали из вершины, $n - 2$ — треугольники и множитель в сумме углов.

Четырёхугольник

Сумма углов выпуклого четырёхугольника: $(4 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ . У четырёхугольника две диагонали ( $\frac{4 \cdot 1}{2} = 2$ ); каждая диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Три угла четырёхугольника $8 0^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ . Четвёртый: $36 0^{\circ} - 28 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ .

Треугольник — $18 0^{\circ}$ , каждая новая вершина добавляет ещё $18 0^{\circ}$ : $180, 360, 540, 720, \dots$

Обратные задачи о правильных многоугольниках

Удобнее всего идти через внешний угол: он равен $18 0^{\circ} - α$ (где $α$ — угол многоугольника) и $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ .

Угол правильного многоугольника $15 6^{\circ}$ . Сколько сторон?

Внешний угол $18 0^{\circ} - 15 6^{\circ} = 2 4^{\circ}$ .
$n = \frac{36 0 ^{\circ}}{2 4 ^{\circ}} = 15$ .

«Угол в $k$ раз больше внешнего»: $α + β = 18 0^{\circ}$ , $α = k β$ ⇒ $β = \frac{18 0 ^{\circ}}{k + 1}$ . При $k = 2$ : $β = 6 0^{\circ}$ , $n = 6$ . «Угол на $16 4^{\circ}$ больше внешнего»: $2 β = 1 6^{\circ}$ , $β = 8^{\circ}$ , $n = 45$ .
Угол $α$ возможен у правильного многоугольника, только если $\frac{36 0 ^{\circ}}{18 0 ^{\circ} - α}$ — целое число не меньше 3: $12 0^{\circ}$ можно ( $n = 6$ ), $11 8^{\circ}$ нельзя ( $360 : 62$ не целое).
По сумме углов: $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 324 0^{\circ}$ ⇒ $n - 2 = 18$ , $n = 20$ . Все внешние углы по $6^{\circ}$ ⇒ $n = 60$ , сумма внутренних $58 \cdot 18 0^{\circ} = 1044 0^{\circ}$ .

Многоугольники, уложенные вокруг точки без щелей, дают в сумме $36 0^{\circ}$ . Квадрат ( $9 0^{\circ}$ ) и правильный пятиугольник ( $10 8^{\circ}$ ): остаётся $16 2^{\circ}$ — это угол правильного 20-угольника. Два восьмиугольника ( $13 5^{\circ} + 13 5^{\circ}$ ): остаётся $9 0^{\circ}$ — квадрат.

Стороны, углы и уравнения

Части: стороны $6 : 6 : 4 : 7 : 3$ , периметр $52$ ⇒ частей $26$ , одна часть $2$ , наибольшая сторона $7 \cdot 2 = 14$ . Так же с углами: углы пятиугольника $4 : 9 : 8 : 3 : 6$ — всего 30 частей на $54 0^{\circ}$ , часть $1 8^{\circ}$ , наименьший угол $5 4^{\circ}$ .
«Каждая следующая на $d$ больше»: стороны $x$ , $x + d$ , $x + 2 d$ , … Для шестиугольника с $d = 3$ и $P = 87$ : $6 x + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) \cdot 3 = 6 x + 45 = 87$ , $x = 7$ .
Равные углы и «на столько-то меньше»: обозначьте один угол $x$ , выразите остальные и приравняйте сумму к $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ .
Диагоналей столько же, сколько сторон: $\frac{n ( n - 3 )}{2} = n$ ⇒ $n - 3 = 2$ , $n = 5$ . «В $k$ раз больше сторон»: $n - 3 = 2 k$ .
Правильный многоугольник: сторона $= P : n$ , число сторон $= P : a$ .

Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$ . Тогда $∠ A OB = 18 0^{\circ} - \frac{∠ A + ∠ B}{2} = \frac{∠ C + ∠ D}{2}$ , так как $∠ A + ∠ B = 36 0^{\circ} - (∠ C + ∠ D)$ . При $∠ C = 13 1^{\circ}$ , $∠ D = 5 5^{\circ}$ : $∠ A OB = 9 3^{\circ}$ .

«Воздушный змей» (дельтоид): $A B = A D$ , $CB = C D$ , углы $B$ и $D$ равны, поэтому $∠ B = \frac{36 0 ^{\circ} - ∠ A - ∠ C}{2}$ . Если три угла выпуклого четырёхугольника острые, четвёртый обязательно тупой (больше $36 0^{\circ} - 3 \cdot 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ ).

Тема 02 · Геометрия · Глава VI «Четырёхугольники»

Параллелограмм и трапеция

Потренироваться: задания по теме →

Площадь параллелограмма Площадь трапеции

Простыми словами

Возьмём две пары параллельных реек и скрепим их концы — получится параллелограмм; его можно «перекосить», но противоположные стороны останутся равными. Если параллельна только одна пара сторон, как у ведра в разрезе, — это трапеция.

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).

Параллелограмм: свойства и признаки

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны; углы, прилежащие к одной стороне, в сумме $18 0^{\circ}$ .
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Четырёхугольник — параллелограмм, если: 1) две его стороны равны и параллельны; 2) противоположные стороны попарно равны; 3) диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Угол параллелограмма $10 3^{\circ}$ . Соседний: $18 0^{\circ} - 10 3^{\circ} = 7 7^{\circ}$ , противоположный — $10 3^{\circ}$ .
$A O = OC = 9$ , $BO = O D = 11$ — параллелограмм по признаку «диагонали делятся пополам».

Свойство: «в параллелограмме …». Признак: «если в четырёхугольнике …, то он — параллелограмм». «Диагонали параллелограмма перпендикулярны» — неверно (верно только для ромба).

Биссектриса угла параллелограмма

∠ B K A = ∠ K A D

(накрест лежащие)

= ∠ B A K

⇒

A B = B K

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник: $B K = A B$ .

$P = 64$ , биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в $K$ , $B K = 11$ . Найти $BC$ .

$A B = B K = 11$ , $A B + BC = 32$ , $BC = 21$ .

Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекают $BC$ в $K$ и $L$ ; $A B = 17$ , $BC = 21$ . Найти $K L$ .

$B K = A B = 17$ , $C L = C D = 17$ .
$B K + C L = 34 > 21$ , отрезки перекрываются: $K L = 34 - 21 = 13$ .

Трапеция и средняя линия

Углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме $18 0^{\circ}$ . Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны, углы при каждом основании равны. Прямоугольная: один угол прямой (тогда прямых углов два).

MN = \frac{BC + A D}{2}

;

MP = \frac{BC}{2}

PQ = \frac{A D - BC}{2}

m = \frac{a + b}{2}

средняя линия (

m

) соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям

a

b

Основания $5$ и $8$ : $m = 6, 5$ . Средняя линия $29$ , основания отличаются на $4$ : сумма $58$ , большее $\frac{58 + 4}{2} = 31$ .

$BC = 12$ , $A D = 22$ : диагонали делят среднюю линию на $6$ , $5$ , $6$ , значит $PQ = \frac{22 - 12}{2} = 5$ .

Равнобедренная трапеция и теорема Фалеса

Высота $B H$ равнобедренной трапеции, $BC = 3$ , $A D = 11$ . Найти $A H$ .

$A H = \frac{A D - BC}{2} = \frac{11 - 3}{2} = 4$ (а $HD = \frac{A D + BC}{2} = 7$ ).

$∠ A = 7 7^{\circ}$ ⇒ $∠ B = 18 0^{\circ} - 7 7^{\circ} = 10 3^{\circ}$ . Угол при меньшем основании больше на $3 8^{\circ}$ : $x + (x + 3 8^{\circ}) = 18 0^{\circ}$ , меньший угол $7 1^{\circ}$ .

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки. (Обобщение: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.)

$O A_{1} = A_{1} A_{2} = \dots = A_{4} A_{5}$ , $O B_{5} = 10$ : на другой стороне тоже $5$ равных частей, $B_{1} B_{2} = 10 : 5 = 2$ .

На теореме Фалеса основано деление отрезка на $n$ равных частей циркулем и линейкой.

Параллелограмм: углы, высоты, периметры

Через диагональ: $A C$ делит $∠ A$ на $2 2^{\circ}$ и $3 1^{\circ}$ , значит $∠ A = 5 3^{\circ}$ и $∠ BC D = ∠ A = 5 3^{\circ}$ . Накрест лежащие углы: $∠ A C D = ∠ B A C$ .
Высота из тупого угла: в $△ A B H$ угол $H$ прямой, поэтому $∠ A = 9 0^{\circ} - ∠ A B H$ ; $∠ A BC = 18 0^{\circ} - ∠ A$ . Угол между высотами $B H$ и $B K$ из вершины тупого угла равен острому углу параллелограмма ( $∠ H B K = ∠ A$ ).
Внешний угол при вершине $A$ равен соседнему углу $B$ ; продолжение $A D$ за $D$ даёт $∠ C D E = ∠ A$ .
Уравнения на углы: «один угол в $k$ раз меньше суммы трёх остальных»: $x \cdot (k + 1) = 36 0^{\circ}$ ; «сумма трёх углов $20 2^{\circ}$ »: четвёртый $15 8^{\circ}$ , меньший $2 2^{\circ}$ .
Высота при угле $3 0^{\circ}$ : $B H = \frac{A B}{2}$ . При $∠ B = 15 0^{\circ}$ угол $A = 3 0^{\circ}$ , и $A B = 2 B H$ .
Периметры треугольников с диагоналями: $P_{A OB} = A B + \frac{A C + B D}{2}$ . Разность $P_{A OB} - P_{BOC} = A B - BC$ , потому что $A O = OC$ , $BO = O D$ .
Неравенство треугольника: при сторонах $6$ и $3$ диагональ лежит между $3$ и $9$ ; при диагоналях $8$ и $20$ сторона лежит между $10 - 4 = 6$ и $10 + 4 = 14$ .

Признаки с уравнениями и координатами

Если известно, что $A BC D$ — параллелограмм, приравнивают противоположные стороны (или половинки диагоналей): $A B = C D$ , $5 x + 1 = x + 29$ ⇒ $x = 7$ , $A B = 36$ . Чтобы четырёхугольник стал параллелограммом, нужно выполнить оба равенства пары сторон (или $A O = OC$ и $BO = O D$ ) — ищут $x$ , при котором верны оба.

Не гарантируют параллелограмм: одно условие $A O = OC$ ; $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ (так бывает и у трапеции); равные диагонали (равнобедренная трапеция). Гарантируют: $A B ∥ C D$ и $A B = C D$ ; $A O = OC$ и $BO = O D$ ; обе пары сторон равны.

Удвоение медианы: если $M D = A M$ , то $A B D C$ — параллелограмм (диагонали $A D$ и $BC$ делятся пополам), поэтому $B D = A C$ .
Координаты: середины диагоналей совпадают, значит $D = A + C - B$ : при $A (3; 2)$ , $B (6; 3)$ , $C (4; 5)$ абсцисса $x_{D} = 3 + 4 - 6 = 1$ .
Если на диагонали $A C$ отложить $A M = CN$ , то $MBN D$ — параллелограмм: его диагонали $MN$ и $B D$ делятся точкой $O$ пополам.

Трапеция: типовые ходы

Высоты равнобедренной трапеции $B H$ и $C K$ отсекают на $A D$ равные отрезки $A H = KD = \frac{A D - BC}{2}$ , а $HK = BC$ . $A D = 40$ , $HK = 24$ ⇒ $KD = 8$ .
Угол $4 5^{\circ}$ : высота равна $A H = \frac{A D - BC}{2}$ . Угол $6 0^{\circ}$ : $A H = \frac{A B}{2}$ , так что $A D = BC + A B$ . Угол $12 0^{\circ}$ при меньшем основании — это $6 0^{\circ}$ при большем.
Диагональ — биссектриса угла $A$ : $∠ BC A = ∠ C A D = ∠ B A C$ , треугольник $A BC$ равнобедренный, $A B = BC$ . Углы трапеции: $∠ A = 2 \cdot 2 2^{\circ} = 4 4^{\circ} = ∠ D$ .
Биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в $K$ : $∠ A K B = ∠ K A D = \frac{∠ A}{2}$ , и $∠ A = 18 0^{\circ} - ∠ B$ .
Прямоугольная трапеция: два прямых угла, острый и тупой в сумме $18 0^{\circ}$ . С углом $4 5^{\circ}$ : $BC = A D - A B$ .
Средняя линия и периметр: в равнобедренной трапеции $P = 2 m + 2 c$ , где $c$ — боковая сторона. Средняя линия пересекает диагонали в $P$ и $Q$ : $MP = \frac{BC}{2}$ , $PN = \frac{A D}{2}$ .
Через середину стороны треугольника проведена прямая, параллельная другой стороне, — она проходит через середину третьей стороны (теорема Фалеса): $A N = NC$ .

