Четырёхугольники — Геометрия, 9 класс

Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат и трапеция: углы, стороны, площади. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Если сдвинуть верх прямоугольной рамки вбок, получится параллелограмм: стороны те же, а площадь меньше — рамка «просела». Поэтому у параллелограмма площадь считают не по двум сторонам, а по стороне и высоте.

Сумма углов любого четырёхугольника равна $36 0^{\circ}$ : диагональ делит его на два треугольника по $18 0^{\circ}$ .

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Слева:

S = a \cdot h

. Справа: средняя линия

m = \frac{a + b}{2}

S = m \cdot h

противоположные стороны равны: $A B = C D$ , $BC = A D$ ;
противоположные углы равны: $∠ A = ∠ C$ , $∠ B = ∠ D$ ;
соседние углы в сумме дают $18 0^{\circ}$ : $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ;
диагонали точкой пересечения делятся пополам.

P = 2 (a + b), S = a \cdot h

a, b

— соседние стороны,

h

— высота, проведённая к стороне $a$

Угол параллелограмма $10 5^{\circ}$ — соседний $18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ . Периметр 22, сторона 4 — соседняя $\frac{22}{2} - 4 = 7$ . Площадь 80, сторона 16 — высота к ней $\frac{80}{16} = 5$ .

Самая частая ошибка — перемножить две соседние стороны. Это площадь прямоугольника, а у параллелограмма она меньше: нужна высота.

Ромб, прямоугольник, квадрат

Фигура	Особое свойство	Площадь
Ромб	все стороны равны; диагонали перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам	$S = \frac{d _{1} d _{2}}{2}$ или $a \cdot h$
Прямоугольник	все углы прямые, диагонали равны	$S = ab$
Квадрат	и ромб, и прямоугольник сразу	$S = a^{2} = \frac{d ^{2}}{2}$

Диагональ прямоугольника — гипотенуза: $d^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Стороны 3 и 4 — диагональ 5; стороны 5 и 12 — площадь 60.

Площадь ромба 64, одна диагональ 16. Вторая: $d_{2} = \frac{2 S}{d _{1}} = \frac{128}{16} = 8$ . Диагонали 6 и 12 — площадь $\frac{6 \cdot 12}{2} = 36$ .

Каждый квадрат — ромб и прямоугольник, каждый ромб и прямоугольник — параллелограмм. Значит, все свойства параллелограмма у них тоже есть.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны). Средняя линия соединяет середины боковых сторон; она параллельна основаниям.

m = \frac{a + b}{2}, S = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h

a, b

— основания,

h

— высота (расстояние между основаниями),

m

— средняя линия

Основания 9 и 17, высота 12: $S = \frac{9 + 17}{2} \cdot 12 = 156$ .

Средняя линия 9, меньшее основание 5. Большее: $2 \cdot 9 - 5 = 13$ .

Площадь 28, основания 12 и 16: $h = \frac{28}{14} = 2$ .

Средняя линия — полусумма оснований, не сумма. Чтобы найти основание по средней линии, удвойте её и вычтите другое основание.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Площадь параллелограмма Площадь трапеции

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В параллелограмме противоположные стороны попарно равны.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Это основное свойство параллелограмма.

В параллелограмме сумма двух соседних углов равна 180°.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Соседние углы — односторонние при параллельных прямых, их сумма 180°.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Свойство диагоналей параллелограмма.

Диагонали любого параллелограмма равны.

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Равные диагонали — признак прямоугольника, у косого параллелограмма они разные.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Ромб — параллелограмм с равными сторонами, его диагонали перпендикулярны.

Диагонали ромба делят его углы пополам.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Каждая диагональ ромба является биссектрисой его углов.

Любой ромб является квадратом.

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Квадрат — ромб с прямыми углами; у произвольного ромба углы не прямые.

Любой квадрат является ромбом.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. У квадрата все стороны равны, а это и есть определение ромба.