Тема 5 · Геометрия

Площадь треугольника

Формулы ½ah, ½ab·sin C, формула Герона, площадь через r и R. 100 заданий на отработку.

Родителю: как помочь с темой «Площадь треугольника»

В теме 10 подтем: Высота через площадь, Площадь через основание и высоту, Основание через площадь, Площадь через две стороны и угол, Формула Герона, Радиус вписанной окружности, Площадь через вписанную окружность, Площадь равностороннего треугольника и ещё 2.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Любой треугольник — ровно половина параллелограмма (или прямоугольника) с тем же основанием и высотой. Поэтому его площадь — «основание на высоту пополам». Остальные формулы нужны, когда высота не дана.

S = \frac{1}{2} a h

: высота

C H

проведена к основанию

A B = a

Пять формул площади

Формула	Когда применять
$S = \frac{1}{2} ah$	известны сторона и высота к ней
$S = \frac{1}{2} ab sin C$	две стороны и угол между ними
$S = p (p - a) (p - b) (p - c) www.reknow.ru$	три стороны (формула Герона)
$S = p \cdot r$	радиус вписанной окружности и стороны
$S = \frac{ab c}{4 R}$	радиус описанной окружности и стороны

Здесь $a, b, c$ — стороны, $h$ — высота к стороне $a$ , $C$ — угол между $a$ и $b$ , $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр, $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей.

Сторона, высота, площадь

S = \frac{1}{2} ah \Rightarrow h = \frac{2 S}{a}, a = \frac{2 S}{h}

$a = 5$ , $h = 6$ : $S = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$ . $S = 90$ , $a = 18$ : $h = \frac{180}{18} = 10$ . $S = 140$ , $h = 10$ : $a = \frac{280}{10} = 28$ .

Выражая высоту или основание, не забудьте удвоить площадь: $h = \frac{2 S}{a}$ , а не $\frac{S}{a}$ .

Через угол и через три стороны

$A C = 16$ , $A B = 15$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ .

$sin 12 0^{\circ} = \frac{3 www.reknow.ru}{2} \approx 0, 866$ .
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 \cdot \frac{3 www.reknow.ru}{2} = 60 3 www.reknow.ru \approx 103, 92$ .

Формула с синусом верна и для тупого угла: синус положителен от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ . При угле $9 0^{\circ}$ получается «половина произведения катетов».

Стороны $17, 21, 10$ (формула Герона).

$p = \frac{17 + 21 + 10}{2} = 24$ ; $p - a = 7$ , $p - b = 3$ , $p - c = 14$ .
$S = 24 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 14 www.reknow.ru = 7056 www.reknow.ru = 84$ .

Вписанная окружность и равносторонний треугольник

S = p \cdot r, r = \frac{S}{p}

p

— полупериметр,

r

— радиус вписанной окружности

Стороны $5, 5, 6$ , $S = 12$ : $p = 8$ , $r = \frac{12}{8} = 1, 5$ . Стороны $11, 13, 20$ , $r = 3$ : $p = 22$ , $S = 66$ .

S = \frac{a ^{2} 3 www.reknow.ru}{4}, h = \frac{a 3 www.reknow.ru}{2}

равносторонний треугольник со стороной

a

$a = 27$ : $S = \frac{729 \cdot 1 , 732 \dots}{4} \approx 315, 67$ . $a = 29$ : $h = \frac{29 3 www.reknow.ru}{2} \approx 25, 11$ .

В $S = p \cdot r$ берётся полупериметр. С полным периметром ответ получится вдвое больше.

Треугольник $3, 4, 5$ — проверка памяти: $p = 6$ , $S = 6$ , значит $r = 1$ .

Свойства площади треугольника

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади: основания равны (половины стороны), высота общая.
Треугольники с равными основаниями и равными высотами имеют равные площади.
Если все стороны увеличить в $k$ раз, площадь увеличится в $k^{2}$ раз: вдвое — в 4 раза.
У тупоугольного треугольника высоты, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника — на продолжении стороны.
$S = \frac{1}{2} ab sin C \leq \frac{1}{2} ab$ , причём равенство — при $C = 9 0^{\circ}$ . Поэтому площадь не всегда меньше половины произведения двух сторон: у прямоугольного треугольника она равна половине произведения катетов.

Перед формулой Герона проверьте, существует ли треугольник: каждая сторона меньше суммы двух других. Отрезков $3, 4, 8$ не хватает ( $3 + 4 < 8$ ) — такого треугольника нет, и площади у него нет.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Площадь треугольника

Серия: 0

Где это пригодится: ОГЭ — 1 заданиеЗадания экзамена 9 класса, которые опираются на этот материал — нажмите, чтобы раскрыть список

ОГЭ, задание 15ТреугольникОткрыть →

Площадь треугольника

Простыми словами

Пять формул площади

Сторона, высота, площадь

Через угол и через три стороны

Вписанная окружность и равносторонний треугольник

Свойства площади треугольника

Примеры заданий