Тема 03 · Геометрия · Глава VI «Четырёхугольники»

Прямоугольник, ромб, квадрат. Симметрия

Потренироваться: задания по теме →

Площадь квадрата

Простыми словами

Прямоугольник, ромб и квадрат — это параллелограммы «с бонусом». У прямоугольника все углы прямые, у ромба все стороны равны, а квадрат получил оба бонуса сразу. Поэтому у них есть все свойства параллелограмма плюс свои особенные.

ПрямоугольникПараллелограмм, все углы которого прямые.

РомбПараллелограмм, все стороны которого равны.

КвадратПрямоугольник, у которого все стороны равны (он же ромб).

Прямоугольник

Свойство: диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O A = OB = OC = O D$ .
Признак: если диагонали параллелограмма равны, он — прямоугольник.

$A C = 42$ ⇒ $BO = \frac{42}{2} = 21$ .

$∠ B A C = 4 8^{\circ}$ . Найти $∠ A OB$ .

$O A = OB$ ⇒ $△ A OB$ равнобедренный, $∠ A BO = 4 8^{\circ}$ .
$∠ A OB = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 4 8^{\circ} = 8 4^{\circ}$ .

$A B = 25$ , $B D = 65$ : $A D = 6 5^{2} - 2 5^{2} = 60$ , $P = 2 (25 + 60) = 170$ .

Участок в $4$ раза длиннее, чем шире, забор $100$ м: $2 (4 x + x) = 100$ , $x = 10$ , длина $40$ м.

Ромб и квадрат

Диагонали ромба перпендикулярны;

A C

делит

∠ A

пополам

Свойство ромба: диагонали взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Признак: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, он — ромб.
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба: диагонали равны, перпендикулярны и делят углы на $4 5^{\circ}$ .

Периметр ромба $72$ ⇒ сторона $18$ . $∠ A = 11 0^{\circ}$ ⇒ угол между $A C$ и $A B$ равен $5 5^{\circ}$ .

$∠ B A D = 4 0^{\circ}$ . Найти $∠ A B D$ .

$A B = A D$ ⇒ $△ A B D$ равнобедренный.
$∠ A B D = \frac{18 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 7 0^{\circ}$ . Обратно: $∠ A B D = 3 5^{\circ}$ ⇒ $∠ B A D = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ .

«Если диагонали четырёхугольника равны, то это прямоугольник» — неверно: нужен именно параллелограмм (контрпример — равнобедренная трапеция).

Симметрия

Точки $A$ и $A_{1}$ симметричны относительно прямой $a$ , если $a$ проходит через середину $A A_{1}$ и перпендикулярна ему. Точки симметричны относительно точки $O$ , если $O$ — середина $A A_{1}$ .

Симметрия	Точка $(x; y)$ переходит в
относительно оси $O x$	$(x; - y)$
относительно оси $O y$	$(- x; y)$
относительно начала координат	$(- x; - y)$
относительно точки $M (a; b)$	$(2 a - x; 2 b - y)$

$A (- 1; 5)$ относительно начала координат $\to (1; - 5)$ , ордината $- 5$ .

Фигура	Осей симметрии	Центр симметрии
параллелограмм (общий)	0	точка пересечения диагоналей
прямоугольник	2 (через середины сторон)	есть
ромб	2 (диагонали)	есть
квадрат	4	есть

Диагональ прямоугольника — не ось симметрии (если это не квадрат), а диагональ ромба — ось.

Углы и расстояния в прямоугольнике и ромбе

Угол между диагоналями прямоугольника: $△ A OB$ равнобедренный, поэтому если диагональ образует со стороной угол $α$ , то угол между диагоналями $2 α$ или $18 0^{\circ} - 2 α$ . Угол $4 6^{\circ}$ между диагоналями ⇒ с большей стороной $2 3^{\circ}$ .
$∠ A OB = 6 0^{\circ}$ ⇒ $△ A OB$ равносторонний: $A B = O A = \frac{B D}{2}$ . Если $P_{A OB} = 39$ , то $A B = 13$ , $B D = 26$ .
Против угла $3 0^{\circ}$ : $∠ A D B = 3 0^{\circ}$ , $B D = 38$ ⇒ $A B = 19$ .
Расстояния от $O$ до сторон прямоугольника — половины соседних сторон. У квадрата расстояние до стороны — половина стороны: $P = 8 \cdot 16, 5 = 132$ .
Периметры треугольников: $P_{A O D} - P_{A OB} = A D - A B$ , так как $O A = OB = O D$ .
Биссектриса угла прямоугольника отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник: $B K = A B$ . Если биссектрисы углов $A$ и $D$ встречаются на $BC$ , то $BC = 2 A B$ , $P = 6 A B$ .
Ромб: диагональ делит угол пополам, поэтому угол «диагональ — сторона» равен половине угла ромба. Углы $7 : 2$ ⇒ $14 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ ; меньшая диагональ лежит против острого угла и образует со стороной угол $7 0^{\circ}$ . Угол между стороной и одной диагональю $7 7^{\circ}$ ⇒ с другой $1 3^{\circ}$ .
Ромб с острым углом $3 0^{\circ}$ : высота — половина стороны, $a = 2 h$ . С углом $6 0^{\circ}$ : меньшая диагональ равна стороне (треугольник равносторонний). Сторона $16$ и диагональ $16$ ⇒ углы $6 0^{\circ}$ и $12 0^{\circ}$ .
$P_{A B D} = 2 a + B D$ , $P_{A OB} = a + \frac{A C + B D}{2}$ .

Практика: рамки, заборы, проверка формы

Мастер проверяет раму: противоположные стороны равны — параллелограмм; если ещё равны диагонали — прямоугольник. Все стороны равны — ромб; если ещё равны диагонали — квадрат.
Рамка шириной $w$ : внешние размеры больше окна на $2 w$ по каждой стороне, внешний периметр больше на $8 w$ . Фото $48 \times 34$ в рамке шириной 5: внешний край $2 (58 + 44) = 204$ см.
Забор вдоль стены: огораживают только три стороны.
Столбики вокруг квадрата: на замкнутом контуре столбиков столько же, сколько промежутков: $28 \cdot 2, 5 = 70$ м — периметр, сторона $17, 5$ м.
Окантовка квадрата плитками: для поля $n \times n$ нужно $4 n + 4$ плитки вокруг. Если на окантовку ушло 144 плитки, внешний квадрат $37 \times 37$ , внутренний $35 \times 35$ .
Сторона квадрата больше на 8 — периметр больше на 32; сторона ромба меньше на 5 — периметр меньше на 20.

Симметрия: ещё правила

Точки $A (x_{1}; y)$ и $B (x_{2}; y)$ симметричны относительно прямой $x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ . Центр симметрии точек $A$ и $B$ — середина $A B$ .
Точка на расстоянии $d$ от прямой и её симметричная точка: $A A_{1} = 2 d$ .
Осей симметрии: у правильного $n$ -угольника — $n$ ; у равнобедренного (не равностороннего) треугольника — 1; у разностороннего — 0; у неразвёрнутого угла — 1 (биссектриса); у окружности — бесконечно много.
Центр симметрии есть у окружности, параллелограмма, правильного многоугольника с чётным числом сторон; у правильного пятиугольника и треугольника его нет.
Симметрия сохраняет расстояния: симметричный треугольник имеет тот же периметр.
Буквы: горизонтальная ось у В, Е, З, К, С, Э; вертикальная — у А, Д, М, П, Т, Ш; обе оси и центр — у Ж, Н, О, Х; только центр — у И; ни оси, ни центра — у Б, Г, Р, Я.

Тема 04 · Геометрия · Глава VII «Площадь»

Площадь многоугольника

Потренироваться: задания по теме →

Гектары в квадратные метры Квадратные метры в гектары Квадратные метры в сотки

Простыми словами

Площадь показывает, сколько единичных квадратиков (и их частей) поместится внутри фигуры. Пол $4 \times 3$ м выкладывают $12$ плитками $1 \times 1$ м — его площадь $12 м^{2}$ .

Площадь многоугольника — величина той части плоскости, которую он занимает. Единица — квадрат со стороной, равной единице длины ( $1 см^{2}$ , $1 м^{2}$ и т. д.).

1°. Равные многоугольники имеют равные площади.
2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников (без общих внутренних точек), его площадь равна сумме их площадей.
3°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Фигуры с равными площадями — равновеликие; фигуры, совмещаемые наложением, — равные. Равные всегда равновелики, обратное неверно: прямоугольник $2 \times 8$ и квадрат $4 \times 4$ равновелики, но не равны.

Квадрат и прямоугольник

S = a^{2}, S = ab

a

— сторона квадрата;

a

b

— смежные стороны прямоугольника

Квадрат со стороной $11$ : $S = 121$ . Прямоугольник $9 \times 11$ : $S = 99$ .

Если обе стороны увеличить в $k$ раз, площадь вырастет в $k^{2}$ раз. Из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Рамка: внешний прямоугольник $10 \times 8$ , внутренний $6 \times 4$ . Найти площадь рамки.

$S = 10 \cdot 8 - 6 \cdot 4 = 80 - 24 = 56$ .

Сложную фигуру либо разбивают на прямоугольники и складывают площади, либо достраивают до большого прямоугольника и вычитают лишнее.

Единицы площади

Единица	Равна
$1 см^{2}$	$100 мм^{2}$
$1 дм^{2}$	$100 см^{2}$
$1 м^{2}$	$100 дм^{2} = 10000 см^{2}$
$1$ а (сотка)	$100 м^{2}$
$1$ га	$100$ а $= 10000 м^{2}$
$1 км^{2}$	$100$ га $= 1000000 м^{2}$

В СИ единица площади — квадратный метр. Если единица длины в $10$ раз больше, единица площади больше в $10 \cdot 10 = 100$ раз.

$1 м = 100 см$ , но $1 м^{2} = 10000 см^{2}$ — множитель возводится в квадрат.

Треугольники с общей высотой

Треугольники $A BM$ и $A MC$ имеют общую высоту из $A$ , поэтому их площади относятся как основания.

S_{A BM} : S_{A MC} = BM : MC

\frac{S _{A BM}}{S _{A BC}} = \frac{BM}{BC}

M

на стороне

BC

; высота из

A

общая

$BM = 5$ , $MC = 8$ , $S_{A BC} = 65$ : $S_{A BM} = 65 \cdot \frac{5}{13} = 25$ .

$M$ — середина $BC$ , $K$ — середина $A M$ , $S_{A BC} = 360$ . Найти $S_{A B K}$ .

Медиана делит треугольник на два равновеликих: $S_{A BM} = 180$ .
$B K$ — медиана $△ A BM$ : $S_{A B K} = 90$ .

Практические задачи на площадь

Площадь, периметр, сторона: по периметру квадрата $56$ сторона $14$ , площадь $196$ ; по площади $132$ и стороне $11$ вторая сторона $12$ , периметр $2 (11 + 12) = 46$ . Стороны в отношении $2 : 7$ и площадь $504$ : $2 x \cdot 7 x = 504$ , $x^{2} = 36$ , меньшая сторона $12$ .
Изменение размеров: длину увеличили в 3 раза, ширину уменьшили в 2 раза — площадь умножится на $\frac{3}{2} = 1, 5$ . Сторону квадрата увеличили на 3 и площадь выросла на 45: $(a + 3)^{2} - a^{2} = 6 a + 9 = 45$ , $a = 6$ .
Дорожка вокруг клумбы $7 \times 18$ шириной $0, 5$ : внешний прямоугольник $8 \times 19$ , площадь дорожки $152 - 126 = 26 м^{2}$ . Рамка вокруг фото — так же.
Две перпендикулярные дорожки шириной 1 через газон $8 \times 6$ : $8 \cdot 1 + 6 \cdot 1 - 1 = 13$ (квадрат пересечения посчитан дважды).
Вырезаны квадраты по углам листа $28 \times 16$ , осталось $348$ : $448 - 4 x^{2} = 348$ , $x = 5$ .
Плитка: стену $7 \times 3$ м покрывают плитками $0, 5 \times 0, 5$ м: $\frac{21}{0 , 25} = 84$ плитки. Площади переводят в одни единицы.
Покраска стен: площадь стен $=$ периметр пола $\times$ высота, минус окно и дверь: $4 \cdot 7 \cdot 2, 7 - 1, 4 \cdot 1, 5 - 0, 8 \cdot 2 = 71, 9 м^{2}$ .
Урожай: поле $170 \times 290$ м $= 49300 м^{2} = 4, 93$ га; по 51 ц/га — $251, 43$ ц.

При масштабе $1 : k$ длины на местности в $k$ раз больше, а площади — в $k^{2}$ раз: план $1 : 1000$ уменьшает площадь в $1000000$ раз. Удобнее сначала перевести размеры: при $1 : 200$ отрезок $2, 5$ см на плане — это $5$ м.

