Задание 16. Окружность — ОГЭ по математике

Центральные и вписанные углы, касательные, хорды. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

Почти все задачи задания 16 решаются тремя фактами: вписанный угол вдвое меньше центрального, радиус в точку касания перпендикулярен касательной, два радиуса и хорда образуют равнобедренный треугольник.

∠ A CB = \frac{1}{2} ∠ A OB

: оба опираются на дугу

A B

Центральный и вписанный углы

Центральный угол — вершина в центре; он равен своей дуге. Вписанный угол — вершина на окружности, стороны — хорды; он равен половине дуги, на которую опирается.

∠ A CB = \frac{1}{2} ∠ A OB = \frac{1}{2} ⌣ A B

вписанный угол = половина центрального = половина дуги

$∠ A CB = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ .

$∠ A OB = 2 \cdot 4 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$ . Ответ: $80$ .

Дуга $A B = 14 0^{\circ}$ . Найдите вписанный угол.

$14 0^{\circ} : 2 = 7 0^{\circ}$ . Ответ: $70$ .

Следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Вся окружность — $36 0^{\circ}$ .

Хорда и радиусы

$O A = OB$ (радиусы), поэтому треугольник $A OB$ равнобедренный и $∠ O A B = ∠ OB A$ .

$∠ O A B = 2 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ .

$∠ OB A = 2 8^{\circ}$ .
$∠ A OB = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 2 8^{\circ} = 12 4^{\circ}$ . Ответ: $124$ .

Касательная

Касательная имеет с окружностью одну общую точку и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Отрезки касательных из одной точки равны.

Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, $6 1^{\circ}$ . Найдите угол между хордой и радиусом.

Радиус и касательная образуют $9 0^{\circ}$ .
Хорда делит этот прямой угол: $9 0^{\circ} - 6 1^{\circ} = 2 9^{\circ}$ . Ответ: $29$ .

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними, — как вписанный угол.

Не путайте: центральный угол в два раза больше вписанного, а не наоборот. Проверка: центр «ближе» к дуге — угол шире.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Площадь круга

Примеры заданий 16 ОГЭ по математике

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

К окружности с центром O проведена касательная. Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен 61°. Найдите угол между этой хордой и радиусом.

Показать ответ

Ответ: 29
Решение. 90° − 61° = 29°.

OA и OB — радиусы окружности, AB — хорда. Угол OAB равен 28°. Найдите центральный угол AOB.

Показать ответ

Ответ: 124
Решение. 180° − 2 · 28° = 124°.

Вписанный угол ACB равен 40°. Найдите центральный угол AOB, опирающийся на ту же дугу.

Показать ответ

Ответ: 80
Решение. 40° · 2 = 80°.

Дуга AB окружности равна 140°. Найдите вписанный угол, опирающийся на эту дугу.

Показать ответ

Ответ: 70
Решение. 140° : 2 = 70°.

Центральный угол AOB равен 30°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу.

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. 30° : 2 = 15°.