Задание 15. Треугольник — ОГЭ по математике

Углы, стороны, высоты и медианы треугольника. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

Задание 15 — задача на один шаг по свойству треугольника. Почти всегда хватает одного факта: сумма углов равна $18 0^{\circ}$ , плюс особые свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников.

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

сумма углов любого треугольника

$∠ A = 8 8^{\circ}$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 8 8^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 2^{\circ}$ . Ответ: $52$ .

Внешний угол

Внешний угол при

C

— между стороной

BC

и продолжением

A C

Внешний угол смежен с внутренним, поэтому $∠_{внеш} = 18 0^{\circ} - ∠ C$ . Он же равен сумме двух других углов: $∠_{внеш} = ∠ A + ∠ B$ .

Внутренний угол $10 9^{\circ}$ . Найдите смежный внешний.

$18 0^{\circ} - 10 9^{\circ} = 7 1^{\circ}$ . Ответ: $71$ .

Равнобедренный и прямоугольный

РавнобедренныйБоковые стороны равны, углы при основании равны: угол при вершине

= 18 0^{\circ} - 2 \cdot ∠_{осн}

. Медиана к основанию является и высотой, и биссектрисой.

ПрямоугольныйОдин угол

9 0^{\circ}

, острые углы в сумме дают

9 0^{\circ}

. Гипотенуза

c

лежит против прямого угла:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Угол при основании $8 0^{\circ}$ . Найдите угол при вершине.

$18 0^{\circ} - 2 \cdot 8 0^{\circ} = 2 0^{\circ}$ . Ответ: $20$ .

Один острый угол $1 9^{\circ}$ . Найдите второй.

$9 0^{\circ} - 1 9^{\circ} = 7 1^{\circ}$ . Ответ: $71$ .

В равнобедренном треугольнике сначала поймите, какой угол дан — при основании или при вершине. Если дан угол при вершине $β$ , то угол при основании $\frac{18 0 ^{\circ} - β}{2}$ .

Ещё факты для задания 15

Элемент	Что делает
Медиана	соединяет вершину с серединой противоположной стороны
Биссектриса	делит угол пополам
Высота	перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей сторону
Средняя линия	соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине

В прямоугольном треугольнике: $sin A = \frac{a}{c}$ , $cos A = \frac{b}{c}$ , $tg A = \frac{a}{b}$ , где $a$ — противолежащий углу $A$ катет, $b$ — прилежащий, $c$ — гипотенуза. Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} ah$ или $S = \frac{1}{2} ab sin C$ . Сделайте быстрый рисунок с подписями — так видно, какой угол где.

Посмотреть и посчитать

Модели

Теорема Пифагора

Калькуляторы

Теорема Пифагора

Примеры заданий 15 ОГЭ по математике

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Внутренний угол треугольника равен 109°. Найдите смежный с ним внешний угол.

Показать ответ

Ответ: 71
Решение. 180° − 109° = 71°.

Внутренний угол треугольника равен 33°. Найдите смежный с ним внешний угол.

Показать ответ

Ответ: 147
Решение. 180° − 33° = 147°.

Внутренний угол треугольника равен 78°. Найдите смежный с ним внешний угол.

Показать ответ

Ответ: 102
Решение. 180° − 78° = 102°.