Тема 05 · Геометрия · Глава VII «Площадь»

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Потренироваться: задания по теме →

Площадь параллелограмма Площадь трапеции Площадь треугольника

Простыми словами

Параллелограмм можно разрезать и переложить кусок так, что получится прямоугольник с той же основой и высотой. Треугольник — половина параллелограмма. Трапеция — два треугольника. Так все формулы вырастают из $S = ab$ .

Отрезаем треугольник слева и приставляем справа — получается прямоугольник

a \times h

Параллелограмм и треугольник

S_{пар} = a \cdot h_{a}

a

— сторона (основание),

h_{a}

— высота, проведённая к ней

У параллелограмма две высоты, и $a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}$ : к большей стороне проведена меньшая высота. Ромб — тоже параллелограмм: $S = ah$ .

S_{△} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}

половина произведения стороны на высоту к ней

Основание $12$ , высота $9$ : $S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$ .

• Прямоугольный треугольник: $S = \frac{1}{2} ab$ ( $a, b$ — катеты) $= \frac{1}{2} c h$ ( $c$ — гипотенуза, $h$ — высота к ней).
• Высоты равны ⇒ площади относятся как основания; медиана делит треугольник на два равновеликих.
• Если угол одного треугольника равен углу другого, площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 21$ , $BC = 28$ , $A B = 35$ . Найти высоту $C H$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 28 = 294$ .
$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot C H$ ⇒ $C H = \frac{2 \cdot 294}{35} = 16, 8$ .

Высота должна быть проведена именно к той стороне, которую умножаем. Боковая сторона параллелограмма — не высота.

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h

a, b

— основания,

h

— высота,

m

— средняя линия

Основания $8$ и $11$ , высота $9$ : $S = \frac{19}{2} \cdot 9 = 85, 5$ .
Обратная задача: $S = 374$ , $BC = 12$ , $A D = 22$ : $h = \frac{374}{17} = 22$ .

Диагональ делит трапецию на два треугольника с той же высотой, поэтому их площади относятся как основания.

$S_{A BC D} = 72$ , $S_{A BC} = 24$ ⇒ $S_{A C D} = 72 - 24 = 48$ .

Диагонали пересекаются в $O$ , $BC = 6$ , $A D = 24$ , $S_{BOC} = 16$ . Найти $S_{A O D}$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ (накрест лежащие углы при $BC ∥ A D$ ), $k = \frac{24}{6} = 4$ .
Площади относятся как $k^{2} = 16$ : $S_{A O D} = 16 \cdot 16 = 256$ .

Ромб, квадрат, составные фигуры

S_{ромба} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}, S_{квадрата} = \frac{1}{2} d^{2}

d_{1}, d_{2}

— диагонали ромба,

d

— диагональ квадрата

Периметр ромба $232$ , диагональ $A C = 80$ . Найти площадь.

Сторона $232 : 4 = 58$ . Диагонали перпендикулярны и делятся пополам: половина $B D$ равна $5 8^{2} - 4 0^{2} = 42$ .
$B D = 84$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 84 = 3360$ .

Диагонали ромба $16$ и $12$ : $S = 96$ , сторона $8^{2} + 6^{2} = 10$ , высота $h = \frac{96}{10} = 9, 6$ .

Рамка шириной $4$ в прямоугольнике $19 \times 17$ : $323 - 11 \cdot 9 = 224$ .
Прямоугольник $28 \times 13$ и треугольник высотой $3$ на верхней стороне: $364 + \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 3 = 406$ .

Против угла $3 0^{\circ}$ катет — половина гипотенузы, поэтому при угле $3 0^{\circ}$ высота параллелограмма равна половине боковой стороны: $S = \frac{ab}{2}$ .

Обратные задачи и изменения размеров

Сторона и высота меняются: площадь умножается на произведение множителей. Сторону увеличили в 5 раз, высоту уменьшили в 2 раза — площадь увеличилась в $2, 5$ раза; сторону уменьшили в 6 раз, высоту увеличили в 6 раз — площадь не изменилась.
Две высоты и периметр: $a \cdot 7 = b \cdot 6 = S$ и $a + b = 65$ . Тогда $a = 6 t$ , $b = 7 t$ , $13 t = 65$ , $t = 5$ , $S = 30 \cdot 7 = 210$ .
Ромб: $S = ah$ , сторона $= P : 4$ . $S = 225$ , $P = 100$ ⇒ $a = 25$ , $h = 9$ .
Угол $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ : высота равна половине соседней стороны. $S = 240$ , сторона $20$ , тупой угол $15 0^{\circ}$ : $20 \cdot \frac{b}{2} = 240$ , $b = 24$ .
Трапеция: одно основание на $d$ больше: $S = \frac{2 x + d}{2} \cdot h$ . $S = 62$ , $h = 4$ , $d = 7$ : $2 x + 7 = 31$ , $x = 12$ , большее $19$ . Основания в отношении $3 : 7$ : $\frac{10 t}{2} \cdot 3 = 60$ , $t = 4$ , меньшее $12$ .
Равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ : $S = \frac{c ^{2}}{4}$ ( $c = 26$ ⇒ $169$ ); с катетом $a$ : $S = \frac{a ^{2}}{2}$ .

Площади частей фигур

Треугольник с основанием на стороне параллелограмма и вершиной на противоположной стороне — половина параллелограмма: $S_{A M D} = 99$ ⇒ $S_{A BC D} = 198$ . Тогда остальные два треугольника $A BM$ и $MC D$ вместе — тоже половина.
Высота тупоугольного треугольника проводится к продолжению стороны, но формула та же: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A H$ .
Точка $D$ на $A C$ с $A D : D C = 4 : 1$ : $S_{A B D} : S_{CB D} = 4 : 1$ (общая высота из $B$ ). Медиана медианы: $BM$ делит площадь пополам, $M K$ — ещё пополам, $36 \to 18 \to 9$ .
Трапеция с углом $3 0^{\circ}$ при боковой стороне $12$ : высота $6$ ; $S = \frac{10 + 26}{2} \cdot 6 = 108$ .
Прямая $CE ∥ A B$ отсекает от трапеции параллелограмм $A BCE$ и треугольник $CE D$ с той же высотой.
Средняя линия делит трапецию на две трапеции с высотой $\frac{h}{2}$ : $S_{MBCN} = \frac{BC + MN}{2} \cdot \frac{h}{2}$ .
Середины сторон прямоугольника, соединённые по порядку, дают ромб площадью в половину прямоугольника: $18 \cdot 10 : 2 = 90$ .
Срезанный угол — прямоугольный треугольник: $9 \cdot 7 - \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 48$ .

Тема 06 · Геометрия · Глава VII «Площадь»

Теорема Пифагора

Потренироваться: задания по теме →

Теорема Пифагора Теорема Пифагора

Простыми словами

Из угла прямоугольного поля 160 × 300 м можно идти вдоль двух сторон, а можно по диагонали. Насколько диагональ короче? Ответ даёт теорема Пифагора: она связывает три стороны любого прямоугольного треугольника.

Диагональ: $16 0^{2} + 30 0^{2} = 115600 = 340$ м, путь по сторонам $460$ м — экономия $120$ м.

Теорема Пифагора

Катеты 3 и 4, гипотенуза 5:

9 + 16 = 25

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c^{2} = a^{2} + b^{2}

a, b

— катеты,

c

— гипотенуза (сторона против прямого угла)

Отсюда гипотенуза $c = a^{2} + b^{2}$ , катет $a = c^{2} - b^{2}$ . Гипотенуза — самая длинная сторона.

Диагональ прямоугольникаДелит его на два прямоугольных треугольника:

d^{2} = a^{2} + b^{2}

Сторона ромбаДиагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам:

a^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}

Сторона ромба 10, диагональ $A C = 12$ . Найти $B D$ .

Половина $A C$ равна 6; в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 10 второй катет $100 - 36 = 8$ .
Это половина $B D$ , поэтому $B D = 16$ .

Катет ищут вычитанием: $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ . Частая ошибка — сложить квадраты, когда гипотенуза уже дана.

Обратная теорема и пифагоровы тройки

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный; прямой угол лежит против большей стороны.

Если $c$ — большая сторона: $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ — треугольник остроугольный, $c^{2} > a^{2} + b^{2}$ — тупоугольный.

Пифагоровы тройки — целые стороны прямоугольных треугольников: $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ и их кратные ( $6, 8, 10$ ; $9, 12, 15$ ; $10, 24, 26$ …). Треугольник $3 : 4 : 5$ называют египетским: верёвкой с 12 равными промежутками между узлами строили прямой угол.

Гипотенуза 17, катеты отличаются на 7. Найти больший катет.

$x^{2} + (x + 7)^{2} = 289$ , $2 x^{2} + 14 x - 240 = 0$ , $x^{2} + 7 x - 120 = 0$ .
$x = 8$ (отрицательный корень $- 15$ не подходит), больший катет $8 + 7 = 15$ . Тройка $8, 15, 17$ .

Площадь прямоугольного треугольника 120, катет $A C = 24$ . Второй катет $\frac{2 \cdot 120}{24} = 10$ , гипотенуза $2 4^{2} + 1 0^{2} = 26$ .

Сначала проверьте, не тройка ли это (или кратное тройки): $30, 40 \to 50$ ; $1, 3$ и $0, 5 \to 1, 2$ (тройка $5, 12, 13$ , делённая на 10).

Формула Герона

S = p (p - a) (p - b) (p - c), p = \frac{a + b + c}{2}

a, b, c

— стороны треугольника,

p

— полупериметр

Высота к стороне $a$ : $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ .

Стороны $13, 14, 15$ : $p = 21$ , $S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056 = 84$ .

Стороны $11, 11, 12$ . Найти $S^{2}$ .

$p = 17$ ; $p - a = 6$ , $p - b = 6$ , $p - c = 5$ .
$S^{2} = 17 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 = 3060$ .

Стороны $20, 26, 26$ , высота к стороне 20. Треугольник равнобедренный — высота делит основание пополам: $h = 2 6^{2} - 1 0^{2} = 24$ .

Пифагор в других фигурах

Ищем прямой угол: высота трапеции или параллелограмма, стена и земля, мачта, стороны поля. Наклонный предмет (лестница, трос, скат) — гипотенуза.

Равнобедренная трапеция: $BC = 27$ , $A D = 47$ , $A B = 26$ . Найти площадь.

Высота $B H$ отсекает $A H = \frac{47 - 27}{2} = 10$ .
$B H = 2 6^{2} - 1 0^{2} = 24$ .
$S = \frac{27 + 47}{2} \cdot 24 = 888$ .

Параллелограмм: $A B = 20$ , $A D = 42$ , высота $B H = 16$ . Найти $B D$ .

$A H = 2 0^{2} - 1 6^{2} = 12$ , значит $HD = 42 - 12 = 30$ .
$B D = 1 6^{2} + 3 0^{2} = 34$ .

Длина отрезка: сдвиг на $m$ клеток по горизонтали и $n$ по вертикали даёт $m^{2} + n^{2}$ (сдвиг 3 и 4 — длина 5). Площадь: если стороны идут по линиям сетки — считаем клетки и применяем формулу; иначе достраиваем до прямоугольника и вычитаем лишние прямоугольные треугольники. Если клетка $5 \times 5$ мм, площадь в клетках умножаем на $25$ мм².

Практические задачи по Пифагору

Лестница сползла: длина $13$ , низ в $7, 8$ м от стены ⇒ верх на высоте $169 - 60, 84 = 10, 4$ . Если верх опустился на $Δ$ , найдите новую высоту и новое расстояние от стены по той же гипотенузе.
Сломанное дерево высотой $H$ , верхушка коснулась земли в $d$ от основания. Обломок стоит высотой $x$ , отломанная часть $H - x$ — гипотенуза: $x^{2} + d^{2} = (H - x)^{2}$ . Для $H = 27$ , $d = 9$ : $81 = 729 - 54 x$ , $x = 12$ .
Течение сносит: ширина реки — катет, путь относительно берега — гипотенуза, снос — второй катет: $12 5^{2} - 12 0^{2} = 35$ м.
Тросы мачты: трос от вершины до земли — гипотенуза, высота мачты и расстояние до основания — катеты. Сколько бы ни было одинаковых тросов, длина одного считается так же, затем умножается на их число.
Поместится ли палка на дно коробки: самое длинное положение — по диагонали, $2 7^{2} + 3 6^{2} = 45 < 46$ — не поместится.
Два столба высотой $14$ и $7$ на расстоянии $24$ : разность высот $7$ — катет, $2 4^{2} + 7^{2} = 25$ .
Крыша: половина ширины дома и высота конька — катеты, скат — гипотенуза.
Проверка прямого угла рамы: при сторонах $30$ и $40$ диагональ должна быть ровно $50$ (обратная теорема). Землемеры: верёвка с узлами $3 + 4 + 5 = 12$ частей.

