Начальные сведения из стереометрии

Объём и площадь поверхности параллелепипеда, куба, призмы и цилиндра. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Стереометрия — геометрия в пространстве. Коробка, кубик, карандаш, банка — всё это тела. У тела есть объём (сколько в него поместится, например воды) и площадь поверхности (сколько бумаги нужно, чтобы его обклеить).

Объём $V$ Кубические единицы: см³, м³.

1 дм^{3} = 1

литр,

1 м^{3} = 1000 дм^{3}

Площадь поверхности $S$ Квадратные единицы: см², м². Это сумма площадей всех граней (кусков «обёртки»).

Прямоугольный параллелепипед и куб

Прямоугольный параллелепипед («коробка») имеет 6 граней-прямоугольников, 12 рёбер и 8 вершин. Три ребра, выходящие из одной вершины, — его измерения $a$ , $b$ , $c$ (длина, ширина, высота).

Невидимые рёбра — пунктиром. Противоположные грани равны.

V = a \cdot b \cdot c S = 2 (ab + b c + a c)

объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Противоположные грани равны, поэтому каждое из трёх произведений в формуле $S$ встречается дважды. Сумма длин всех рёбер: $4 (a + b + c)$ .

Куб — параллелепипед, у которого все рёбра равны $a$ , все 6 граней — квадраты:

V = a^{3} S = 6 a^{2}

a

— ребро куба

Измерения 9, 4 и 3: $V = 9 \cdot 4 \cdot 3 = 108$ .
$V = 308$ , два измерения 7 и 4: третье $= 308 : (7 \cdot 4) = 308 : 28 = 11$ .
Измерения 6, 7, 7: $S = 2 (6 \cdot 7 + 7 \cdot 7 + 6 \cdot 7) = 2 (42 + 49 + 42) = 266$ .
Коробка $10 \times 5 \times 7$ : бумаги $2 (50 + 35 + 70) = 310$ .
Куб с ребром 13: $V = 1 3^{3} = 2197$ ; куб с ребром 6: $S = 6 \cdot 36 = 216$ .

Если все рёбра увеличить в $k$ раз, объём вырастет в $k^{3}$ раз, а поверхность — в $k^{2}$ раз. Вдвое длиннее рёбра — объём в 8 раз, поверхность в 4 раза.

Прямая призма и цилиндр

У прямой призмы два равных основания-многоугольника и боковые рёбра, перпендикулярные основаниям; длина бокового ребра — высота $h$ . У цилиндра основания — два равных круга радиуса $r$ .

Объём обоих тел: площадь основания × высота

V_{призмы} = S_{осн} \cdot h V_{цил} = π r^{2} h

S_{осн}

— площадь основания,

h

— высота,

r

— радиус основания

S_{бок} = 2 π r h S_{полн} = 2 π r h + 2 π r^{2}

боковая поверхность цилиндра — развёрнутый прямоугольник

2 π r \times h

; плюс два круга

Призма: $S_{осн} = 20$ , $h = 3$ , тогда $V = 20 \cdot 3 = 60$ .
Призма: $V = 48$ , $S_{осн} = 24$ , тогда $h = 48 : 24 = 2$ .
Цилиндр: $r = 8$ , $h = 11$ ; $V = π \cdot 64 \cdot 11 = 704 π$ , а $\frac{V}{π} = 704$ .
Цилиндр: $V = 432 π$ , $r = 6$ ; $π \cdot 36 \cdot h = 432 π$ , $h = 432 : 36 = 12$ .

В формуле цилиндра в квадрат возводится только радиус: $π r^{2} h$ , а не $(π r h)^{2}$ . Если дан диаметр, сначала делим его пополам.

Проверка утверждений

Утверждение	Верно?
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений	да
У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин	да
Все грани куба — равные квадраты	да
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту	да
Объём куба с ребром $a$ равен $6 a^{2}$	нет, $a^{3}$ ; $6 a^{2}$ — поверхность

Объём — «три множителя длины» (единицы³), площадь — «два» (единицы²). По степени легко проверить, не перепутаны ли формулы.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Радиус основания цилиндра 8, высота 11. Найдите объём, делённый на π.

Показать ответ

Ответ: 704
Решение. V = π · 8² · 11 = 704π; делённый на π — 704.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. V = a · b · c.

Объём цилиндра 432π, радиус основания 6. Найдите высоту.

Показать ответ

Ответ: 12
Решение. h = 432π : (36π) = 12.

У прямоугольного параллелепипеда шесть граней.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Грани попарно равны и параллельны.

Радиус основания цилиндра 4, высота 6. Найдите площадь боковой поверхности, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 48
Решение. S = 2π · 4 · 6 = 48π; делённая на π — 48.

Все грани куба — квадраты.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Куб — параллелепипед с равными рёбрами.

Найдите площадь основания цилиндра радиуса 4, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 16
Решение. S = π · 4² = 16π; делённая на π — 16.

Объём куба с ребром a равен 3a.

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Объём куба равен a³, а 3a — это утроенное ребро.