Тема 04 · Геометрия · Глава VII «Площадь» · подтема 1 из 4

Площадь прямоугольника и квадрата

Площадь многоугольника. 283 задания.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Площадь показывает, сколько единичных квадратиков (и их частей) поместится внутри фигуры. Пол $4 \times 3$ м выкладывают $12$ плитками $1 \times 1$ м — его площадь $12 м^{2}$ .

Площадь многоугольника — величина той части плоскости, которую он занимает. Единица — квадрат со стороной, равной единице длины ( $1 см^{2}$ , $1 м^{2}$ и т. д.).

1°. Равные многоугольники имеют равные площади.
2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников (без общих внутренних точек), его площадь равна сумме их площадей.
3°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Фигуры с равными площадями — равновеликие; фигуры, совмещаемые наложением, — равные. Равные всегда равновелики, обратное неверно: прямоугольник $2 \times 8$ и квадрат $4 \times 4$ равновелики, но не равны.

Квадрат и прямоугольник

S = a^{2}, S = ab

a

— сторона квадрата;

a

b

— смежные стороны прямоугольника

Квадрат со стороной $11$ : $S = 121$ . Прямоугольник $9 \times 11$ : $S = 99$ .

Если обе стороны увеличить в $k$ раз, площадь вырастет в $k^{2}$ раз. Из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Рамка: внешний прямоугольник $10 \times 8$ , внутренний $6 \times 4$ . Найти площадь рамки.

$S = 10 \cdot 8 - 6 \cdot 4 = 80 - 24 = 56$ .

Сложную фигуру либо разбивают на прямоугольники и складывают площади, либо достраивают до большого прямоугольника и вычитают лишнее.

Единицы площади

Единица	Равна
$1 см^{2}$	$100 мм^{2}$
$1 дм^{2}$	$100 см^{2}$
$1 м^{2}$	$100 дм^{2} = 10000 см^{2}$
$1$ а (сотка)	$100 м^{2}$
$1$ га	$100$ а $= 10000 м^{2}$
$1 км^{2}$	$100$ га $= 1000000 м^{2}$

В СИ единица площади — квадратный метр. Если единица длины в $10$ раз больше, единица площади больше в $10 \cdot 10 = 100$ раз.

$1 м = 100 см$ , но $1 м^{2} = 10000 см^{2}$ — множитель возводится в квадрат.

Треугольники с общей высотой

Треугольники $A BM$ и $A MC$ имеют общую высоту из $A$ , поэтому их площади относятся как основания.

S_{A BM} : S_{A MC} = BM : MC

\frac{S _{A BM}}{S _{A BC}} = \frac{BM}{BC}

M

на стороне

BC

; высота из

A

общая

$BM = 5$ , $MC = 8$ , $S_{A BC} = 65$ : $S_{A BM} = 65 \cdot \frac{5}{13} = 25$ .

$M$ — середина $BC$ , $K$ — середина $A M$ , $S_{A BC} = 360$ . Найти $S_{A B K}$ .

Медиана делит треугольник на два равновеликих: $S_{A BM} = 180$ .
$B K$ — медиана $△ A BM$ : $S_{A B K} = 90$ .

Практические задачи на площадь

Площадь, периметр, сторона: по периметру квадрата $56$ сторона $14$ , площадь $196$ ; по площади $132$ и стороне $11$ вторая сторона $12$ , периметр $2 (11 + 12) = 46$ . Стороны в отношении $2 : 7$ и площадь $504$ : $2 x \cdot 7 x = 504$ , $x^{2} = 36$ , меньшая сторона $12$ .
Изменение размеров: длину увеличили в 3 раза, ширину уменьшили в 2 раза — площадь умножится на $\frac{3}{2} = 1, 5$ . Сторону квадрата увеличили на 3 и площадь выросла на 45: $(a + 3)^{2} - a^{2} = 6 a + 9 = 45$ , $a = 6$ .
Дорожка вокруг клумбы $7 \times 18$ шириной $0, 5$ : внешний прямоугольник $8 \times 19$ , площадь дорожки $152 - 126 = 26 м^{2}$ . Рамка вокруг фото — так же.
Две перпендикулярные дорожки шириной 1 через газон $8 \times 6$ : $8 \cdot 1 + 6 \cdot 1 - 1 = 13$ (квадрат пересечения посчитан дважды).
Вырезаны квадраты по углам листа $28 \times 16$ , осталось $348$ : $448 - 4 x^{2} = 348$ , $x = 5$ .
Плитка: стену $7 \times 3$ м покрывают плитками $0, 5 \times 0, 5$ м: $\frac{21}{0 , 25} = 84$ плитки. Площади переводят в одни единицы.
Покраска стен: площадь стен $=$ периметр пола $\times$ высота, минус окно и дверь: $4 \cdot 7 \cdot 2, 7 - 1, 4 \cdot 1, 5 - 0, 8 \cdot 2 = 71, 9 м^{2}$ .
Урожай: поле $170 \times 290$ м $= 49300 м^{2} = 4, 93$ га; по 51 ц/га — $251, 43$ ц.

При масштабе $1 : k$ длины на местности в $k$ раз больше, а площади — в $k^{2}$ раз: план $1 : 1000$ уменьшает площадь в $1000000$ раз. Удобнее сначала перевести размеры: при $1 : 200$ отрезок $2, 5$ см на плане — это $5$ м.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Гектары в квадратные метры Квадратные метры в гектары Квадратные метры в сотки

Серия: 0