Прежде чем проверять «прямоугольный ли треугольник», проверьте, существует ли он: каждая сторона меньше суммы двух других. Стороны $8$ , $26$ , $17$ : $8 + 17 = 25 < 26$ — такого треугольника нет.

Ещё типовые расчёты

Отношение катетов $21 : 20$ и гипотенуза $58$ : $(21 t)^{2} + (20 t)^{2} = (29 t)^{2} = 5 8^{2}$ ⇒ $t = 2$ , $P = 42 + 40 + 58 = 140$ .
Катет и «гипотенуза на $d$ больше другого катета»: $6 0^{2} + x^{2} = (x + 50)^{2}$ ⇒ $3600 = 100 x + 2500$ , $x = 11$ .
Прямоугольник: по периметру и стороне — вторая сторона, затем диагональ; по площади и стороне — так же. Стороны $3 : 4$ , диагональ $15$ ⇒ стороны $9$ и $12$ , $S = 108$ .
Равнобедренный треугольник по периметру: $P = 36$ , основание $10$ ⇒ боковые по $13$ , высота $12$ , $S = 60$ .
Диагональ равнобедренной трапеции: $B D^{2} = B H^{2} + H D^{2}$ , где $HD = \frac{A D + BC}{2}$ . Прямоугольная трапеция: большая боковая сторона — гипотенуза, разность оснований — катет, высота (меньшая боковая сторона) — второй катет.
Высота к наибольшей стороне: найдите площадь (по Герону или заметив тройку), затем $h = \frac{2 S}{a}$ . Стороны $14, 48, 50$ — тройка, $S = 336$ , $h = \frac{672}{50} = 13, 44$ .
Стороны треугольника $36$ , $48$ , $x$ ( $x$ — наибольшая): прямоугольный при $x = 60$ ; при $48 < x < 60$ — остроугольный.

Тема 07 · Геометрия · Глава VIII «Подобные треугольники»

Подобные треугольники: определение

Потренироваться: задания по теме →

Подобие треугольников Средняя линия треугольника

Простыми словами

Фотография и её увеличенная копия: все углы те же, а все размеры выросли в одно и то же число раз. Такие фигуры называют подобными, а это число — коэффициентом подобия.

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC

k = \frac{8}{4} = \frac{6}{3} = 2

Пропорциональные отрезки

Отношение отрезков $A B$ и $C D$ — отношение их длин $A B : C D$ (в одних единицах). Отрезки $A B$ и $C D$ пропорциональны отрезкам $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} D_{1}$ , если

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{C D}{C _{1} D _{1}} \Leftrightarrow A B \cdot C_{1} D_{1} = C D \cdot A_{1} B_{1}

в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла отрезки $3$ и $x$ на одной стороне, $4$ и $8$ на другой: $\frac{3}{x} = \frac{4}{8}$ , $x = 6$ .

Масштаб $1 : 50000$ : $1$ см на карте — $50000$ см $= 500$ м на местности.

Определение подобия

Треугольники подобны, если их углы соответственно равны и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Сходственные стороны лежат против равных углов.

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{C _{1} A _{1}}{C A} = k

k

— коэффициент подобия; запись

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC

Против большей стороны лежит больший угол, поэтому сходственны наименьшая с наименьшей, наибольшая с наибольшей.

$A B = 29$ , $BC = 19$ , $A_{1} B_{1} = 87$ : $k = \frac{87}{29} = 3$ , $B_{1} C_{1} = 19 \cdot 3 = 57$ .

$A_{1} B_{1} : A B = 21 : 5$ , $A_{1} B_{1} - A B = 48$ . Найти $A B$ .

$A_{1} B_{1} = 21 x$ , $A B = 5 x$ : $16 x = 48$ , $x = 3$ , $A B = 15$ .

Периметры и площади

\frac{P _{1}}{P} = k, \frac{S _{1}}{S} = k^{2}

периметры — как

k

, площади — как квадрат

k

Сходственные высоты, медианы, биссектрисы тоже относятся как $k$ . Если площади относятся как $9 : 25$ , то $k = 3 : 5$ .

$A B = 16$ , $A_{1} B_{1} = 32$ , $P_{A BC} = 55$ : $k = 2$ , $P_{1} = 110$ .
$A B = 12$ , $A_{1} B_{1} = 30$ , $S_{A BC} = 40$ : $k = 2, 5$ , $S_{1} = 40 \cdot 6, 25 = 250$ .

Площадь увеличивается не в $k$ , а в $k^{2}$ раз: стороны вдвое длиннее — площадь вчетверо больше.

Свойство биссектрисы треугольника

\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{BC}

B D

— биссектриса

△ A BC

: делит

A C

на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам

$A B = 4$ , $BC = 8$ , $A C = 6$ . Найти $A D$ .

$A D : D C = 4 : 8 = 1 : 2$ , то есть $A D = t$ , $D C = 2 t$ .
$3 t = 6$ , $A D = 2$ .

Удобный приём: $A D = A B \cdot t$ , $D C = BC \cdot t$ — к отрезку «прилипает» соседняя сторона.

Отношения, масштаб и сходственные стороны

Отношение отрезков находят в одних единицах: $A B = 2, 2$ дм $= 22$ см, $C D = 88$ см, $A B : C D = 22 : 88 = 1 : 4$ .
Деление в отношении: $PQ : QR : RS = 3 : 5 : 5$ , всего $13$ частей, $PS = 52$ ⇒ часть $4$ , $QR = 20$ . Если $PT : TQ = 3 : 4$ и $TQ$ длиннее на $2$ , то одна часть равна $2$ , $PT = 6$ .
Масштаб карты $1 : 1000000$ : 1 см на карте — $1000000$ см $= 10$ км. 21 км на местности — $2, 1$ см на карте. Обратно: $6, 5$ см при $1 : 250000$ — это $6, 5 \cdot 2, 5 = 16, 25$ км.
Увеличение фото, план, чертёж: все размеры умножаются на одно число. Фото $16 \times 6$ , длинная сторона стала $48$ ( $k = 3$ ) ⇒ короткая $18$ .

Сходственные стороны лежат против равных углов, и порядок букв в названии треугольников может не совпадать. Если $∠ K = ∠ R$ , $∠ L = ∠ P$ , $∠ M = ∠ Q$ , то $K L \leftrightarrow RP$ , $L M \leftrightarrow PQ$ , $M K \leftrightarrow QR$ . Из $K L = 5$ , $RP = 3$ , $L M = 7$ : $PQ = 7 \cdot \frac{3}{5} = 4, 2$ . Если углы не даны, сопоставляют наименьшую с наименьшей, среднюю со средней, наибольшую с наибольшей.

Задачи на k и k²

Сумма или разность периметров: стороны $3 : 5$ , сумма периметров $64$ ⇒ $P_{1} = 3 t$ , $P_{2} = 5 t$ , $8 t = 64$ , $P_{1} = 24$ , $P_{2} = 40$ .
По площадям — $k$ : площади $2$ и $32$ ⇒ $k^{2} = 16$ , $k = 4$ . Площади $16$ и $81$ ⇒ $k = \frac{9}{4}$ ; периметр большего $36$ ⇒ меньшего $16$ .
Сходственные медианы (высоты) $10$ и $16$ ⇒ $k = 1, 6$ , площади отличаются в $2, 56$ раза.
План и площадь: при масштабе $1 : 1000$ площадь на местности в $100 0^{2}$ раз больше: $13 см^{2} \cdot 1 0^{6} = 13 \cdot 1 0^{6} см^{2} = 1300 м^{2}$ .
Отсечённый треугольник: $D E ∥ BC$ , $A D : A B = 2 : 7$ ⇒ $△ A D E \sim △ A BC$ с $k = \frac{2}{7}$ , $S_{A D E} = S_{A BC} \cdot \frac{4}{49}$ .

Биссектриса: ещё случаи

По периметру: $A K = 7$ , $K B = 10$ , $P = 51$ ⇒ $A B = 17$ , $A C + BC = 34$ и $A C : BC = 7 : 10$ , значит $A C = 14$ , $BC = 20$ .
Отрезки отличаются на $d$ : $B L : L C = A B : A C$ ; обозначьте $B L = A B \cdot t$ , $L C = A C \cdot t$ , из разности найдите $t$ .
Биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении катетов: $A C = 42$ , $BC = 56$ , гипотенуза $70$ , отрезки $70 \cdot \frac{3}{7} = 30$ и $40$ .
Равнобедренный треугольник с основанием $A C = 4$ и боковыми $6$ : биссектриса $A D$ делит $BC$ в отношении $A B : A C = 6 : 4$ , $B D = 3, 6$ , $D C = 2, 4$ .

Тема 08 · Геометрия · Глава VIII «Подобные треугольники»

Признаки подобия треугольников

Потренироваться: задания по теме →

Подобие треугольников

Простыми словами

Чтобы доказать подобие, не нужно проверять все углы и все стороны. Достаточно одного из трёх «коротких» признаков — так же, как для равенства треугольников.

Признак	Что проверить
1-й — по двум углам	два угла одного равны двум углам другого
2-й — по двум сторонам и углу	$\frac{A B}{MN} = \frac{A C}{M K}$ и $∠ A = ∠ M$ — угол между этими сторонами
3-й — по трём сторонам	$\frac{A B}{MN} = \frac{BC}{N K} = \frac{C A}{K M}$

Первый признак: по двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны (третьи углы тоже равны — сумма $18 0^{\circ}$ ).

D E ∥ A C

⇒

△ D BE \sim △ A BC

(соответственные углы равны)

$D E ∥ A C$ , $B D = 4$ , $D A = 5$ , $A C = 9$ . Найти $D E$ .

$△ D BE \sim △ A BC$ : $∠ B$ общий, $∠ B D E = ∠ B A C$ .
$k = \frac{B D}{B A} = \frac{4}{9}$ , $D E = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$ .

В пропорцию берут всю сторону $B A = B D + D A = 9$ , а не отрезок $D A$ .

Прямая ∥ сторонеОтсекает треугольник, подобный данному.

«Бабочка»

A B ∥ C D

, отрезки

A C

B D

пересекаются в

O

△ A OB \sim △ CO D

ПрямоугольныеПодобны, если у них равны острые углы.

«Бабочка»: $A O = 3$ , $OC = 9$ , $A B = 14$ : $k = 3$ , $C D = 42$ .

Второй и третий признаки

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключённые между этими сторонами, равны, — треугольники подобны.

$A B = 10$ , $A C = 14$ , $MN = 30$ , $M K = 42$ , $∠ A = ∠ M$ , $∠ B = 10 0^{\circ}$ . Найти $∠ N$ .

$\frac{A B}{MN} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ , $\frac{A C}{M K} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$ , угол между ними равен ⇒ $△ A BC \sim △ MN K$ .
$∠ N = ∠ B = 10 0^{\circ}$ .

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого — треугольники подобны.

Подобны ли треугольники $12; 4; 11$ и $10; 32; 27, 5$ ?

Упорядочим: $4, 11, 12$ и $10; 27, 5; 32$ .
$\frac{10}{4} = 2, 5$ , $\frac{27 , 5}{11} = 2, 5$ , но $\frac{32}{12} \approx 2, 67$ — не подобны.

Сравнивайте наименьшую с наименьшей, среднюю со средней, наибольшую с наибольшей — все три отношения должны совпасть.

Параллельные прямые и алгоритм

Стороны угла $O$ пересечены параллельными $A C ∥ B D$ ; $O A = 9$ , $A B = 18$ , $OC = 5$ . $△ O A C \sim △ OB D$ , $k = \frac{27}{9} = 3$ : $O D = 15$ , $C D = 15 - 5 = 10$ .

Три параллельные прямые на двух секущих отсекают пропорциональные отрезки: $\frac{A B}{BC} = \frac{D E}{EF}$ ; $\frac{5}{20} = \frac{20}{EF}$ , $EF = 80$ .

Найти пару подобных треугольников и назвать признак.
Выписать соответствие вершин: против равных углов — сходственные стороны.
Составить пропорцию и найти неизвестное.

