Длина окружности и площадь круга

Окружность, круг, сектор, дуга и кольцо. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Если обмотать ниткой банку, а потом измерить нитку, она окажется чуть больше трёх диаметров банки. Для любой окружности это отношение одно и то же — число $π \approx 3, 14$ .

ОкружностьЛиния: все точки на расстоянии

r

от центра. У неё есть длина.

КругЧасть плоскости внутри окружности. У него есть площадь.

Основные формулы

C = 2 π r = π d, S = π r^{2}

C

— длина окружности,

S

— площадь круга,

r

— радиус,

d = 2 r

— диаметр,

π \approx 3, 14

Круг, сектор с центральным углом

α

, кольцо между радиусами

R

r

$r = 5$ : $C = 2 \cdot 3, 14 \cdot 5 = 31, 4$ ; $S = 3, 14 \cdot 25 = 78, 5$ . При $r = 23$ : $S = 3, 14 \cdot 529 = 1661, 06$ .

В площади радиус возводится в квадрат до умножения на $π$ : $π r^{2} \neq = (π r)^{2}$ . И не путайте радиус с диаметром: если дан $d$ , сначала $r = \frac{d}{2}$ .

Дуга, сектор, сегмент, кольцо

Дуга и сектор — это доля $\frac{α}{36 0 ^{\circ}}$ от всей окружности или всего круга.

l = 2 π r \cdot \frac{α}{36 0 ^{\circ}}, S_{сект} = π r^{2} \cdot \frac{α}{36 0 ^{\circ}}

l

— длина дуги,

α

— центральный угол в градусах

S_{кольца} = π (R^{2} - r^{2})

R

— внешний,

r

— внутренний радиус

Полукруг — сектор в $18 0^{\circ}$ : $S = \frac{π r ^{2}}{2}$ . Круговой сегмент — часть круга, отсекаемая хордой; при дуге меньше полуокружности его площадь = площадь сектора − площадь треугольника.

$r = 18$ , $α = 12 0^{\circ}$ : доля $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ , $S = 3, 14 \cdot 324 \cdot \frac{1}{3} = 339, 12$ .

$r = 19$ , $α = 9 0^{\circ}$ : $l = 2 \cdot 3, 14 \cdot 19 \cdot \frac{1}{4} = 29, 83$ .

$R = 12$ , $r = 7$ : $S = 3, 14 \cdot (144 - 49) = 3, 14 \cdot 95 = 298, 3$ .

Площадь кольца — $π (R^{2} - r^{2})$ , а не $π (R - r)^{2}$ : $(12 - 7)^{2} = 25$ , а нужно $144 - 49 = 95$ .

Удобные доли: $9 0^{\circ}$ — четверть, $12 0^{\circ}$ — треть, $13 5^{\circ}$ — $\frac{3}{8}$ , $6 0^{\circ}$ — шестая, $4 5^{\circ}$ — восьмая часть.

Как меняются длина и площадь

Радиус увеличили в	Длина окружности	Площадь круга
2 раза	в 2 раза	в 4 раза
3 раза	в 3 раза	в 9 раз
$k$ раз	в $k$ раз	в $k^{2}$ раз

Длина зависит от радиуса линейно, площадь — квадратично. Это общее правило для всех подобных фигур.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Площадь круга Площади, периметры и объёмы

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

длина окружности вычисляется по формуле C = 2πr

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Длина окружности пропорциональна радиусу: C = 2πr = πd.

площадь круга вычисляется по формуле S = πr²

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

длина дуги в α градусов равна (2πr·α)/360°

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Дуга — это часть окружности, пропорциональная своему градусному углу.

площадь кругового сектора с углом α равна (πr²·α)/360°

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Сектор — часть круга, пропорциональная центральному углу.

круговой сегмент — это часть круга, отсекаемая хордой

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Сегмент ограничен хордой и стягиваемой ею дугой.

площадь сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника (для дуги меньше полуокружности)

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Из сектора вырезают треугольник с вершиной в центре.

если радиус круга увеличить в 3 раза, его площадь увеличится в 9 раз

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Площадь пропорциональна квадрату радиуса: 3² = 9.

если радиус окружности увеличить в 3 раза, её длина увеличится в 9 раз

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Длина пропорциональна первой степени радиуса, поэтому увеличится в 3 раза.