Интерактивные тренажёры

Площади и радиусы 9 класс

Формула Герона, радиусы вписанной и описанной окружностей, отношения площадей. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий

Теория, модели и калькуляторы

Теория
Читать теорию темы
Калькуляторы
Площадь треугольника
01 Формула Герона и высоты100 заданий › 02 Радиусы вписанной и описанной окружностей100 заданий › 03 Площадь через синус угла100 заданий › 04 Отношения площадей100 заданий › 05 Медианы, биссектрисы и площадь100 заданий ›
Учителю

Готовые работы по теме

Собраны заранее — одним нажатием: распечатать с ключом, раздать ученикам ссылкой или QR-кодом, поменять настройки. Номер набора постоянный: по этой ссылке всегда та же работа.

Самостоятельная

10 заданий · 2 варианта · с ключом

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Контрольная

15 заданий · онлайн, 40 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Диагностика перед темой

8 заданий · 15 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

теория этой темы, 8 заданий по подтемам и ключ — файлом DOCX, который можно править под себя.

Учителю о теме

Что проверяется

  • Формула Герона и высоты
  • Радиусы вписанной и описанной окружностей
  • Площадь через синус угла
  • Отношения площадей
  • Медианы, биссектрисы и площадь

Содержание

На бумаге — не больше 25: дальше лист перестаёт быть работой на урок. Онлайн — до 40.

Не нравится задание в собранном листе — нажмите «заменить» под ним: вместо него встанет другое из той же подтемы.

Варианты

Разные задания при одинаковом наборе тем и одинаковом числе заданий.

Прохождение онлайн

Имя ученика никуда не отправляется: он вводит только номер по списку, а таблицу «номер → фамилия» видите только вы.

Оценка
Печать

Собранный лист можно скачать файлом Word — кнопка «Скачать DOCX» над листом: задания, место под решение и ключ, всё редактируется.

Печатается над каждым вариантом. Хранится только в этом браузере, в ссылку не попадает.

По одному и тому же номеру собирается та же работа — ссылку можно сохранить и вернуться к ней позже.

Классы, выданные работы и результаты учеников по кодам — в журнале учителя: без регистрации, хранится только на этом компьютере.

Выберите тему, чтобы начать.

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Найдите наибольшую высоту треугольника ABC:
AB = 34, BC = 18, AC = 20
Показать ответ
Ответ: 16
Решение. Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне 18. Площадь по формуле Герона: p = (18 + 20 + 34) : 2 = 36; S = √(36·18·16·2) = √20736 = 144. h = 2S : 18 = 288 : 18 = 16.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC:
AB = 10, BC = 17, AC = 9
Показать ответ
Ответ: 2
Решение. По формуле Герона p = 18, S = √(18·9·8·1) = 36. r = S : p = 36 : 18 = 2.
Диагонали четырёхугольника ABCD равны d₁ и d₂. Найдите его площадь:
AC = 13, BD = 13, cos φ = 1213, φ — угол между диагоналями
Показать ответ
Ответ: 32,5
Решение. sin φ = √(1 − (1213)²) = 513. S = ½·d₁·d₂·sin φ = ½·13·13·513 = 32,5.
Точки D, E, F лежат на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC. Найдите площадь треугольника DEF:
AD : DB = 4 : 1, BE : EC = 1 : 4, CF : FA = 3 : 2, S(ABC) = 200
Показать ответ
Ответ: 32
Решение. Отрежем от ABC три угловых треугольника. S(ADF) = S·(ADAB)·(AFAC) = S·0,8·0,4, S(BED) = S·0,2·0,2, S(CFE) = S·0,6·0,8. Их сумма — 0,84 от S, значит S(DEF) = 200·(1 − 0,84) = 32.
Медианы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке G. Найдите площадь четырёхугольника CA₁GB₁:
S(ABC) = 324
Показать ответ
Ответ: 108
Решение. Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей по 324 : 6 = 54. Четырёхугольник CA₁GB₁ состоит из двух частей: GA₁C и GB₁C, поэтому искомая площадь равна 13·324 = 108.