Где искать подобные треугольники

Конфигурация	Подобны	Пропорция
диагонали трапеции	$△ BOC \sim △ D O A$ (по двум углам)	$\frac{BO}{O D} = \frac{CO}{O A} = \frac{BC}{A D}$
высота к гипотенузе	$△ A C H \sim △ A BC \sim △ CB H$	$C H^{2} = A H \cdot H B$
высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$	$△ A A_{1} C \sim △ B B_{1} C$ (угол $C$ общий, прямые углы)	$\frac{C A _{1}}{C B _{1}} = \frac{A C}{BC}$
$∠ A C D = ∠ A BC$ , $D$ на $A B$	$△ A C D \sim △ A BC$ (угол $A$ общий)	$A C^{2} = A D \cdot A B$
перпендикуляр $M K$ к гипотенузе из точки катета	$△ A M K \sim △ A BC$ (угол $A$ общий, прямые углы)	$\frac{M K}{BC} = \frac{A M}{A B}$

Трапеция: $BO = 9$ , $O D = 36$ , $BC = 2$ ⇒ $k = 4$ , $A D = 8$ . Высоты: $A C = 26$ , $BC = 30$ , $C A_{1} = 20, 8$ ⇒ $C B_{1} = \frac{20 , 8 \cdot 30}{26} = 24$ . Угол $A C D$ : $A D = 12$ , $A B = 27$ ⇒ $A C = 324 = 18$ .

Если точки $D$ и $E$ на сторонах $A B$ и $A C$ , но $D E$ не параллельна $BC$ , проверьте «перевёрнутое» соответствие: $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ даёт $△ A D E \sim △ A CB$ . При $A B = 11$ , $A C = 10$ , $A D = 4$ , $A E = 4, 4$ : $k = 0, 4$ , $D E = 0, 4 \cdot BC$ .

Подбор данных и контрпримеры

Найти третью сторону, чтобы треугольники были подобны: стороны $3, 4, 5$ и две стороны $9$ и $15$ ⇒ $k = 3$ , третья $12$ .
Найти сторону для второго признака: $A B = 4$ , $A C = 12$ , $MN = 12$ , $∠ A = ∠ M$ ⇒ $k = 3$ , $M K = 36$ .
Найти угол для первого признака: у $△ A BC$ углы $11 7^{\circ}$ , $3 5^{\circ}$ , $2 8^{\circ}$ ; при $∠ M = 11 7^{\circ}$ нужен $∠ N = 3 5^{\circ}$ (или $2 8^{\circ}$ при другом соответствии).
Отношения периметров и площадей по трём сторонам: стороны $5, 5, 8$ и $12, 5; 12, 5; 20$ ⇒ $k = 2, 5$ , площадь больше в $6, 25$ раза. Если периметр больше в $2, 5$ раза, то и каждая сторона.
Прямоугольные треугольники подобны, если равны острые углы или катеты пропорциональны: $3, 4$ и $8, 5; 10$ не подобны ( $\frac{10}{4} \neq = \frac{8 , 5}{3}$ ).

Любые два равносторонних треугольника; равнобедренные с равными углами при вершине (например, $15 0^{\circ}$ ); прямоугольные равнобедренные. Не всегда: два равнобедренных, два прямоугольных, треугольники с одной парой равных углов или с двумя пропорциональными сторонами без равного угла между ними. Подобные треугольники не обязательно равны.

Тема 09 · Геометрия · Глава VIII «Подобные треугольники»

Применение подобия к решению задач

Потренироваться: задания по теме →

Подобие треугольников Средняя линия треугольника

Простыми словами

Подобие — универсальный инструмент: стоит найти два подобных треугольника, и неизвестный отрезок находится из пропорции. Так измеряют высоту дерева по тени, не залезая на него.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине: если $M, N$ — середины $A B$ и $A C$ , то $MN ∥ BC$ , $MN = \frac{BC}{2}$ .

$△ A MN \sim △ A BC$ с $k = \frac{1}{2}$ : периметр меньше в $2$ раза, площадь — в $4$ раза. Три средние линии делят треугольник на $4$ равных треугольника.

$BC = 17$ ⇒ $MN = 8, 5$ . Стороны $9$ , $10$ , $11$ ⇒ $P_{A MN} = \frac{30}{2} = 15$ . $S_{A BC} = 132$ ⇒ $S_{A MN} = \frac{132}{4} = 33$ .

Середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма, периметр которого равен сумме диагоналей четырёхугольника.

Медианы

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр масс, центроид), которая делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины: $A O = \frac{2}{3} A A_{1}$ , $O A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}$ .

В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 24$ , $BC = 18$ , $O$ — точка пересечения медиан, $M$ — середина $A B$ . Найти $OM$ .

$A B = 2 4^{2} + 1 8^{2} = 30$ , медиана $CM = 15$ .
$OM = \frac{1}{3} CM = 5$ .

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота

C H

делит треугольник на два, подобных исходному

Отрезок $X Y$ — среднее пропорциональное между $A B$ и $C D$ , если $X Y^{2} = A B \cdot C D$ .

C H^{2} = A H \cdot H B, A C^{2} = A B \cdot A H, B C^{2} = A B \cdot H B

высота — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы; катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции

$A B = 145$ , $A H = 81$ : $H B = 64$ , $C H = 81 \cdot 64 = 72$ .

$BC = 24$ , $A C = 32$ . Найти проекцию $A H$ .

$A B = 3 2^{2} + 2 4^{2} = 40$ .
$A H = \frac{A C ^{2}}{A B} = \frac{1024}{40} = 25, 6$ .

Проекция катета $A C$ — отрезок $A H$ , прилежащий к этому же катету, а не $H B$ .

Измерительные работы

Высоту предмета находят по тени (тени пропорциональны высотам), с помощью зеркала (угол падения равен углу отражения) или шеста; расстояние до недоступной точки — построением подобного треугольника. Всегда составляют пропорцию сходственных сторон.

Короткое плечо шлагбаума $1$ м, его конец опустился на $0, 2$ м, а конец длинного поднялся на $0, 7$ м. Найти длинное плечо.

Треугольники подобны (вертикальные углы у оси, прямые углы): $\frac{x}{1} = \frac{0 , 7}{0 , 2}$ .
$x = 3, 5$ м.

Четыре замечательные точки

Пересекаются в одной точке	Свойство точки
биссектрисы	равноудалена от сторон (центр вписанной окружности)
серединные перпендикуляры к сторонам	равноудалена от вершин (центр описанной окружности)
высоты (или их продолжения)	ортоцентр
медианы	делит каждую в отношении $2 : 1$ от вершины

Серединный перпендикуляр к отрезку — множество точек, равноудалённых от концов отрезка. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

«Биссектриса — от сторон, серединный перпендикуляр — от вершин»: биссектриса делит угол между сторонами, перпендикуляр — отрезок между вершинами.

Фонарь, тень, зеркало, река

Фонарь на высоте $6$ м, человек ростом $2$ м стоит в $3$ м от столба. Длина тени $x$ ?

Треугольники «столб — конец тени» и «человек — конец тени» подобны (общий угол, прямые углы).
$\frac{6}{2} = \frac{3 + x}{x}$ ⇒ $6 x = 6 + 2 x$ ⇒ $x = 1, 5$ м.

Тени в один момент пропорциональны высотам: рост $2$ м — тень $2, 5$ м, флагшток — тень $15$ м ⇒ высота $2 \cdot \frac{15}{2 , 5} = 12$ м.
Зеркальце на земле: угол падения равен углу отражения, треугольники «глаза — зеркало» и «вершина — зеркало» подобны: $\frac{H}{h} = \frac{от зеркала до предмета}{от зеркала до человека}$ . Измеряют рост до глаз и оба расстояния.
Ширина реки: $△ A BO \sim △ E D O$ (вертикальные углы при $O$ и прямые углы), $\frac{A B}{E D} = \frac{BO}{O D}$ .
Шлагбаум: подъём концов пропорционален длинам плеч. Короткое $1, 5$ м опустилось на $0, 5$ м, длинное $4, 5$ м поднимется на $1, 5$ м.
Фотография: отношение высот на снимке равно отношению настоящих высот.
Средняя линия на местности: если $M$ , $N$ — середины $C A$ и $CB$ , то $A B = 2 MN$ — достаточно измерить $MN$ .

Медианы, биссектрисы и высоты: числа

Медианы делятся $2 : 1$ : $A O = \frac{2}{3} A A_{1}$ , $O A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}$ , $A O = 2 \cdot O A_{1}$ . Если $A O = 4 x - 14$ , $O A_{1} = x + 4$ , то $4 x - 14 = 2 (x + 4)$ , $x = 11$ , $A A_{1} = 3 \cdot 15 = 45$ .
Медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей: $S_{A OB} = \frac{1}{3} S_{A BC}$ , $S_{A O B_{1}} = \frac{1}{6} S_{A BC}$ .
В прямоугольном треугольнике точка пересечения медиан удалена от вершины прямого угла на $\frac{2}{3}$ медианы к гипотенузе, то есть на $\frac{c}{3}$ ( $78 : 3 = 26$ ).
Биссектрисы углов $A$ и $B$ : $∠ A OB = 9 0^{\circ} + \frac{∠ C}{2}$ . Точка пересечения биссектрис удалена от всех сторон на $r = \frac{2 S}{P}$ (стороны $13, 24, 13$ , $S = 60$ : $r = \frac{120}{50} = 2, 4$ ). Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.
Высоты остроугольного треугольника: $∠ A H B = 18 0^{\circ} - ∠ C$ .
Серединный перпендикуляр к $A B$ пересекает $A C$ в $D$ : $D A = D B$ , поэтому $∠ A B D = ∠ B A C$ . Аналогично периметр $△ A B D$ при перпендикуляре к $A C$ равен $A B + BC$ .
В равностороннем треугольнике все замечательные точки совпадают; центр делит высоту $2 : 1$ , до вершины $\frac{2}{3} h$ ( $63 \to 42$ ).
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы: катеты $25$ и $60$ , гипотенуза $65$ , $R = 32, 5$ .
Средняя линия отсекает четверть площади, поэтому трапеция под ней — $\frac{3}{4}$ треугольника: $99 = \frac{3}{4} S$ ⇒ $S = 132$ .

Тема 10 · Геометрия · Глава VIII «Подобные треугольники»

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Потренироваться: задания по теме →

Синус и косинус Тригонометрия

Простыми словами

Чем круче горка, тем выше она поднимается на каждый метр пути. «Крутизна» — это отношение сторон, и оно зависит только от угла, а не от размера горки. Синус, косинус и тангенс — три таких отношения.

Если у двух прямоугольных треугольников равны острые углы, они подобны, поэтому отношения их сторон одинаковы. Значит, по углу можно найти отношение сторон, а по отношению — угол.

Определения

∠ C = 9 0^{\circ}

; для угла

A

катет

a = BC

противолежащий,

b = A C

прилежащий

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего катета к прилежащему.

sin A = \frac{a}{c} = \frac{BC}{A B}, cos A = \frac{b}{c} = \frac{A C}{A B}, tg A = \frac{a}{b} = \frac{BC}{A C}

a

— катет против угла

A

b

— катет при угле

A

c

— гипотенуза

Полезные следствия:

$tg A = \frac{sin A}{cos A}$ ;
$0 < sin A < 1$ и $0 < cos A < 1$ — катет короче гипотенузы;
для двух острых углов одного треугольника: $sin A = cos B$ , $cos A = sin B$ , $tg A \cdot tg B = 1$ (катет, противолежащий углу $A$ , прилежит к углу $B$ ).

Катеты прямоугольного треугольника 3 и 4, угол $β$ лежит против катета 3. Найдём $tg β$ и $sin β$ .

$tg β = \frac{противолежащий}{прилежащий} = \frac{3}{4}$ .
Гипотенуза: $3^{2} + 4^{2} = 5$ , поэтому $sin β = \frac{3}{5}$ .

Косинус — катет, который коснулся угла (прилежащий). Синус — катет «напротив». Тангенс — катет на катет, гипотенузы в нём нет.

Основное тригонометрическое тождество

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

следует из теоремы Пифагора:

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}} = 1

Для острого угла отсюда: $cos A = 1 - sin^{2} A$ , $sin A = 1 - cos^{2} A$ . Разделив тождество на $cos^{2} A$ , получим $1 + tg^{2} A = \frac{1}{cos ^{2} A}$ .

В треугольнике $D EF$ угол $F$ прямой, $sin D = \frac{12}{13}$ , $D F = 30$ . Найти $EF$ .

$cos D = 1 - \frac{144}{169} = \frac{5}{13}$ .
$D F$ прилежит к углу $D$ : $cos D = \frac{D F}{D E}$ , $D E = \frac{30 \cdot 13}{5} = 78$ .
$EF = D E \cdot sin D = 78 \cdot \frac{12}{13} = 72$ .

Острые углы — $D$ и $E$ , $tg D = 0, 25$ . Тогда $tg E = \frac{1}{0 , 25} = 4$ .

Углы 30°, 45° и 60°

Угол	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы. При угле $4 5^{\circ}$ треугольник равнобедренный — катеты равны.

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 70$ . Найти $BC$ .

$BC$ прилежит к углу $B$ : $BC = A B \cdot cos 6 0^{\circ} = 70 \cdot \frac{1}{2} = 35$ .
Иначе: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , а $BC$ лежит против него — половина гипотенузы, $35$ .

