Шпаргалка · Геометрия · 9 класс

Все формулы по геометрии за 9 класс — шпаргалка

Все формулы на одном листе — теория, свойства, примеры

Скачать PDF

→Векторы и координаты

Если A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то вектор AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁).

|a| = √(x² + y²)

a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂), k·a = (kx; ky)

a · b = x₁x₂ + y₁y₂

a · b = |a| · |b| · cos α

сложение по правилу треугольника

Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Середина отрезка AB имеет координаты ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).

Потренироваться → Координаты вектора. Координатный метод Векторы Скалярное произведение векторов

◺Тригонометрия и подобие

sin²α + cos²α = 1, tg α = sin αcos α

sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α

sin 30° = 0,5; sin 45° = √22; sin 60° = √32

Подобие: стороны относятся как k, площади — как k²

В прямоугольном треугольнике высота из прямого угла равна h = ab/c, а медиана к гипотенузе — половине гипотенузы.

Потренироваться → Синус, косинус, тангенс угла Подобие фигур Прямоугольный треугольник и подобие

★Треугольник: стороны, углы, площадь

Здесь a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности, p — полупериметр

c² = a² + b² −
2ab · cos C

теорема косинусов

asin A = 2R

теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C

S = ab · sin C2

площадь через две стороны и угол

S = √(p(p−a)
(p−b)(p−c))

формула Герона

C = 2πR,
S = πR²

длина окружности и площадь круга

Потренироваться → Теорема синусов и теорема косинусов Площадь треугольника Длина окружности и площадь круга

◎Окружность, многоугольники, движения

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу

Дуга в n°: l = πRn180, сектор: S = πR²n360

Правильный n-угольник: угол = (n − 2)·180°n, сторона aₙ = 2R·sin 180°n

Движения — осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос: расстояния сохраняются

вписанный угол вдвое меньше центрального

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, а угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Правильный многоугольник всегда имеет вписанную и описанную окружности с общим центром.

Потренироваться → Углы в окружности Правильные многоугольники Движения

СОВЕТ

Известны две стороны и угол между ними — теорема косинусов; сторона и два угла — теорема синусов.

ЛАЙФХАК

Скалярное произведение в координатах считается за секунду, поэтому угол между векторами ищут через cos α = (a · b) / (|a|·|b|).

ЧАСТАЯ ОШИБКА

В теореме косинусов берут угол, лежащий против искомой стороны: для c нужен именно угол C.

ПРАКТИКА

1000 заданий по этим темам с теорией и подсказками — reknow.ru/9/geometry

Тренажёры по теме

Теорема синусов и теорема косинусов Координаты вектора. Координатный метод Векторы Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс угла Площадь треугольника Подобие фигур Углы в окружности Длина окружности и площадь круга Правильные многоугольники Все темы: Геометрия, 9 класс

Как пользоваться шпаргалкой

Геометрия 9 класса вводит сразу несколько новых инструментов, и все они собраны на этом листе. Первый блок — векторы в координатах: координаты вектора по двум точкам, длина, сложение, умножение на число, скалярное произведение двумя способами и условие перпендикулярности. Рядом — середина отрезка.

Дальше идут синус, косинус и тангенс с основным тождеством, формулы для угла 180° − α и табличные значения, а также отношение площадей подобных фигур. Центральная полоса — теорема косинусов, теорема синусов с 2R, площадь через две стороны и угол, формула Герона. В последнем разделе — вписанные и центральные углы, длина дуги и площадь сектора, правильные многоугольники и виды движений.

Лист выручает, когда задача не решается «в лоб»: пробегите глазами по разделам и прикиньте, какая формула связывает данные с искомым. А после повторения закрепите материал на тренажёре — задачи там по тем же темам, что и в ОГЭ.

Частые вопросы

Можно ли распечатать шпаргалку?

Можно: кнопка «Распечатать» или PDF. Лист рассчитан на один лист A4.

Какие формулы по геометрии нужно знать в 9 классе?

Координаты и длину вектора, скалярное произведение, основное тригонометрическое тождество, теоремы синусов и косинусов, площадь через синус угла и формулу Герона, длину дуги, площадь сектора и угол правильного n-угольника.

Где потренироваться?

Подойдут «Теорема синусов и теорема косинусов», «Скалярное произведение векторов» и «Углы в окружности».

Когда брать теорему косинусов, а когда синусов?

Даны две стороны и угол между ними — теорема косинусов. Известны сторона и два угла — теорема синусов.