Синусы $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ : $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}$ — под корнем 1, 2, 3. Косинусы — те же числа в обратном порядке.

Как находить стороны

противолеж . = c \cdot sin α, прилеж . = c \cdot cos α, противолеж . = прилеж . \cdot tg α

c

— гипотенуза,

α

— острый угол

В практической задаче (горка, пандус, лестница, самолёт, тень) сначала находим прямоугольный треугольник: наклонный путь — гипотенуза, высота — катет против угла наклона, расстояние по земле — прилежащий катет.

Горка длиной 72 м наклонена под углом $3 0^{\circ}$ . Высота — катет против $3 0^{\circ}$ : $72 \cdot \frac{1}{2} = 36$ м.

Самолёт поднимается под углом $α$ , $sin α = 0, 1$ , поднялся на 3 км. Путь — гипотенуза: $\frac{3}{0 , 1} = 30$ км.

В прямоугольнике $A BC D$ : $A D = 60$ , $A C = 75$ . Найти $sin ∠ C A D$ .

Треугольник $A C D$ прямоугольный ( $∠ D = 9 0^{\circ}$ ), $A C$ — гипотенуза.
$C D = 7 5^{2} - 6 0^{2} = 45$ , $sin ∠ C A D = \frac{C D}{A C} = \frac{45}{75} = 0, 6$ .

Противолежащий и прилежащий катет зависят от того, о каком угле речь: для $∠ A$ и $∠ B$ они меняются местами. И не делите на синус там, где нужно умножать: катет $= c \cdot sin α$ , а гипотенуза $= \frac{катет}{s i n α}$ .

Частые задания: тождество, выражения, равнобедренный треугольник

Ошибки: $cos α \neq = 1 - sin α$ и $cos α \neq = 1 - sin^{2} α$ — верно $cos α = 1 - sin^{2} α$ : при $sin α = \frac{35}{37}$ получаем $cos α = \frac{144}{1369} = \frac{12}{37}$ . И $tg α = \frac{s i n α}{c o s α}$ , а не наоборот.
Может ли пара быть синусом и косинусом одного угла: проверьте $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ (например, $\frac{12}{13}$ и $\frac{5}{13}$ — да).
Выражения: $8 - 8 cos^{2} α = 8 sin^{2} α$ ; $(sin^{2} α - 1) \cdot 90 + 90 = 90 sin^{2} α$ ; $2 sin^{2} α + 2 cos^{2} α - 1 = 1$ . Значения $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ подставляют из таблицы: $7 tg^{2} 6 0^{\circ} + 10 sin 3 0^{\circ} cos 6 0^{\circ} = 21 + 2, 5 = 23, 5$ .
По тангенсу найти синус и косинус: $tg α = \frac{5}{12}$ — катеты $5$ и $12$ , гипотенуза $13$ , $cos α = \frac{12}{13}$ , $39 cos α = 36$ .
Периметр по тангенсу или косинусу: $tg A = \frac{15}{8}$ , $A C = 32$ ⇒ $BC = 60$ , $A B = 68$ , $P = 160$ .
Равнобедренный треугольник: высота $B H$ к основанию делит его пополам, $cos A = \frac{A H}{A B} = \frac{A C /2}{A B}$ ; $B H = A H \cdot tg A$ . С углом $12 0^{\circ}$ при вершине углы при основании $3 0^{\circ}$ , высота — половина боковой стороны.
Уравнения с углом $3 0^{\circ}$ : $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B + BC = 93$ , $BC = \frac{A B}{2}$ ⇒ $1, 5 A B = 93$ , $A B = 62$ . Угол по сторонам: катет вдвое меньше гипотенузы ⇒ противолежащий угол $3 0^{\circ}$ ; равные катеты ⇒ $4 5^{\circ}$ .
Высота к гипотенузе при угле $3 0^{\circ}$ : $BC = 29$ , $A B = 58$ , $B H = BC sin 3 0^{\circ} = 14, 5$ , $A H = 58 - 14, 5 = 43, 5$ .

Крутизна склона сравнивается по тангенсу угла: «подъём 1 м на 3 м по горизонтали» круче, чем «1 м на 4 м». Двускатная крыша: половина ширины дома — прилежащий катет, высота конька $= \frac{ширина}{2} \cdot tg α$ , длина ската $= \frac{ширина /2}{c o s α}$ .

Тема 11 · Геометрия · Глава IX «Окружность»

Окружность и прямые: касательная, взаимное расположение

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Колесо на дороге касается её ровно в одной точке, и спица, идущая в эту точку, стоит строго вертикально — перпендикулярно дороге. Дорога — касательная, спица — радиус.

Касательная — прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку (точку касания).

СвойствоКасательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

ПризнакПрямая, проходящая через конец радиуса на окружности и перпендикулярная этому радиусу, — касательная.

Касательные из одной точки

P A = PB

O A ⊥ P A

OB ⊥ PB

PO

— биссектриса

∠ A PB

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $P A = PB$ ; центр $O$ лежит на биссектрисе $∠ A PB$ . В четырёхугольнике $O A PB$ углы $A$ и $B$ прямые, поэтому $∠ A OB + ∠ A PB = 18 0^{\circ}$ .

P A = P O^{2} - r^{2}

длина касательной:

△ O A P

прямоугольный,

r

— радиус,

PO

— расстояние до центра

$r = 7$ , $PO = 25$ : $P A = 625 - 49 = 576 = 24$ .

$∠ A PB = 14 6^{\circ}$ ⇒ $∠ A OB = 18 0^{\circ} - 14 6^{\circ} = 3 4^{\circ}$ .
$∠ OPT = 4 0^{\circ}$ , $PT$ — касательная ⇒ $∠ POT = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ .

Прямая и окружность

$d$ — расстояние от центра до прямой, $r$ — радиус.

Условие	Общих точек	Прямая
$d < r$	две	секущая
$d = r$	одна	касательная
$d > r$	нет	не пересекает

Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам: $(\frac{A B}{2})^{2} = r^{2} - d^{2}$ .

$r = 13$ , хорда на расстоянии $d = 5$ от центра: $\frac{A B}{2} = 169 - 25 = 12$ , $A B = 24$ .

Две окружности

$R \geq r$ — радиусы, $d$ — расстояние между центрами.

Условие	Расположение	Общих касательных
$d > R + r$	общих точек нет, лежат вне друг друга	4
$d = R + r$	внешнее касание	3
$R - r < d < R + r$	пересекаются в двух точках	2
$d = R - r$	внутреннее касание	1
$d < R - r$	одна внутри другой	0

Внешнее касание, радиусы $33$ и $2, 5$ : $d = 35, 5$ .
Внутреннее касание, $d = 9$ , радиусы $1 : 4$ : $4 x - x = 9$ , $x = 3$ , больший радиус $12$ .

При внутреннем касании расстояние между центрами — разность радиусов, а не сумма.

Угол между касательной и хордой

∠ M A B = \frac{⌣ A B}{2}

M A

— касательная,

A B

— хорда,

⌣ A B

— дуга внутри угла

Дуга $A B$ внутри угла $20 6^{\circ}$ : $∠ M A B = 10 3^{\circ}$ .

Видите касательную — сразу проведите радиус в точку касания: появится прямой угол, а с ним теорема Пифагора и сумма острых углов $9 0^{\circ}$ .

Термины и быстрые факты

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; диаметр — хорда через центр, $d = 2 R$ ; секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Длина окружности $C = 2 π R$ .
Касательные в концах диаметра перпендикулярны ему, значит параллельны, а расстояние между ними равно диаметру. Окружность, касающаяся двух параллельных прямых, имеет диаметр, равный расстоянию между ними.
Если $∠ OPT = 3 0^{\circ}$ , то радиус $OT$ — катет против угла $3 0^{\circ}$ , и $OP = 2 R$ . Если $∠ TOP = 6 0^{\circ}$ — тоже $OP = 2 R$ .
Отрезок $OP$ пересекает окружность в точке $K$ : $P K = OP - R$ . Задачи вида « $PT = 36$ , $P K = \dots$ » решают уравнением $(R + P K)^{2} = R^{2} + P T^{2}$ .
$PT$ на 2 меньше $OP$ , $R = 10$ : $(x + 2)^{2} = x^{2} + 100$ ⇒ $4 x = 96$ , $PT = 24$ .
Касательная в конце диаметра $A B$ и точка $C$ на ней: $△ A BC$ прямоугольный с прямым углом $B$ , $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

Окружность в углу, ремни, монеты, трубы

Круг в прямом углу (стол или бочка у стены): центр, две точки касания и вершина угла образуют квадрат, поэтому расстояние от угла до точки касания равно радиусу.
Третья касательная отсекает от угла треугольник с периметром $P A + PB = 2 P A$ : каждый отрезок касательной из вершины треугольника заменяется равным.
Окружность, вписанная в угол: $PO$ — биссектриса, $∠ A PB = 2∠ OP A$ ; меньшая дуга $A B$ равна $18 0^{\circ} - ∠ A PB$ .
Монеты в ряд: между центрами соседних $2 r$ ; у $n$ монет расстояние между крайними центрами $(n - 1) \cdot 2 r$ . При $n = 7$ и $156$ мм: $r = 13$ мм.
Три попарно касающиеся окружности: $r_{1} + r_{2} = O_{1} O_{2}$ и т. д. Сложив три равенства, получим $r_{1} + r_{2} + r_{3} = \frac{32 + 38 + 34}{2} = 52$ , откуда $r_{3} = 52 - 32 = 20$ .

Радиусы $60$ и $21$ , расстояние между осями $89$ . Прямой участок ремня $A B$ — общая касательная.

Радиусы в точки касания перпендикулярны $A B$ , получаем прямоугольную трапецию.
Опустим перпендикуляр: катеты $A B$ и $60 - 21 = 39$ , гипотенуза $89$ .
$A B = 8 9^{2} - 3 9^{2} = 6400 = 80$ см.

Радиус $5$ , ширина воды $6$ , уровень ниже центра. Расстояние от центра до поверхности $25 - 9 = 4$ , глубина $5 - 4 = 1$ .

Параллельные хорды по разные стороны от центра: расстояние между ними — сумма расстояний от центра (для $R = 5$ , хорд $6$ и $8$ : $4 + 3 = 7$ ); по одну сторону — разность.

Целые расстояния: прямая пересекает окружность при $d < R$ (при $R = 35$ наибольшее целое $d = 34$ ), имеет общую точку при $d \leq R$ . Окружности пересекаются в двух точках при $R - r < d < R + r$ ; хотя бы одна общая точка — при $R - r \leq d \leq R + r$ .

Тема 12 · Геометрия · Глава IX «Окружность»

Центральные и вписанные углы

Потренироваться: задания по теме →

Вписанный угол

Простыми словами

Представим круглую сцену. Прожектор в центре видит кусок края под одним углом, а зритель на краю сцены — тот же кусок под углом вдвое меньше. И где бы зритель ни сел на краю (по ту же сторону), угол будет одинаковым.

Центральный

∠ A OB = 12 0^{\circ}

, вписанный

∠ A CB = 6 0^{\circ}

— оба опираются на дугу

A B

Две точки делят окружность на две дуги, их сумма $36 0^{\circ}$ ; полуокружность — $18 0^{\circ}$ .
Центральный угол (вершина в центре) равен дуге, на которую опирается.
Вписанный угол (вершина на окружности, стороны — хорды) равен половине дуги, на которую опирается.

Следствия о вписанных углах

На одну дугуВписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

На диаметрВписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), — прямой:

9 0^{\circ}

Центральный и вписанныйНа одну дугу: центральный вдвое больше вписанного.

$A B$ — диаметр, $∠ C A B = 7 1^{\circ}$ . Найти $∠ A BC$ .

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ — опирается на диаметр.
$∠ A BC = 9 0^{\circ} - 7 1^{\circ} = 1 9^{\circ}$ .

$O$ — центр, вписанный $∠ A CB = 6 9^{\circ}$ . Найти $∠ O A B$ .

Центральный $∠ A OB = 2 \cdot 6 9^{\circ} = 13 8^{\circ}$ .
$O A = OB$ (радиусы), $△ A OB$ равнобедренный: $∠ O A B = \frac{18 0 ^{\circ} - 13 8 ^{\circ}}{2} = 2 1^{\circ}$ .
Обратно: $∠ O A B = 1 6^{\circ}$ ⇒ $∠ A OB = 14 8^{\circ}$ ⇒ $∠ A CB = 7 4^{\circ}$ .

$A, B, C, D$ на окружности, $D$ на дуге $BC$ , $∠ B A C = 6 1^{\circ}$ , $∠ A D B = 7 8^{\circ}$ . Найти $∠ A BC$ .

$∠ A CB = ∠ A D B = 7 8^{\circ}$ — опираются на одну дугу $A B$ .
$∠ A BC = 18 0^{\circ} - 6 1^{\circ} - 7 8^{\circ} = 4 1^{\circ}$ .

Если $C$ лежит на меньшей дуге $A B$ , вписанный угол опирается на большую дугу: $∠ A CB = \frac{36 0 ^{\circ} - ∠ A OB}{2}$ .

Касательная, хорды, секущие

Где вершина угла	Чему равен угол
на окружности: касательная и хорда	$\frac{1}{2}$ дуги, заключённой внутри угла
внутри круга (две хорды)	$\frac{1}{2}$ суммы дуги угла и дуги вертикального ему угла
вне круга (две секущие)	$\frac{1}{2}$ разности дальней и ближней дуг

∠ P = \frac{⌣ _{дальн} - ⌣ _{ближн}}{2}

угол между секущими из точки

P

вне круга

Дуги $16 1^{\circ}$ и $2 9^{\circ}$ : $∠ P = \frac{16 1 ^{\circ} - 2 9 ^{\circ}}{2} = 6 6^{\circ}$ . Дуги $13 5^{\circ}$ и $12 3^{\circ}$ : $\frac{1 2 ^{\circ}}{2} = 6^{\circ}$ .

Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $P$ , $∠ B A C = 3 2^{\circ}$ , $∠ A B D = 2 1^{\circ}$ . В $△ A BP$ : $∠ A PB = 18 0^{\circ} - 3 2^{\circ} - 2 1^{\circ} = 12 7^{\circ}$ .

Отрезки пересекающихся хорд

A P \cdot PB = CP \cdot P D

хорды

A B

C D

пересекаются в точке

P

Доказательство: $△ A PC \sim △ D PB$ (углы при $P$ вертикальные, $∠ C A B = ∠ C D B$ — на одну дугу).

$A P = 24$ , $PB = 11$ , $CP = 12$ : $P D = \frac{24 \cdot 11}{12} = 22$ .

$A P = 22$ , $PB = 18$ , $C D = 45$ . Найти меньший из $CP$ и $P D$ .

$CP = x$ , $P D = 45 - x$ : $x (45 - x) = 22 \cdot 18 = 396$ .
$x^{2} - 45 x + 396 = 0$ , $x = 12$ или $x = 33$ . Меньший — $12$ .

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. А «половина» — ключевое слово темы: вписанный угол, касательная с хордой, хорды и секущие — везде половина дуг.

Дуги: части, отношения, часы

Две точки делят окружность на дуги, сумма которых $36 0^{\circ}$ : если меньшая дуга $5 0^{\circ}$ , большая — $31 0^{\circ}$ (не $13 0^{\circ}$ ).
Дуги в отношении $a : b : c$ : вся окружность — $a + b + c$ частей. Дуги $6 : 8 : 1$ : одна часть $36 0^{\circ} : 15 = 2 4^{\circ}$ , дуги $14 4^{\circ}$ , $19 2^{\circ}$ , $2 4^{\circ}$ .
Если одна дуга на $d$ больше другой: $x + (x + d) = 36 0^{\circ}$ , $x = \frac{36 0 ^{\circ} - d}{2}$ .
Точки делят окружность на $n$ равных дуг: каждая дуга $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ . Угол $A_{1} O A_{k}$ охватывает $k - 1$ дуг: при $n = 24$ угол $A_{1} O A_{5} = 4 \cdot 1 5^{\circ} = 6 0^{\circ}$ . Так же считают углы между спицами колеса и кабинками колеса обозрения.
Часы: минутная стрелка проходит $6^{\circ}$ в минуту, часовая — $3 0^{\circ}$ в час ( $0, 5^{\circ}$ в минуту), секундная — $6^{\circ}$ в секунду. В 8:30 часовая стрелка посередине между 8 и 9, минутная — на 6: угол $2, 5 \cdot 3 0^{\circ} = 7 5^{\circ}$ .

Если $A B = R$ , треугольник $A OB$ равносторонний, поэтому $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ : меньшая дуга $6 0^{\circ}$ , большая $30 0^{\circ}$ . Вписанный угол на большей дуге — $3 0^{\circ}$ , на меньшей — $\frac{30 0 ^{\circ}}{2} = 15 0^{\circ}$ . И наоборот: дуга $6 0^{\circ}$ ⇒ хорда равна радиусу.

В треугольнике $A OB$ стороны $O A = OB$ — радиусы, поэтому углы при основании равны: $∠ O A B = \frac{18 0 ^{\circ} - ∠ A OB}{2}$ .

Вписанный угол на диаметре: задачи

Если $A B$ — диаметр, то $△ A BC$ прямоугольный с гипотенузой $A B$ . Отсюда:

острые углы в сумме $9 0^{\circ}$ ; $∠ A BC = \frac{1}{2} ⌣ A C$ ;
теорема Пифагора: $A B = 26$ , $A C = 24$ ⇒ $BC = 2 6^{2} - 2 4^{2} = 10$ ;
катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы, то есть радиусу: $∠ A BC = 3 0^{\circ}$ , $A C = 17$ ⇒ $R = 17$ ;
центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы;
два диаметра $A B$ и $C D$ — диагонали прямоугольника $A CB D$ : $A D = CB$ , $A C^{2} + A D^{2} = (2 R)^{2}$ .

Вершину прямого угла угольника приложили к краю круга, стороны пересекли край на расстояниях 42 и 56 см. Диаметр — гипотенуза: $4 2^{2} + 5 6^{2} = 70$ см.

Касательные и секущие из одной точки

Угол между касательной и хордой равен половине дуги внутри угла: $∠ M A B = 3 3^{\circ}$ ⇒ дуга $6 6^{\circ}$ . Если дан центральный угол $A OB = 6 8^{\circ}$ , то $∠ M A B = 3 4^{\circ}$ . Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен углу между касательной и хордой.
Две касательные $P A$ , $PB$ : в четырёхугольнике $O A PB$ углы $A$ и $B$ прямые, поэтому $∠ A PB = 18 0^{\circ} - ⌣ A B$ (меньшей дуги). $∠ A PB = 7 3^{\circ}$ ⇒ дуга $10 7^{\circ}$ .
Касательная и секущая из точки $P$ : угол равен полуразности дальней и ближней дуг, как у двух секущих: дуги $19 6^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ дают $\frac{19 6 ^{\circ} - 6 0 ^{\circ}}{2} = 6 8^{\circ}$ .
Из формулы для секущих находят и дугу: угол $1 6^{\circ}$ , дальняя дуга $14 8^{\circ}$ ⇒ ближняя $14 8^{\circ} - 2 \cdot 1 6^{\circ} = 11 6^{\circ}$ .

Хорда, диаметр и радиус

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Это даёт два частых приёма.

Хорда $24$ , высота сегмента (наибольшая ширина отколотого куска) $9$ . Найти $R$ .

Половина хорды $12$ , расстояние от центра до хорды $R - 9$ .
Пифагор: $R^{2} = 1 2^{2} + (R - 9)^{2}$ ⇒ $0 = 144 - 18 R + 81$ ⇒ $R = 12, 5$ .

По теореме о хордах для диаметра $A B ⊥ C D$ : $CP \cdot P D = A P \cdot PB$ , и $CP = P D$ , значит $C P^{2} = 49 \cdot 25$ , $CP = 35$ , $C D = 70$ .

Хорда через точку $P$ внутри круга, $OP = d$ : проведём через $P$ диаметр, его отрезки $R - d$ и $R + d$ , поэтому $CP \cdot P D = R^{2} - d^{2}$ . При $R = 14$ , $d = 4$ , $CP = 15$ : $P D = \frac{196 - 16}{15} = 12$ .

Тема 13 · Геометрия · Глава IX «Окружность»

Вписанная и описанная окружности

Потренироваться: задания по теме →

Вписанный угол

Простыми словами

Из треугольного куска фанеры нужно выпилить самый большой круг — он коснётся всех трёх сторон: это вписанная окружность. А самая маленькая круглая скатерть, накрывающая треугольный стол целиком (для не тупоугольного стола), пройдёт через все углы — это описанная окружность.

ОписаннаяВсе вершины многоугольника лежат на окружности. Радиус

R

ВписаннаяОкружность касается всех сторон многоугольника. Радиус

r

Окружности треугольника

Прямоугольный треугольник: центр

O

описанной окружности — середина гипотенузы, центр

I

вписанной — точка пересечения биссектрис

Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам: $O A = OB = OC = R$ .

остроугольный треугольник — центр внутри;
прямоугольный — центр в середине гипотенузы, $R = \frac{c}{2}$ , медиана к гипотенузе равна $R$ ;
тупоугольный — центр вне треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Её центр — точка пересечения биссектрис; он всегда внутри треугольника и удалён от всех сторон на $r$ .

S = p \cdot r, p = \frac{a + b + c}{2}

S

— площадь,

p

— полупериметр,

r

— радиус вписанной окружности

Отрезки касательных из одной вершины равны; от вершины $A$ до точки касания — $p - BC$ .

Описанная — серединные перпендикуляры (центр равноудалён от вершин). Вписанная — биссектрисы (центр равноудалён от сторон).

Прямоугольный и равносторонний треугольники

R = \frac{c}{2}, r = \frac{a + b - c}{2}

a, b

— катеты,

c

— гипотенуза

Катеты $BC = 48$ , $C A = 14$ . Найти $r$ .

$c = 4 8^{2} + 1 4^{2} = 2500 = 50$ .
$r = \frac{48 + 14 - 50}{2} = 6$ .

Катеты 20 и 48: $c = 400 + 2304 = 52$ , $R = \frac{52}{2} = 26$ .

В равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, поэтому центры обеих окружностей совпадают с точкой пересечения медиан. Она делит высоту $h$ в отношении $2 : 1$ от вершины:

R = \frac{2}{3} h, r = \frac{1}{3} h, R = 2 r

Вписанный четырёхугольник

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ : $∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ . Обратно: если сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ , около четырёхугольника можно описать окружность.

Поэтому из параллелограммов описать окружность можно только около прямоугольника ( $R$ — половина диагонали), из трапеций — только около равнобедренной.

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Тогда противоположный угол $∠ C = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ .

Описанный четырёхугольник

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $A B + C D = BC + A D$ . Обратно: если в выпуклом четырёхугольнике это так, в него можно вписать окружность.

из параллелограммов вписать окружность можно только в ромб (и квадрат); высота ромба $= 2 r$ , сторона квадрата $= 2 r$ ;
в трапеции: сумма оснований = сумме боковых сторон, высота $= 2 r$ ;
площадь любого описанного многоугольника $S = p \cdot r$ .

Не путайте признаки: для вписанного четырёхугольника — суммы противоположных углов ( $18 0^{\circ}$ ), для описанного — суммы противоположных сторон равны.

Углы с центрами окружностей

Центр описанной $O$ : $O A = OB = OC$ , треугольники $A OB$ , $BOC$ , $CO A$ равнобедренные. Центральный угол вдвое больше вписанного: $∠ A OB = 2∠ C$ (в остроугольном), отсюда $∠ O A B = ∠ OB A = 9 0^{\circ} - ∠ C$ . При $∠ C = 4 6^{\circ}$ : $∠ O A B = 4 4^{\circ}$ ; при $∠ OB A = 4 2^{\circ}$ : $∠ C = 4 8^{\circ}$ .
В прямоугольном треугольнике $O$ — середина гипотенузы, $OC = OB$ : $∠ OCB = ∠ B = 9 0^{\circ} - ∠ A$ , а $∠ BOC = 2∠ A$ ( $∠ A = 6 5^{\circ}$ ⇒ $13 0^{\circ}$ ).
Центр вписанной $I$ лежит на биссектрисах: $∠ I A C = \frac{∠ A}{2}$ , $∠ B I C = 9 0^{\circ} + \frac{∠ A}{2}$ , $∠ A I B = 9 0^{\circ} + \frac{∠ C}{2}$ . Если $∠ A I B = 11 7^{\circ}$ , то $∠ C = 5 4^{\circ}$ .
Где центр описанной окружности — по наибольшему углу: меньше $9 0^{\circ}$ — внутри, равен — на середине стороны, больше — снаружи. Центр вписанной всегда внутри.

Радиусы: ещё формулы и приёмы

Описанная около равнобедренного треугольника с основанием $b$ и высотой $h$ : центр на высоте, $(h - R)^{2} + (\frac{b}{2})^{2} = R^{2}$ . Основание $24$ , высота $5$ : $(5 - R)^{2} + 144 = R^{2}$ ⇒ $R = 16, 9$ (центр вне треугольника).
Вписанная в равнобедренный: $r = \frac{S}{p}$ . Стороны $45, 45, 54$ : $h = 36$ , $S = 972$ , $p = 72$ , $r = 13, 5$ .
Отрезки касательных: от вершины $A$ до точки касания — $p - a$ , где $a$ — противолежащая сторона. $D E = 15$ , $EF = 20$ , $F D = 19$ , $p = 27$ : $EM = p - F D = 8$ . Если $CP = 3$ и $A B = 6$ , то $P = 2 (6 + 3) = 18$ .
Прямоугольный треугольник: $a + b = 2 r + c = 2 r + 2 R$ . При $r = 9$ , $R = 37, 5$ : $a + b = 93$ , $P = 168$ . Точка касания делит гипотенузу на отрезки $x$ и $y$ : катеты $x + r$ и $y + r$ .
Ромб: $r = \frac{h}{2}$ , $h = a sin α$ . Сторона $15$ , угол $3 0^{\circ}$ : $h = 7, 5$ , $r = 3, 75$ . По площади: $r = \frac{S}{2 a}$ .
Трапеция с вписанной окружностью: $a + b = c + d$ , поэтому средняя линия равна полусумме боковых сторон, $P = 2 (a + b)$ ; в равнобедренной боковая сторона $= \frac{a + b}{2}$ (основания $12$ и $27$ ⇒ $19, 5$ ). Высота $= 2 r$ ; при основаниях $9$ и $16$ : боковая $12, 5$ , высота $12, 5^{2} - 3, 5^{2} = 12$ , $r = 6$ .
Вписанный четырёхугольник через вписанные углы: $∠ B A D = 18 0^{\circ} - 2 2^{\circ} - 4 8^{\circ} = 11 0^{\circ}$ , $∠ BC D = 18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ . Внешний угол при $G$ равен внутреннему углу при противоположной вершине $E$ .
Прямоугольник в окружности: диагональ — диаметр. Диаметр $40$ , сторона $32$ ⇒ другая сторона $24$ .

Тема 14 · Геометрия · Итоговое повторение

Итоговое повторение геометрии 8 класса

Потренироваться: задания по теме →

Теорема Пифагора

Простыми словами

Весь курс 8 класса — это четыре «полки»: четырёхугольники, площади, подобие с тригонометрией и окружность. Задача почти всегда решается одной-двумя формулами с этих полок; важно узнать, с какой полки она.

Читайте утверждение целиком и сверяйте со формулировкой учебника. Слово «любой» значит «всегда» — опровергает его один контрпример (ромб с углом $6 0^{\circ}$ , прямоугольник $2 \times 5$ , равнобедренная трапеция).

Типичные ловушки: свойство выдано за признак («если диагонали равны, то это прямоугольник» — неверно, контрпример — равнобедренная трапеция), «сумма» вместо «произведения», «половина» вместо «квадрата». Пример верного: «Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей», «Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту».

Многоугольники и четырёхугольники

S_{n} = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

сумма углов выпуклого

n

-угольника

Фигура	Главные свойства
Параллелограмм	противоположные стороны и углы равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам
Прямоугольник	все углы $9 0^{\circ}$ , диагонали равны
Ромб	все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делят углы пополам
Трапеция	средняя линия $m = \frac{a + b}{2}$ ( $a$ , $b$ — основания)

$A C = BC$ , $∠ C = 14 2^{\circ}$ . Найти внешний угол при $A$ .

$∠ A = ∠ B = \frac{18 0 ^{\circ} - 14 2 ^{\circ}}{2} = 1 9^{\circ}$ .
Внешний: $18 0^{\circ} - 1 9^{\circ} = 16 1^{\circ}$ .

Площади и теорема Пифагора

Фигура	Площадь	Обозначения
Параллелограмм	$S = ah$	$a$ — сторона, $h$ — высота к ней
Треугольник	$S = \frac{1}{2} ah$	$a$ — сторона, $h$ — высота к ней
Ромб	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$	$d_{1}, d_{2}$ — диагонали
Трапеция	$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$	$a, b$ — основания, $h$ — высота

Если угол между сторонами $a$ и $b$ параллелограмма равен $3 0^{\circ}$ , то $h = \frac{b}{2}$ и $S = \frac{ab}{2}$ .

c^{2} = a^{2} + b^{2}

теорема Пифагора:

c

— гипотенуза,

a, b

— катеты

Высота

C H

к гипотенузе:

h = \frac{ab}{c}

Катеты $27$ и $36$ . Найти высоту к гипотенузе.

$c = 2 7^{2} + 3 6^{2} = 2025 = 45$ .
Площадь двумя способами: $\frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 36 = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot h$ , $h = \frac{27 \cdot 36}{45} = 21, 6$ .

Плитка-ромб с диагоналями $40$ см и $25$ см. Сколько плиток на $2, 8 м^{2}$ ?

$S_{плитки} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 25 = 500 см^{2}$ .
$2, 8 м^{2} = 28000 см^{2}$ ; $28000 : 500 = 56$ .

$1 м^{2} = 10000 см^{2}$ , а не $100$ : переводим квадратные единицы с множителем $10 0^{2}$ .

Подобие и тригонометрия

Признаки подобия: по двум углам; по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; по трём пропорциональным сторонам. Периметры подобных треугольников относятся как $k$ , площади — как $k^{2}$ .

sin A = \frac{a}{c}, cos A = \frac{b}{c}, tg A = \frac{a}{b}

a

— катет против

∠ A

b

— прилежащий катет,

c

— гипотенуза

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 4$ , $tg A = \frac{3}{4}$ . Найти $A B$ .

$tg A = \frac{BC}{A C}$ ⇒ $BC = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$ .
$A B = 4^{2} + 3^{2} = 5$ .

Окружность

• Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны.
• Центральный угол равен дуге, вписанный — половине дуги; угол между касательной и хордой — половине дуги внутри него.
• Хорды: $A P \cdot PB = CP \cdot P D$ .
• Вписанный четырёхугольник: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ; описанный: $A B + C D = BC + A D$ .

$O$ — центр, $∠ O A B = 4 2^{\circ}$ , $C$ на большей дуге $A B$ . Найти $∠ A CB$ .

$O A = OB$ : $∠ A OB = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 4 2^{\circ} = 9 6^{\circ}$ .
$∠ A CB = \frac{9 6 ^{\circ}}{2} = 4 8^{\circ}$ . (Если дан $∠ A OB = 13 6^{\circ}$ , то сразу $∠ A CB = 6 8^{\circ}$ .)

Перед решением спросите себя: «Есть ли прямой угол? Есть ли окружность? Есть ли параллельные прямые?» — ответ подскажет полку с формулами.

Ещё приёмы для четырёхугольников и треугольников

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при вершине) равна $36 0^{\circ}$ .
Соседние углы параллелограмма в сумме $18 0^{\circ}$ : углы в отношении $1 : 4$ — это $3 6^{\circ}$ и $14 4^{\circ}$ .
Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник: $B K = A B = 5$ , тогда $K C = A D - A B = 11 - 5 = 6$ .
Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому $△ A O D$ равнобедренный: $∠ A O D = 8 6^{\circ}$ ⇒ $∠ O A D = 4 7^{\circ}$ . Диагонали ромба — биссектрисы его углов и перпендикулярны: $∠ A = 4 2^{\circ}$ ⇒ $∠ A B D = \frac{18 0 ^{\circ} - 4 2 ^{\circ}}{2} = 6 9^{\circ}$ ; стороны ромба по диагоналям $18$ и $24$ : $9^{2} + 1 2^{2} = 15$ .
Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине; треугольник из средних линий имеет периметр вдвое меньше исходного.
Равнобедренная трапеция с углом $4 5^{\circ}$ : высота равна полуразности оснований, $h = \frac{33 - 15}{2} = 9$ . С углом $6 0^{\circ}$ : проекция боковой стороны равна её половине, $b = 6 + 2 \cdot 5 = 16$ .

	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

Поэтому « $tg 6 0^{\circ} = 1$ » — неверно. Треугольник со сторонами $4, 5, 6$ не прямоугольный: $4^{2} + 5^{2} = 41 \neq = 36$ .

Ещё формулы площадей и пропорции

S = \frac{1}{2} ab sin C

a

b

— две стороны,

C

— угол между ними;

sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

Стороны $8$ и $27$ , угол $3 0^{\circ}$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 27 \cdot \frac{1}{2} = 54$ . Параллелограмм: $S = ab sin α$ , при $7$ , $14$ и $15 0^{\circ}$ получаем $49$ .
Медиана делит треугольник на два равновеликих: $S_{A BM} = \frac{132}{2} = 66$ . Треугольник с основанием $A D$ и вершиной на $BC$ параллелограмма — половина его площади ( $52$ из $104$ ); $△ A BM$ с $M$ — серединой $BC$ — четверть ( $36$ из $144$ ).
Средняя линия отсекает треугольник с $k = \frac{1}{2}$ , его площадь — четверть: $40 : 4 = 10$ . При $D E ∥ BC$ и $A D : D B = 3 : 4$ : $k = \frac{3}{7}$ , $S_{A D E} = 245 \cdot \frac{9}{49} = 45$ .
Площадь по клеткам: длины оснований и высоты считают по клеткам и подставляют в формулу (или достраивают фигуру до прямоугольника и вычитают лишние треугольники).
Высота параллелограмма к другой стороне: $S = 21 \cdot 6 = 126$ , $h_{2} = 126 : 9 = 14$ .

Если $C H$ — высота к гипотенузе: $C H^{2} = A H \cdot H B$ , $A C^{2} = A H \cdot A B$ , $B C^{2} = B H \cdot A B$ . Пример: $A H = 9$ , $H B = 4$ ⇒ $C H = 36 = 6$ ; $A H = 8$ , $A B = 18$ ⇒ $A C = 144 = 12$ .

Окружность: расстояния и касательные

Расстояние от центра до хорды: перпендикуляр из центра делит хорду пополам, $R^{2} = d^{2} + (\frac{A B}{2})^{2}$ . $R = 17$ , $A B = 16$ ⇒ $d = 15$ ; $A B = 56$ , $d = 21$ ⇒ $R = 35$ .
Отрезок касательной: $OT ⊥ PT$ , поэтому $O P^{2} = R^{2} + P T^{2}$ . $R = 9$ , $PT = 40$ ⇒ $OP = 41$ .
Две касательные $P A$ , $PB$ : $∠ A PB + ∠ A OB = 18 0^{\circ}$ ; $P A = PB$ , и при $∠ A PB = 6 0^{\circ}$ треугольник $P A B$ равносторонний — $∠ P A B = 6 0^{\circ}$ .
Касательная $MN$ и хорда $A B$ образуют смежные углы: $∠ N A B = 18 0^{\circ} - ∠ M A B$ .
Дуги в отношении $5 : 6 : 9$ : наименьшая дуга $\frac{5}{20} \cdot 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ , наименьший угол треугольника — половина, $4 5^{\circ}$ .

Геометрия: теория

Оглавление

Многоугольники

Простыми словами

Диагонали

Сумма углов

Четырёхугольник

Обратные задачи о правильных многоугольниках

Стороны, углы и уравнения

Параллелограмм и трапеция

Простыми словами

Параллелограмм: свойства и признаки

Биссектриса угла параллелограмма

Трапеция и средняя линия

Равнобедренная трапеция и теорема Фалеса

Параллелограмм: углы, высоты, периметры

Признаки с уравнениями и координатами

Трапеция: типовые ходы

Прямоугольник, ромб, квадрат. Симметрия

Простыми словами

Прямоугольник

Ромб и квадрат

Симметрия

Углы и расстояния в прямоугольнике и ромбе

Практика: рамки, заборы, проверка формы

Симметрия: ещё правила

Площадь многоугольника

Простыми словами

Квадрат и прямоугольник

Единицы площади

Треугольники с общей высотой

Практические задачи на площадь

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Простыми словами

Параллелограмм и треугольник

Трапеция

Ромб, квадрат, составные фигуры

Обратные задачи и изменения размеров

Площади частей фигур

Теорема Пифагора

Простыми словами

Теорема Пифагора

Обратная теорема и пифагоровы тройки

Формула Герона

Пифагор в других фигурах

Практические задачи по Пифагору

Ещё типовые расчёты

Подобные треугольники: определение

Простыми словами

Пропорциональные отрезки

Определение подобия

Периметры и площади

Свойство биссектрисы треугольника

Отношения, масштаб и сходственные стороны

Задачи на k и k²

Биссектриса: ещё случаи

Признаки подобия треугольников

Простыми словами

Первый признак: по двум углам

Второй и третий признаки

Параллельные прямые и алгоритм

Где искать подобные треугольники

Подбор данных и контрпримеры

Применение подобия к решению задач

Простыми словами

Медианы

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Измерительные работы

Четыре замечательные точки

Фонарь, тень, зеркало, река

Медианы, биссектрисы и высоты: числа

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Простыми словами

Определения

Основное тригонометрическое тождество

Углы 30°, 45° и 60°

Как находить стороны

Частые задания: тождество, выражения, равнобедренный треугольник

Окружность и прямые: касательная, взаимное расположение

Простыми словами